Correction du baccalauréat S Liban juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 \ EXERCICE 1 6 points 1. a. Signe de lnx(1? lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 1 e +∞ lnx ? 0 ++ 1? lnx 0 ?+ + lnx(1? lnx) ? 0 + 0 ? b. On a f (x)? g (x)= lnx? (lnx)2 = lnx(1? lnx). On déduit du tableau pré- cédent que C est au dessous de C ? sauf entre 1 et e. 2. M(x ; lnx) et N ( x ; (lnx)2 ) . a. On a déjà vu que h(x)= lnx(1? lnx). Cette fonction est dérivable sur ]0 ; +∞[ et h?(x)= 1 x ? 2 x lnx = 1 x (1?2lnx) qui est du signe de 1?2lnx. Cette différence s'annule pour x = e 12 = p e. Sur ]0 ; p e[, h?(x)> 0, donc h est croissante ; Sur ] p e ; +∞[, h?(x)< 0, donc h est décroissante ; b. Le résultat précédent montre la fonction h a un extremum (la dérivée s'annule en changeant de signe), qui est un maximum pour x = p e.

• vecteur directeur


• lnx


• rang précédent


• tableau de signe


• équation du cercle de centre


• ??


• cercle c1

Sujets

• Vecteur directeur

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2007
• Nombre de lectures: 13
• Langue: Français

