Corrigé BAC 2015 Mathématiques - Série S - Spécialité

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Corrigé BAC 2015 Mathématiques - Série S - Spécialité

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Ajouté le 22 juin 2015
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Langue Français
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EXERCICE 1:
PARTIE 1 :

ELEMENTS de CORRECTION
BACCALAUREAT MATHEMATIQUES FILIERE S
(SPËCIALISTES)
ANNEE 2015



ௗ ௘
−? −ௗ −௖ −௖ −ௗ
1) a)ܺ൑݀൑=ሻ(׬ܲܿሺ=??݁)݀ݔ݁(݁=݁)=݁
௖ −

LNሺ଴,଴ହሻ
−ଶ଴
b)⇔ͷ݁Ͳ=Ͳ,ʹ>ሻͲܲܺሺ⇔?=Ͳ,Ͳͷ=,Ͳ≈͹ͻͶͳ,Ͳ=ͳͷ
−ଶ଴

c)ܧܺ = ≈ ͸,͸͹͸
଴,ଵହ
−ଵ଴×଴,ଵହ −ଶ଴×଴,ଵହ
d) ݁ ܲሺͳͲ ൑ ܺ ൑ ʹͲሻ =݁ ≈ Ͳ,ͳ͹͵
−ଵ଼×଴,ଵହ
e)ሺܲ>ܺͺͳ=ሻ݁͹Ͳ͸Ͳ,≈
2) a)ሻͳʹ൑ܻ൑ͲʹܲሺͷͳͲ,Ͳ≈à la calculatrice.
b)<ͳሺܻתሺͳሻʹͳܻ>ܲ(ሻͳͳ<ܻሺܲሻሻͳʹ>ሺܲ=)ܲሺ(׫ሻܻሺ<ܻͳͳ>ܻͳʹ)ሻ
≈ Ͳ,ͲͲͷ  Ͳ,ͲͲͷ  Ͳ ≈ Ͳ,Ͳͳ
PARTIE 2 :


1)ܲͳͲ,ͲͲͳͷ,Ͳ=ͲͲሻ͵൒ܼሺ≈ Ͳ,Ͳʹͷ oùܼ la valeur d’un bon d’achat et ? l’évènement bon
d’achat Rouge. De même ? sera l’évènement bon d’achat vert.
2) ሻ=͵Ͳሺܼܲ(Ͳת൒͵׫ሺ?ሻͲ͵൒ܼ)ሻ?תሺ(ܲ=Ͳ͵൒ܼ?ת)ሻ൒ܼͲ͵ܲሺ(?ת)ሻሺܲ൒ܼ
=Ͳ,Ͳʹͷ × Ͳ,ʹͷ  Ͳ,Ͳ͸͹ × Ͳ,͹ͷ ≈ Ͳ,Ͳͷ͸ͷ ≈ Ͳ,Ͳͷ͹
3) ,ͲͷͲ>͹;ͷ݊;=?Ͳʹ×Ͳ͵ͲͲ൒ʹͲ݊=݊ሺͳ?ሻ>ͷdonc on a pour intervalle de
fluctuation au seuil de 95% :
Ͳ,Ͳͷ͹ሺͳ  Ͳ,Ͳͷ͹ሻ Ͳ,Ͳͷ͹ሺͳ  Ͳ,Ͳͷ͹ሻ
ܫ =[Ͳ,Ͳͷ͹  ͳ,ͻ͸ × ; Ͳ,Ͳͷ͹  ͳ,ͻ͸ × ] ≈ Ͳ,ͲʹͶͺ; Ͳ,Ͳͺͻͳ
√ʹͲͲ √ʹͲͲ

or=Ͳ,Ͳ͵est dansܫdonc à 95% de chances la répartition est respectée.
ଶ଴଴

EXERCICE 2:

