Correction du baccalauréat S Polynésie juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Correction du baccalauréat S Polynésie \ juin 2007 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Partie A 1. On peut dresser l'arbre d'une partie : b B110 G 1 6 G5 6 B910 G 1 6 G5 6 En suivant les branches qui conduisent à un gain on obtient : p(G)= 1 10 ? 5 6 + 9 10 ? 1 6 = 5+9 60 = 14 60 = 7 30 . 2. On a p ( G ) = 1?p(G)= 23 30 . Il faut trouver pG(B)= p ( G?B ) p ( G ) = 1 10 ? 1 6 23 30 = 1 60 23 30 = 1 60 ? 30 23 = 1 46 . 3. On a une épreuve de Bernoulli avec n = 4 et p(G)= 7 30 . La probabilité de gagner exactement deux fois sur quatre parties est : ( 4 2 ) ( 7 30 )2 ? ( 1? 7 30 )2 = 6?72 ?232 304 = 25921 135000 ≈ 0,192(0). 4. La probabilité de ne gagner aucune partie sur n jouées est (n 0 ) (23 30 )n .

• affixe ?2


• lnx


• résolution de x2 ?


• tangente tx àc


• tx ??


• ??

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2007
• Nombre de lectures: 43
• Langue: Français

Extrait

[CorrectiondubaccalauréatSPolynésie\
juin2007
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
PartieA
1. Onpeutdresserl’arbred’unepartie:
1
6 G
1
B10
G5
6
1
6 G
9 B10
5 G
6
Ensuivantlesbranchesquiconduisentàungainonobtient:
1 5 9 1 5?9 14 7
p(G)? ? ? ? ? ? ? .
10 6 10 6 60 60 30
? ? 23
2. Onap G ?1?p(G)? .
30? ?
1 1 1p G\B ? 1 30 110 6 60? ?Ilfauttrouverp (B)? ? ? ? ? ? .G 23 23 60 23 46p G 30 30
7
3. OnauneépreuvedeBernoulliavecn?4etp(G)? .
30
Laprobabilitédegagnerexactementdeuxfoissurquatrepartiesest:
? !? ? ? ?2 2 2 24 7 7 6?7 ?23 25921
? 1? ? ? ?0,192(0).
42 30 30 30 135000
? ?n? ? 23n
4. Laprobabilitédenegagneraucunepartiesurn jouéesest .0 30? ?n? ? 23nLaprobabilitéd’engagneraumoinsuneestdonc:1? .
0 30? ? ? ?n n? ? 23 23n
Il faut donc trouver n tel que 1? > 0,99 () 0,01> ()0 30 30? ?
23 ln100
? ??ln100>nln () n> ?17,3.
2330
ln
30
Ilfautdoncjouerauminimum18fois.
PartieB
1. a. Loideprobabilitéde X :
X +4 ?1
7 23
p(X?x )i
30 30
7 23 5 1
L’espérancemathématiqueestE(X)?4? ?(?1)? ? ? .
30 30 30 6
bCorrectiondubaccalauréatS
b. L’espérancedegainétantpositive(environ16centimesparpartie)lejeu
estdéfavorableàl’organisateur.
? ?1 n
2. Onreprendl’arbreinitialavecp(B)? etp B ? .
n?1 n?1
1 5 n 1 n?5
Laprobabilitédegagnerdevientp(G)? ? ? ? ? .Ilsuit
n?1 6 n?1 6 6(n?1)
? ? 5n?1
quep G ? .
6(n?1)
n?5 5n?1 19?n
L’espéranceestdoncE(X)?4? ?(?1)? ? .
6(n?1) 6(n?1) 6(n?1)
19?n
Lejeuestdéfavorableàl’organisateursiE(X)?0 () >0 ()
6(n?1)
n619.
EXERCICE 2 4points
1. En posant z? x?iy, avec x et y réels, z?3iz?3?6i?0 () x?iy?3ix?? ?
x?3y?3 ? 0 x?3y?3 ? 0
3y?3?6i?0 () () ()
?3x?y?6 ? 0 ?9x?3y?18 ? 0
? ? ? 15x?3y?3 ? 0 x?3y?3 ? 0 x ?
8() () 3?8x?3y?15 ? 0 ?8x?15 ? 0 y ?
8
15 3
Donccetteéquationaunesolution: ?i .
8 8
2. OABestéquilatéraldirect,doncBestl’imagedeAdanslarotationdecentreO
π π0 i 3etd’angle .L’écriturecomplexedecetterotationest:z ?ze .
3 ? !p
p ? p ?π 1 3i
3Doncz ?z e ?(4?2i) ?i ?2? 3?i 2 3?1 .B A
2 2
? ?π !? ???! π
3. a. L’égalité arg(z?2i)? ?k?2π(k2Z)signifieque u , DM ? ?k?