Extrait

[CorrectiondubaccalauréatSLibanjuin2007\
EXERCICE 1 6points
1. a. Signedelnx(1?lnx):onfaituntableaudesignes:
x 0 1 e ?1
? 0 ? ?lnx
?? ?1?lnx 0
? ?lnx(1?lnx) 0 ? 0
2b. Ona f(x)?g(x)?lnx?(lnx) ?lnx(1?lnx).Ondéduitdutableaupré-
0cédentqueC estaudessousdeC saufentre1ete.
? ?
22. M(x ; lnx)etN x ; (lnx) .
a. Onadéjàvuqueh(x)?lnx(1?lnx).
1 2 10Cettefonctionestdérivablesur]0;?1[eth (x)? ? lnx? (1?2lnx)
x x x p1
2quiestdusignede1?2lnx.Cettedifférences’annulepourx?e ? e.
p 0Sur]0 ; e[, h (x)?0,donch estcroissante;
p 0Sur] e ;?1[, h (x)?0,donch estdécroissante;
b. Le résultat précédent montre la fonction h a un extremum (la dérivée
p
s’annuleenchangeantdesigne),quiestunmaximumpourx? e.
p2Comme ce nombre est entre 1 et e, (car 1? e? e ) 1? e? e) le
nombreh(x)estpositifetestégalàladistanceMN.
? ?
?p ? p ? p ? 1 1 1
DoncMN?h e ?ln e 1?ln e ? 1? ? .
2 2 4
2c. L’équation (lnx) ?lnx?1 est équivalente à?h(x)?1 () h(x)??1.
2OnposeX?lnx etonrésoutl’équationX ?X?1?0 ()
? !p? ? ? ? ? ? 22 2 21 1 1 5 1 5
X? ? ?1?0 () X? ? ?0 () X? ? ?0.
2 4 2 4 2 2
p p
1 5 1 5
OnadoncdeuxsolutionsX ? ? ?lnx etX ? ? ?lnx .1 1 2 2
2 2 2 2
Onadoncfinalementdeuxsolutions:
p p
1? 5 1? 5
2 2x ?e etx ?e .1 2
2d. Sur ]0 ; 1[[]e ; ?1[ la fonction (lnx) ?lnx est positive et représente
doncladistanceMN.
D’aprèslaquestionprécédenteilexistedeuxvaleursdexpourlesquelles
p p
1? 5 1? 5
2 2ladistanceMN?1.Cesontlesréelsx ?a?e etx ?b?e ,avec2 1
a?b.
03. a. Grâceàuneintégrationparparties(avecu ?dx etv?lnx,d’oùu?1et
10 0 0v ? ,lesfonctionsu etv étantcontinuessur]0;?1[:
x
Z Ze e xe e
lnxdx?[xlnx] ? dx?e?0?[x] ?e?e?(?1)?1.1 1x1 1CorrectiondubaccalauréatS
? ?
2 0b. AvecG(x)?x (lnx) ?2lnx?2 quiestdérivable,onaG (x)?
? ?
2lnx 22 2 2(lnx) ?2lnx?2?x ? ?(lnx) ?2lnx?2?2lnx?2?(lnx) .
x x
2c. Sur l’intervalle [1 ; e] on a vu que ln(x)?(lnx) > 0, donc l’aireA estZ Z Ze e e? ?
2 eégaleà lnx?(lnx) dx? lnxdx? g(x)dx?1?[G(x)] ?1
1 1 1
1?G(e)?G(1)?1?e(1?2?2)?2?3?e.(u.a.)
EXERCICE 2 6points
Candidatsnefaisantpasl’optionmathématiques
C(1; 1; 2)
? ?
1 3
1. Unvecteurdirecteurde(d)est ? ; 0;? quin’estmanifestement pasco-
2 2
!?
linéaireauvecteur | (0; 1; 0).Fausse.
2. Unvecteurnormalauplan(P)apourcoordonnées(1; 0; 3)quiestcolinéaire
auvecteurprécédentde(d).
DeplusA 2(P).Vraie
2 2 23. On a : AB ?4?1?1?6, AC ?1?4?1?6 et BC ?9?9?0?18. ABC est
doncisocèleenA
?
?SiBACavaitpourmesure ,alorsletriangleseraitéquilatéral,cequiestfaux.
3
Fausse.
?! ?! ?! !?
4. Onapardéfinition:Gexistecar?1?1?16?0,et?GA?GB?GC ? 0 .SoitIle
?! ?! ?! ?! ?! ?!
milieude[BC];l’égalitéprécédentepeuts’écrire:GI?IA?GI?IB?GI?IC ?
!? ?! ?! !? ?! ?!
0 () ?IA?GI ? 0 () GI ?IA () Gestlemilieude[AG].Vraie
p
25. OnavuqueBC ?18 () BC?3 2.
p
pj1?6?5j 2 10
La distancedeCauplanP estégaleà: p ?p ? ?3 2.Donc
2 2 5101 ?3
lasphèreetleplansontsécants.Vraie
EXERCICE 2 6points
Candidatsayantchoisil’optionmathématiques
1. Cette écriture est bien celle d’une similitude ditecte. S’il existe un point fixe,
1 1?2i 1 2
alorsz?2iz?1 () z(1?2i)?1 () z? () z? ? ? i.Le
1?2i 1?4 5 5
centreestbienA.8
0< z ? 2iz?1? ?
1 2 1 2 entraînepardifférence:
: ? i ? 2i ? i ?1
5 5 5 5? ? ? ?
1 2 1 2
0z ? ? i ? 2i z? ? i ce qui entraîne en prenant les arguments que
5 5 5 5? ???!??! ?0 0AM , AM ? : en prenant les modules AM ? 2AM. Donc le rapport est
