Corrigé Bac 2015 Maths S spé

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Corrigé Bac 2015 Maths S spé

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Publié le 25 juin 2015
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Langue Français

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Bac 2015
Mathématiques
Spécialité
Série S
!
ELEMENTS!!!!de!!!CORRECTION!
BACCALAUREAT!!!MATHEMATIQUES!!!!!
FILIERE!!!S!
(SPËCIALISTES)!!
ANNEE!2015!
!
EXERCICE!1:!!
PARTIE!1!:!
!!!"! !!!" !!" !!" !!" !!"1) a)!! !≤!≤ ! = !" !"= ! =− ! −! = ! −! !
! !! !
!" !,!"!!"!b)!! !> 20 = 0,05⇔ ! = 0,05⇔ != = 0,1497≈ 0,15!
!!"
!
c)!!"= ≈ 6,676!
!,!"
!!"×!,!" !!"×!,!"d)!! 10≤!≤ 20 = ! −! ≈ 0,173!
!!"×!,!"e)!! !> 18 = ! ≈ 0,067!
2) a)!! 20≤!≤ 21 ≈ 0,015!à!la!calculatrice. !
b)!! !< 11 ∪ !> 21 =! !< 11 +! !> 21 −! !< 11 ∩ !> 21 !
≈ 0,005+0,005+0≈ 0,01!!
PARTIE!2!:!
1) ! !≥ 30 = 0,015+0,010≈ 0,025!!!!où!!!la!valeur!d’un!bon!d’achat!et! !!l’évènement!bon!!
d’achat!Rouge.!De!même! !!sera!l’évènement!bon!d’achat!vert. !
2) ! !≥ 30 =! !≥ 30∩! ∪ !≥ 30∩! =! !≥ 30∩! +! !≥ 30∩! !
= 0,025×0,25+0,067×0,75≈ 0,0565≈ 0,057!
3) != 200≥ 30;!"= 200×0,057> 5;! 1−! > 5!donc!on!a!pour!intervalle!de!
fluctuation!au!seuil!de!95% !:!
0,057 1−0,057 0,057 1−0,057
!= 0,057−1,96× ;0,057+1,96× ≈ 0,0248;0,0891 !
200 200
!
or! = 0,03!est!dans!!!donc!à!95%!de!chances!la!répartition!est!respectée. !
!""
EXERCICE!2:!!!
2
1) a)! !" !a!pour!direction!!" !donc!!! !" !est!parallè le!à!l’axe! !" !0
0
0 != 11
b)!!" !dirige! !" .!Une!équation!paramétrique!de! !" !est!:! != 4! !où!!!!est!réel,!et!une!4
3 != 3!+1
équation!d’un!plan!!!contenant! !" !et!parallèle!à! !"# !est!!!= 11.!!
!= 2!
c)!Une!équation!de! !" !est!! !=−1!!où!!!!est!réel.! !" !étant!orthogonale!!à!!,!elle!ne!peut!être!
!= 5
incluse!dedans,!sitôt,!son!intersection!avec!ce!plan!est!réduite!à!!un!point.!On!vérifie!aisément!que!!
∈ !" ,!puisque!ses!coordonnées!vérifient!l’équation,!puis!que!!!∈!!donc!!∩ !" =!!!!
!!
!=11= 2! !
!d)!!(!;!;!)∈ (!")∩ !" ⇔ ⇔ !!!!impossible.!elles!ne!sont!donc!pas!−1= 4! !=−
!5= 3!+1
sécantes.!
!!
! ! !2) a)!!! ²= 11− ! + 0,8!+1 + 1+0,6!−5 = 2!²−25,2!+138!! !
!",!
b)!!! ²!est!du!second!degré!donc!le!minimum!est!atteint!pour!!=! = 6,3!!! ! !×!
!
EXERCICE!3:!!SPECIALITE!!
1) a)!7×3−5×4= 21−20= 1!donc!le!couple! 3;4 !est!solution!de! ! !
b)!On!a,!si!le!couple! !;! !est!solution!de! ! !:!7!−5!= 7×3−5×4⇔ 7 !−3 = 5 −4+! !
c)!De!ce!qui!précède!:!7!qui!divise!5 −4+! !et!comme!5!et!7!sont!premiers!entre!eux!alors!7!
divise!−4!.!Il!existe!donc!!!entier!relatif!tel!que!,!7!= !−4⇔ != 7!+4.!Et,!on!a!du!coup!:!