4 4
2π (k2Z) : c’est donc la droite privée du point D contenant D et ayant
unepentede1.
iθ iθb. z?2i?2e () z?2?2e quisignifie:
– quejz?2ij?2 () DM?2;? ?!? ??!
– que u , DM ?θ?2kπ
L’ensembledecespoints M estdonclecercledecentreDetderayon2.
? ?
? ? ? ? ? ?z?1 z?10 0? ? ? ? ? ?4. Sipourz6??2, z ? , z ?1 () ?1 () jz?1j? z?2 .? ?z?2 z?2 ? ?!?
Or z et z sontlesaffixesdepointssymétriques autourde O, u etlepointB
? ? ? ?!? ? ?d’affixe?2appartientàcetaxe O, u .Donc z?2 ?jz?2j
L’équation devientjz?2j?jz?1j,quisignifiesionappelle Clepointd’affixe
1,BM =CM ouencoreM appartientàlamédiatricede[BC].
EXERCICE 3 5points
Enseignementobligatoire
?! ?! !? ?!
1. a. Par définition E existe (2?16? 0) et vérifie 2EA ?EB ? 0 () 3OE ?
?! ?!
2OA ?OB. ? !
4 4? ?6?0 4?43 3LescoordonnéesdeEsontdonc ; ; ?(0;?2; 0).
3 3 3
? ? ? ? ? ?
??! ??! ??! ??! ??!? ? ? ? ? ?
b. En utilisant le point E :?2MA ?MB??3?MO? () ?2ME ?ME??
? ???!? ?
3 MO () ME?MOquisignifieque M estéquidistantdeOetdeE,? ?
doncappartientauplanmédiateurde[OE].
Polynésie 2 juin2007CorrectiondubaccalauréatS
2 2 2 2 2 2 2 2c. ME?MO () ME ?MO () x ?y ?z ?x ?(y?2) ?z () 0?
4y?4 () y??1.
L’équationduplanmédiateurest y??1.
? ?24 22 2 22. a. OnaAB ? ? ? ?3 ?(?4?2) ?4?9?36?49;doncAB?7.
3 3
7
Lerayondelaspèreestdonc .
2
DistancedeIcentredelasphèreauplan(P):
? ?
1 3
I ? ;? ;?1 .
3 2 ? ?
3? ?? ?1 12Onad(I ; (P))? ? .p 2 21
1 7
Comme ? onendéduitquel’intersection(lecercle(C))delasphère
2 2
etduplan(P)n’estpasvide.
b. Lespointsde(C)vérifientl’équation de(S)etcellede(P),c’est-à-direle
8
y ? ?1< ? ? ? ?2 2système 1 3 49 ()2: x? ? y? ?(z?1) ?
3 2 48 8
y ? ?1 y ? ?1< <? ? ? ? ? ?2 2 21 3 49 () 1
2 2: :x? ? y? ?(z?1) ? x? ?(z?1) ? 12
3 2 4 3
? ?21 2Une équation de (C) dans le plan (P) est x? ?(z?1) ?12 qui est
3? ?
p p1
l’équationd’uncercledecentre ? ;?1;?1 etderayon 12?2 3.
3
3. Droite(ID):ontraduitlarelationvectorielle:M(x ; y ; z)2(ID) () ilexistet28 ? ? 81 1>> >x? ? ? t?0> > x ? 0t?> >< 3 <? ? ? ? 3??! ?! 33 1 3RtelqueIM ?tID () ()y? ? ? t ? ? y ? t?> >> 2 2 2 > 2p ? p ? :: z ? 4t 3?1z?(?1) ? t 4 3
4. Si la droite (ID) est sécante au cercle (C) il existe au moins un point dont les
coordonnées(x ; y ; z)vérifientl’équation de(ID)etcellede(C).Ilfautdonc
résoudre:8 1 8> 1x ? 0t?>> >> > x ? 0t?3> >3 3< < 3y ? t?
y ? t?2p ()
2> > p z ? 4t 3?1> >? ? z ? 4t 3?12> > p :1> 2 22: (0) ?(4 3t) ? 12x? ?(z?1) ? 12
3
1 1 1 3 12Cecientraînequet ? () t?? out? ,mais y?t? ??1 () t? .
4 2 2 2 2
Seulevaleurpositivedet convient.(ID)estdoncsécanteaucercle(C)auseul? ?
p1
pointF ? ;?1; 2 3?1 .
3
EXERCICE 3 5points
Enseignementdespécialité
PartieA
2 2 21. Une équation ducône est dela forme: x ?y ?αz .Comme A appartient à
10 52 2 2(Γ),alors1 ?3 ?α?2 () α? ? .
4 2
5
2 2 2Uneéquationde(Γ)estdoncM(x ; y ; z)2(Γ) () x ?y ? z .
2
Polynésie 3 juin2007CorrectiondubaccalauréatS
2. a. LeplanparallèleàxOy etcontenantBapouréquation z??4.
b. L’intersection de(P)etde(Γ)est uncercledontles points ont descoor-
donnéesquivérifientlesdeuxéquations:
( ?52 2 2 2 2x ?y ? 40x ?y ? z
()2 z ? ?4z ? ?4
Cecercle(C )adoncpour centrelepointdecoordonnées(0; 0; ?4)et1p p
derayon 40?2 10.
5 52 2 2 2 23. De la même façon x ?y ? z et y?3 entraîne que z ?x ?9 et y?3.
2 2
Cetteintersection(C )estunehyperbole.2
PartieB
2 21. x ?y ?40.
a. Lesnombresx ety nepeuvent,envaleurabsolueêtresupérieursà6.On
trouvequelesseulscarrésdontlasommeestégaleà40sont36et4.
Lescouplessolutionsontdonc(?6;?2), (?6; 2), (?2;?6), (?2; 6),
(2;?6), (2; 6),(6;?2), (6; 2).
b. Enajoutant la cote z??4, on obtient huit points de(C ) dont les coor-1
donnéessontdesentiers:
(?6;?2;?4), (?6; 2;?4), (?2;?6;?4), (?2; 6;?4),(2;?6;?4),
(2; 6;?4), (6;?2;?4), (6; 2;?4)
53 2 2 2 2 2 22. a. (x ; y ; z)2Z etx ?y ? z () 2(x ?y )?5z .
2
2 2 2D’aprèsGauss:2divise2(x ?y ),donc5z ;commeilestpremieravec5,
2ildivise z etdoncz puisquecesdeuxentierscomprennentexactement
lesmêmesdiviseurspremiers.
2 2Delamêmefaçon5divise2(x ?y )etestpremieravec2,doncildivise
2 2x ?y .
2On a vu que z est pair, donc z est un multiple de 4 et par conséquent
5 2 2 2z ?x ?y estunmultiplede2.
2
2 2Finalement x ?y estunmultiplede2etde5,doncde10.
52 2 2b. M(x ; y ; z)2(C )doncx ?y ? z et y?3.2
2
2 2 2D’aprèslaquestionprécédenteonax ?y ?x ?9estdivisiblepar10,
2 2 2soit x ?9? 0 [10] () x ??9 [10] () x ? 1 [10] () x ?
1 [10].
2c. Résolutiondex ?1 [10]:lesseulespossibilitéssontx?1 [10]et
x?9 [10].
d. Avec x?1, y ?3, on trouve que z?2 ou z??2. La première solution
correspondàAlasecondeàunautrepointde(C ):(1; 3;?2).02
(Ilyaaussi(9; 3; 6)et(9; 3;?6).
EXERCICE 4 5points
Communàtouslescandidats
PartieA
1. a. 16x62)06lnx6ln2)06xlnx62ln2)161?xlnx61?2ln2.
Lafonction f estpositivesur[1;2].
??!
b. OnaM(1; 1)etN(2; 1?2ln2),doncMN(1; 2ln2),cequimontrequele
coefficientdirecteurdeladroite(MN)est2ln2.
Polynésie 4 juin2007CorrectiondubaccalauréatS
c. UneéquationdelatangenteT àC enunpointdecoordonnées(x ; f(x)),x f
0avec16x62est:P(X ; Y)2T () Y ?(1?xlnx)?(X?x)f (x).x
10Or f (x)?lnx?x? ?1?lnx.
x
P(X ; Y)2T () Y ?(1?xlnx)?(X?x)(1?lnx) () Y ?1?xlnx?x
X(1?lnx)?x?lnx () Y ?X(1?lnx)?1?xlnx?x?lnx.Cettedroite
est parallèle à la droite(MN)si etseulement sison coefficient directeur
est égal à 2ln2, soit si 1?lnx? 2ln2 () lnx ?ln4?lne () lnx?? ?
4 4
ln () x? (d’aprèslacroissancedelafonctionln.
e e
IlexistedoncunseulpointEentreMetNoùlatangenteàlacourbeest
parallèleàladroite(MN).
d. D’aprèslaquestionprécédentel’équationdeTestP(X ; Y)2T () Y ?
4
X(1?lnx)?1?x avec x ? , l’équation de la tangente en E est donc
e
4
(puisquelecoefficientdirecteurestégalà2ln2),Y ?(2ln2)X?1?
e
4
2. a. Onag(x)?1?xlnx?(2ln2)x?1? ,doncpuisquetouteslesfonctions
e ? ?x0sontérivablessur[1;2],g (x)?lnx?1?2ln2?1?lnx?ln4?1?ln .
4? ? ? ?x x0b. Lafonction g s’annullesi1?ln ?0 () ln ??1 ()
4 4? ?? ?x 1 4
ln ?ln () x? .
4 e e ? ? ? ?
1 10Ladérivéeg estdoncnégativesur 1; etpositivesur ; 2 ,d’oùle
e e
tableaudevariationsdeg :
? ?
4
La fonction estdoncdécroissantede f(1)à f ?0puis croissantede
e
4
0à f(2).La fonction g a doncunminimum en :elle estdoncpositive
e
su