Corrigé bac 2014 - Série S - Mathématiques (épreuve de spécialité)

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Corrigé du sujet de Mathématiques (spécialité) du bac 2014 pour la série S.
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19 juin 2014

Nombre de lectures

18 939

Langue

Français

Poids de l'ouvrage

1 Mo


Bac 2014
Mathématiques
Spécialité
Série S
CORRIGE DE L’EPREUVE DE MATHEMATIQUES
DU BACCALAUREAT SCIENTIFIQUE
METROPOLE 2014

EXERCICE 1:
PARTIE A :
1)
2) Limite de en : donc
Limitede en : on a pour tout
or d’après le cours, et donc et comme
alors
Etudions les variations de : est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables, et
on a . De plus et on peut dresser le tableau de signes :

− 0 +


PARTIE B :
1) a) L’intégrale représente l’aire en unité d’aire, entre la courbe et l’axe
des abscisses, délimitée par l’axe des ordonnées ( et la droite d’équation .
b) Il semblerait que la suite soit décroissante puisque l’aire sous la courbe semble
être de plus en plus petite.
2) Pour tout
=
Du coup, comme pour tout et tout , et que :


Alors comme intégrale aux bornes bien rangées d’une fonction négative.
Donc finalement, décroît.
Enfin, pour tout et tout donc comme intégrale aux bornes bien
rangées d’une fonction positive.
Donc la suite est décroissante et minorée par 0, d’après le théorème des suites
monotones, on conclut qu’elle converge.
3) Calcul en fonction de de :

Or, donc et du coup EXERCICE 2:
PARTIE A :
1) a) Voicil’arbrepondéré:
b) D’après la formule des probabilities totales:

c) il y a donc moins d’une chance sur deux
pour que la personne soit malade si le test est positif donc réponse vraie.
2) Onreprend le même raisonnement que la question précédente en détaillant
ledénominateur :

puis le numérateur :
Ce qui donne :
On veut que
car

donc dès que le test peut être commercialisable.
PARTIEB:
1) a) grâce à la calculatrice.
b) On centre et on réduit la loi :

Ainsi suit une loi normale centrée et réduite.
Puis on calcule :


soit grâce à la calculatrice. Du coup, on conclut que
2) La proportion à tester est , proportion de comprimés conformes sur
l’échantillon prélevé. Voyons si l’on peut déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95% :

Les hypothèses sont vérifiées donc on établit l’intervalle de fluctuation :

Or , donc on rejette l’hypothèse et les contrôles remettent en question les réglages faits par le
laboratoire.
EXERCICE 3:
1) Résolvons dans l’équation, On trouve
donc il y a deux racines distinctes conjuguées : et
2) s’écrit sous la forme
donc
et
Les solutions de sont donc et
3) ROC : on pose et


Prouvons alors le résultat par récurrence :

• HR : à

• Conclusion : pour tout

4) Si est solution de



est solution de
dans la question 2) nous avons vu que et solutions de , en effet,
est solution de
donc Nous venons de voir que et sont aussi solutions. Nous avons donc solutions de
or il y a 4 solutions. Les solutions sont donc :
EXERCICE4 : spécialité
Traduisons les données de l’énoncé :
A l’année n le pisciculteur transfère dans le bassin B pour l’année n+1 les poissons du bassin A
et il y ajoute 100 poissons achetés, nous avons donc : .
Chaque poisson du bassin B vendu lui permet d’acheté 2 poissons pour le bassin A auquel il
rajoute 200 poissons, nous avons donc : .
Ce qui se traduit par le système suivant :

1) En utilisant les équations ci-dessus nous trouvons :
,
de la même façon on a
2) a) Le système s’écrit à l’aide des matrices :

soit X =AX +B n+1 n
b) On note T la matrice colonne . On recherche la matrice T telle que T=AT+B ce
qui ce traduit par la système :
, la résolution de ce système donne
c) On a posé Y = X –T n n
Y = X – T= (AX +B)–(AT+B) = AX –AT = A(X –T) =AY . n+1 n+1 n n n n
3a) Relation de récurrence pour Z n
2 2Z =Y = AY =A×A×Y = A ×Y = A Z . n+1 2n+2 2n+1 2n 2n n
2Calcul de A = = 2×I où I désigne la matrice identité. 2 2
Ce qui nous donne Z = 2×I ×Z =2Z . n+1 2 n n
n nb) On prouve par récurrence que Z = 2 Z donc que Y = 2 Y n 0 2n 0
n n nY = A Y = A ( 2 Y )= 2 (AY ) =2 Y 2n+1 2n 0 0 1
nL’écriture matricielle de la relation Y = 2 Y donne 2n 0
Ce qui nous donne nL’écriture matricielle de la relation Y =2 Y donne : 2n+1 1
4a ) L’algorithme permet de calculer les différents termes de suivant la parité de n.
b) Initialisation :
affecter à la valeur 200
affecter à la valeur 0
Traitement :
Tant que
Affecter à la valeur
Si pair
Affecter à la valeur
Affecter à la valeur
Sinon
Affecter à la valeur
Affecter à la valeur
Fin de si
Fin de Tant que
Sortie :
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