7 !−3 = 5×7!⇔ != 5!+3.!
2) Il!faut!et!suffit!que!la!somme!fasse!25!sachant!que! != 7!+4!!"!!= 5!+3!
!! 0! 1! 2!
! != 3!!"!! != 8!!"!! != 13!!"!!
= 4! = 11! = 18!
Nombre!de! 25−7= 18! 25−19= 6! 25−13−
jetons!blancs! 18< 0!
impossible!
Si!!< 0!alors!!< 0!impossible!et!si!!≥ 2!c’est!le!nombre!de!jetons!blancs!qui!deviendrait!
négatif,!ce!qui!est!exclu,!bien!évidemment.!
!" ! ! !" ! !
3) On!a!! 1 0 0 !!!et!! !.!!d’autre!part !;!! != !On!a!donc!au!rang! !!:!si!! ! !!" !" !" !" !" !"
on!est!en!!,!0,72;0,12;!"!0,16!chances!d’aller!respectivement!en!!!c’estaàadire!de!tirer!un!jeton!
blanc,!0,12!chances!d’aller!en!!!(tirer!un!rouge)!et!0,16!d’aller!en!!.!Ceci!correspond!à!la!première!
ligne!de!la!matrice! !.!De!même!avec!les!lignes!suivantes. !
4) a)!A!la!calculatrice!on!a !:!
1 7 4
! 1 −3 4 !
1 −3 −7
! ! !!b)!Pour!!= 0,!! = !"!!puis!!! ! = !"!l’hypothèse!est!initialisée.!
! ! !!A!!!!"#é!on!suppose,!! =!! ! !
!!! ! ! !! ! !! !! ! !! !!! !!! =! !=!! ! !=!! ! !"! =!! !" =!! ! !
!Conclusion:!pour!tout!!!! !"#$%&'.!
!1 = 1 0 0
! !c)!! = 0 0,6 0 !
!0 0 0,56
5) a)!On!a!! =! !!!! =! !!!et!donc!! = 1−! −! !! ! ! ! ! ! !
!" !"
b)!lim!! = 0,3!et!lim! = !!!et!!!lim!! = 1−0,3− = 0,36!!comme!limite!de!suite!! ! !!!" !!"
géométrique!dont!les!raisons!sont!inférieures!(en!valeurs!absolues)!à!1. !
c)!La!probabilité!la!plus!forte !implique!qu’on!sera!en!!!
EXERCICE!4:!!
PARTIE!1!:!
!!!!1) On!dérive!:!! ! = 1×ln !+1 + −3= ln !+1 −2.!
!!!
! ! ! ! !2) ! ! ≥ 0⇔ !≥ ! −1!donc!pour!! ∈ 0;! −1 ,! ! ≤ 0!donc!!!décroît!sur![0;! −1]!!
! ! !et!sur!! ! −1;20 !! ! ≥ 0!donc!!!croît!sur!! ! −1;20 .!
!3) ! 0 =−2!
!!!!4) On!a! ! ! !"= ! ! !"+ −3!+7!!!"=! ! − +7!!est!une!primitive!de!!!sur! 0;20 !
!
PARTIE2!:!
!1) P1!:on!fait!! 20 −! ! −1 ≈ 8,32> 8!donc!c’est!vrai.!
!P2!: !′(0) = 2!!et!! 20 = 1,044!!donc!c’est!vrai.!! ! !2) Faces!!"#$!et!!! ! ! !:!!
!"! !!" !! !"
2×! ! ! !"= 2 ! ! − +7! = 2 ! 20 −3× +7×20−! 0 = 202,63!²!
! ! !!
! !Soit!40,52!litres!de!peinture!environ,!auxquels!on!ajoute!ceux!des!faces! !! ! !!:!10×! 20 =
109,34!soit!21,86!litres!de!peinture!!et!pour!!"#′!!:!10×! 0 = 70!soit!14!litres.!
Du!coup!on!a!76,38!soit!77!litres.!
3) a)!Comme!le!repère!est!orthonormé,!d’après!le!théorème!de!Pythagore!appliqué!à!chaque!triangle!
rectangle!d’hypoténuse! ! ! !pour!!!varian t!de!0!à!19!:!! !!!
! !!!! ! ²= ! ! −! !+1 + !+1−! = 1+ ! !+1 −! ! !d’où!:!! !!!
!
! ! = 1+ ! !+1 −! ! !!! !!!
!
!
!
!
b)!On!complète!l’algorithme!par!:!
S!prend!la!valeur!0 !
Pour!K!variant!de!0!à!19 !
!
S!prend!la!valeur!S+10* 1+ ! !+1 −! ! !
Et!on!affiche!S.!
!