ʹ
⃗⃗⃗⃗⃗
1) a)ሺܣܤሻa pour directionܣܤ Ͳdonc ሺܣܤሻ est parallèle à l’axe ሺܱܫሻ
Ͳ
Ͳ ݔ =ͳͳ
⃗⃗⃗⃗⃗
b)ܥܦ Ͷdirigeሺܥܦሻ. Une équation paramétrique deሺܥܦሻest :{ ݕ =Ͷ?où? est réel, et une
͵ݖ=͵?ͳ
équation d’un plan ?contenantሺܥܦሻet parallèle àሺܱܬܭሻestݔ =ͳͳ.
ݔ=ʹ?
c) Une équation deሺܣܤሻest{ݕ =ͳoù? est réel.ሺܣܤሻétant orthogonale à?, elle ne peut être
ݖ=ͷ
incluse dedans, sitôt, son intersection avec ce plan est réduite à un point. On vérifie aisément que
∈ ሺܣܤሻ, puisque ses coordonnées vérifient l’équation, puis que ܧ ∈ ?donc? ת ሺܣܤሻ =ܧ
ଵଵ
? =
ͳͳ =ʹ?ଶ

d){ ͳ ∈ ሺܣܤሻ ת ሺܥܦሻ ⇔ ܯሺݔ; ݕ; ݖሻ =Ͷ? ⇔ impossible. elles ne sont donc pas
?=

ͷ=͵?ͳ
sécantes.

ଶ ଶ ଶ

2) a)ܯ?ܰ?² =ሺͳͳ  ݐሻ =ʹݐ²  ʹͷ,ʹݐ  ͳ͵ͺ ሺͳ  Ͳ,͸ݐ  ͷሻ  ሺͲ,ͺݐ  ͳሻ
ଶହ,ଶ
b)ܯ?ܰ?²est du second degré donc le minimum est atteint pourݐ = =͸,͵ݏ
ଶ×ଶ

EXERCICE 3: SPECIALITE

1) a)ͳͲ=×͹͵ͳʹʹ×ͷ=Ͷdonc le coupleሺ͵; Ͷሻest solution deሺܧሻ
b) On a, si le coupleሺݔ; ݕሻest solution deሺܧሻ:͹ݔ  ͷݕ =͹ × ͵  ͷ × Ͷ ⇔ ͹ሺݔ  ͵ሻ =ͷሺͶ  ݕሻ
c) De ce qui précède :͹qui diviseͷሺͶ  ݕሻet commeͷet 7 sont premiers entre eux alors 7
diviseͶ. Il existe donc?entier relatif tel que ,͹??Ͷݕ⇔͹=ݕ=Ͷ. Et, on a du coup :
͹ሺݔ͵ሻ=ͷ×͹?⇔ݔ=ͷ?͵.
2) Il faut et suffit que la somme fasse 25 sachant queݕ?=͹ݔ ͷ= Ͷݐ݁?͵
? 0 1 2
ݔ=͵ݕ ݁ݐ ݕݐ ݁ݕ ݐ݁ ͺ=ݔ͵ͳ=ݔ
=Ͷ =ͳͳ =ͳͺ
Nombre deʹͷ  ͹ =ͳͺ ʹͷ  ͳͻ =͸ ʹͷ  ͳ͵ 
jetons blancsͳͺ < Ͳ
impossible
Si<? Ͳalorsݔ < Ͳimpossible et siʹ൒? c’est le nombre de jetons blancs qui deviendrait
négatif, ce qui est exclu, bien évidemment.
ଵ଼ ଷ ସ ଵ଼ ଷ ସ

3) On aܺ଴ሺͳ Ͳ Ͳሻ etܺଵቀ ቁ.d’autre part;ܺ଴ቁ? =ቀ On a donc au rang݊: si
ଶହ ଶହ ଶହ ଶହ ଶହ ଶହ
on est en ,Ͳ,͹ʹ; Ͳ,ͳʹ; ݁ݐ Ͳ,ͳ͸ chances d’aller respectivement en ܣ c’est-à-dire de tirer un jeton
blanc,Ͳ,ͳʹ chances d’aller en ܤ ሺtirer un rougeሻ et Ͳ,ͳ͸ d’aller en ܥ. Ceci correspond à la première
ligne de la matrice?. De même avec les lignes suivantes.
4) a) A la calculatrice on a :
ͳ ͹ Ͷ
ܲͳ͵Ͷ
ͳ ͵ ͹
଴ ଴ −ଵ
b) Pour݊ =Ͳ,ܫ=?݀ puisܲܦ ܲ =ܫ݀ l’hypothèse est initialisée.
? ? −ଵ
A݊ ݂?ݔéon suppose,ܦܲ?ܲ=
?+ଵ ? ? −ଵ ? −ଵ −ଵ ? −ଵ ?+ଵ −ଵ
?=??=ܲܦܲ?=ܲܦܲܲܦܲ=ܲܦܦܲ=ܲܦܲ