2
égalà2.Vraie
2 2 2 2 22. Pourz?5,onobtient5?x ?2x?y ?1 () x ?2x?y ?4?0 () (x?1) ?
?p ?22 2 21?y ?4?0 () (x?1) ?y ? 5 qui estl’équation ducercledecentrep
(?1; 0; 5)etderayon 5.Fausse.
h i ? ?? ? 6 7?13 3 33 750 2?3?5 5 53. 750? 3?25?10? 2?3?5 , donc 5 ? 5 ? 5 ? 5 . Le
35nombre5 composéuniquementdefacteurs5n’estpasdivisibleparlenombre
? ?7?135premier 7,doncd’après lepetit théorème deFermat 5 ?1est divisible
par7.Vrai.
Liban 2 juin2007CorrectiondubaccalauréatS
4. PGCD(3n?4, 4n?3)?PGCD(3n?4, 4n??3?3n?4)?PGCD(3n?4, n?1)?
PGCD(n?1, 3n?4?3(n?1))?PGCD(n?1, 7).
Orparhypothèsen?1estmultiplede7,doncPGCD(n?1, 7)?7.Vraie
0 05. SiPGCD(a, b)?2;alorsilexistek etk telsquea?2k etb?2k .
0 0L’égalité au?bv?2s’écritalors2ku?2k v?2 () ku?k v?1quisignifie
queu etv sontpremiersentreeux.Fausse.
Uncontreexemple:a?3, b?4.Ona23?3?(?1)?4?2etPGCD(3, 4)?1.
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
17
1. Onadansl’urneU , 17boulesblanches,doncp ? ?0,85.1 2
20
2. Onpeuts’aiderd’unarbre.Pourobtenirp ilfautconsidérerlescasoùl’onn?1
atiréaurangprécédentunebouleblanche:
17
20 B
pn
N3
20
1
20 B
1?pn
N19
20? ?17 1 16 1
Onadoncp ? p ? 1?p ? ? p ? .n?1 n n n
20 20 20 20
Conclusionp ?0,8p ?0,05.n?1 n
3. D’aprèslaformuletrouvée
p ?0,8p ?0,05?0,8?0,85?0,005?0,68?0,05?0,73.3 2
4. a. Initialisation:p ?1?0,25.1
Hérédité:supposons qu’aurangn ,p ?0,25,alors0,8p ?0,2eten-0 n n0 0
suite0,8p ?0,05?0,2?0,05 ouencorep ?0,25.n n ?10 0
Onadoncmontréparrécurrencesurnquepourtoutnaturelnnonnul:
p ?0,25.n
b. p ?p ?0,8p ?0,05?p ??0,2p ?0,05.n?1 n n n n
Oronvientdedémontrerquep ?0,25quientraînen
?0,2p ??0,2?0,25soit?0,2p ??0,05 () ?0,2p ?0,05?0.n n n ? ?
On a donc pour toutn>1, p ?p ?0, c’est-à-direque la suite pn?1 n n
estdécroissante
? ?
c. Lasuite p estdécroissanteetminoréepar0,25:elledoncconvergenten
versunréel`supérieurouégalà0,25.
? ? ? ?
d. Lessuites p et p ayantlamêmelimite`,larelationderécurrencen n?1
p ?0,8p ?0,05donne`?0,8`?0,05 () 0,2`?0,05 ()n?1 n
0,05
`? ?0,25.
0,2
1
Conclusion: lim p ?0,25? .n
n!?1 4
EXERCICE 4 5points
Communàtouslescandidats
Liban 3 juin2007
bbbbbbbCorrectiondubaccalauréatS
i?2z 2re
0 i? i? i? i?1. z ? ?z? ?re ?2e ?re ?(2?r)e .
jzj r
0i
02. Avecz?3,laformuleprécédentedonnez ?(2?3)e ??1.A
p
23. a. Bapouraffixeb?? 3?i.Onadoncjb j?3?1)jbj?2.Onpeutécrire? !p
? ?3 1 5?5? 5? i 6b?2 ? ? i ?2 cos ?isin ?2e .
6 62 2
5?i 6b. z 0?(2?2)e ?0?z .OB
4. cf.figure.
0 i? i?5. a. Il s’agit de résoudre z ? 0 () (2?r)e () r ? 2 ou e ? 0. L’en-
sembledespointsdontl’imagepar f estOestlecercledecentreOetde
rayon2.
b. cf.figure.
z
6. Pointsinvariantsparf :oncherchelescomplexesz telsquez? (2?jzj) ()
jzj
car z6?0
zjzj? 2z?zjzj () 2zjzj?2z () jzj? 1. L’ensemble cherché est bien le
cercleC .1
7. M apouraffixez avecjzj6?1.
1? ?
i? i? i?a. D’aprèslaquestion1,l’affixedupointIest re ?2e ?re ?
2
1 i? i??2e ?e quiestuncomplexedemodule1quelquesoit?.
2
LemilieuIde[MM’]appartientàC .1
b. IetM ontà2?prèslemêmeargument:ilssontdoncalignésavecOetI
appartientàlademi-droite[OM).
c. Constructiondel’imagedeM :1
– lademi-droite[OM)coupelecercleC aupointI;1
0– ilsuffitdeconstruirelepointimageM symétriquedeM autourdeI.11
2
M1
1 IB
~v
0M1
0B00A A
-2 -1 0 1 2 3O ~u
C1
-1
-2
Liban 4 juin2007
bbbbb
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