Conclusion: pour tout݁ݏݐ?ݎܽ?.݊ ܿ
?
ͳ =ͳ Ͳ Ͳ
? ?
c)Ͳ Ͳ Ͳ,͸ ܦ =
?
Ͳ Ͳ Ͳ,ͷ͸

5) a) On aܽ?=ߙ? ܾ?=ߚ?donc et ܿ?ߙ=ͳ? ߚ?
ଷ଻ ଷ଻
b) limߙ?=Ͳ,͵et limߚ?=lim et ܿ?=ͳ  Ͳ,͵  =Ͳ,͵͸ comme limite de suite
ଵଵ଴ ଵଵ଴
géométrique dont les raison sont inférieures (en valeurs absolues) à 1.
c) La probabilité la plus forte est celle qui tend versܥ

EXERCICE 4:
PARTIE 1 :

?+ଵ

1) On dérive :݂ ሺݔሻ =ͳ  ͵ =lnሺݔ  ͳሻ  ʹ.× lnሺݔ  ͳሻ 
?+ଵ
 ଶ ଶ  ଶ
2) ݂ ሺݔሻ ൒ Ͳ ⇔ ݔ ൒ ݁  ͳdonc pourሺݔሻ ൑ Ͳ݁  ͳ, ݂ ݔ ∈ Ͳ; donc݂décroît surͲ; ݁  ͳ
ଶ  ଶ
et sur݁  ͳ; ʹͲ ൒Ͳݔሻሺ݂donc݂croît sur݁  ͳ; ʹͲ.

3) ሺͲሻ݂=ʹ
2
ଷ?

4) On a݂݃׬׬ሺݔሺ݀ሻ=ݔ׬͵ሻݔݔ݀ ݀ݔ=ݔ͹ ݃ሺݔሻݔ͹est une primitive de݂surͲ; ʹͲ

PARTIE2 :

1) P1 :on fait ͳሻ ≈ ͺ,͵ʹ > ͺ݂ሺʹͲሻ  ݂ሺ݁ donc c’est vrai.

P2 :′ሺͲሻ|݂=|ʹ etሻͲͳ=݂ʹሺͶͶ,Ͳ donc c’est vrai.
  
2) Facesܱܦܥܤetܣܦ ܥ ܤ:

ଶ଴
2 2
ଶ଴ ଷ? ଶ଴
2× ݂ሺ׬݀ݔݔሻ=݃ሺʹ²ቇሻͲሺ݃Ͳʹ݉͵͸,ʹͲʹ=Ͳሻ͵ቆ݃ሺʹ͹××ሻݔʹ=ݔ͹
଴ ଶ ଶ

 
Soit 40,52 litres de peinture environ, auxquels on ajoute ceux des facesܦܦ ܥ ܥ:=ሺʹͲሻͳͲ×݂
ͳͲͻ,͵Ͷsoit 21,86 litres de peinture et pourܱܣܤ′ܤ:ͳሺ݂×Ͳ͹=ሻͲͲsoit 14 litres.
Du coup on a 76,38 soit 77 litres.
3) aሻ Comme le repère est orthonormé, d’après le théorème de Pythagore appliqué à chaque triangle
rectangle d’hypoténuse ܤܤ+ଵpour?variant de 0 à 19 :
ଶ ଶ

ܤܤ+ଵ݂ሺ?݂ሺ?ሻ²=(?ሻሻͳͳ=(ͳሺ?݂)ሻ?ሺ݂ͳ?)ሺሻ d’où:


ܤܤ+ଵ=ͳሻͳ?ሺ݂()ሻ?ሺ݂




bሻ On complète l’algorithmepar :
S prend la valeur 0
Pour K variant de 0 à 19

S prend la valeur S+10*ͳ݂()?ሻ݂ሺሻͳሺ?
Et on affiche S.