CORRIGÉ BAC BLANC ANNÉE TES

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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
CORRIGÉ BAC BLANC ANNÉE 2009/2010 TES Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats 1. a ) On a : f(0) = 4 f ?(1) est le coefficient directeur de la tangente à ? en C, (CF) : f ?(1) = yF ? yCxF ? xC = 6? 4, 5 3? 1 = 1, 5 2 = 0, 75 f ?(2) = 0 . (tangente à ? parallèle à (Ox) en B et en D) b ) f ?(x) est négatif sur l'intervalle [?2 ; 0], positif sur [0 ; 2] et négatif sur [2 ; 5]. c ) Sur l'intervalle [?2 ; 2], f a un minimum en 0 qui vaut 4, donc f(x) est positif sur [?2 ; 2]. Sur [2 ; 5], f est décroissante avec f(4) = 0 : on en déduit que f(x) est positif sur [2 ; 4], nul pour x = 4 et négatif sur [4 ; 5]. Résumé : x ?2 4 5 Signe de f(x) + 0 ? 2. On considère la fonction g définie par g(x) = ln(f(x)).

  • magasin

  • cadeau associé

  • salon

  • bénéfice moyen du magasin

  • personne entrant

  • probabilité

  • associée au bénéfice

  • situation de la personne


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CORRIGÉ BAC BLANC ANNÉE 2009/2010 TES
Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats
1. a ) On a : f(0) = 4
0f (1) est le coefficient directeur de la tangente à Γ en C, (CF) :
y −y 6−4,5 1,5F C0f (1) = = = = 0,75
x −x 3−1 2F C
0f (2) = 0 . (tangente à Γ parallèle à (Ox) en B et en D)
0b ) f (x) est négatif sur l’intervalle [−2 ; 0], positif sur [0 ; 2] et négatif sur [2 ; 5].
c ) Sur l’intervalle [−2 ; 2], f a un minimum en 0 qui vaut 4, donc f(x) est positif sur
[−2 ; 2].
Sur [2 ; 5], f est décroissante avec f(4) = 0 : on en déduit que f(x) est positif sur
[2 ; 4], nul pour x = 4 et négatif sur [4 ; 5].
Résumé :
x −2 4 5
Signe de f(x) + 0 −
2. On considère la fonction g définie par g(x) = ln(f(x)).
a ) g(x) est définie si, et seulement si, f(x)> 0, c’est-à-dire pour x∈ [−2 ; 4[ .
b ) g(−2) = ln(f(−2)) = ln9 = 2ln3; g(0) = ln(f(0)) = ln4 = 2ln2 et
g(2) = ln(f(2)) = ln5.
c ) Sur [−2 ; 0],f est décroissante positive et ln est croissante sur [0; +∞[;onen déduit
que g est décroissante (la composée d’une fonction décroissante avec une fonction
croissante est décroissante).
Sur [0 ; 2[, f est croissante et ln aussi, donc leur composée g est aussi croissante.
Sur [2 ; 4[, f est décroissante et ln est croissante, donc leur composée g est aussi
décroissante.
d ) CommeE∈ (Γ) onaf(4) = 0et limg(x) = limln(f(x)) = lim ln(X) =−∞ (d’après
x→4 x→4 X→0
la limite des fonctions composées).
Onendéduitque ladroited’équationx = 4estasymptote àlacourbereprésentative
de g.
e ) Tableau de variation de g :
x −2 0 2 4
2ln3 ln5
g(x) & % &
2ln2 −∞
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Exercice 2 5 points Commun à tous les candidats
Partie I
1. Parmi les personnes qui entrent dans le magasin :
• 90% entrent dans le magasin avec ce bon publicitaire. Soit P(B) = 0,9 donc
P(B) = 1−0,9 = 0,1
Parmi elles, 10% achètent un salon. Soit P (S) = 0,1 donc P (S) = 1−0,1 = 0,9B B
• Parmi les personnes qui entrent sans bon publicitaire, 80% achètent un salon. Soit
P (S) = 0,8 et P (S) = 0,8
B B
0,1 S
B
0,9
S0,9
0,8 S
B
0,1
S0,2
2. a ) la personne n’achète pas de salon sachant qu’elle est venue avec un bon publicitaire
traduit par S sachant B;
P (S) = 1−P (S) = 0,9B B
b ) la personne achète un salon se traduit par S;
B et B forment une partition de l’ensemble des personnes entrant dans le magasin,
donc, d’après la formule des probabilités totales,on a :
P(S) = P(S∩B)+P(S∩B)
= P(B)×P (S)+P(B)×P (S)B B
= 0,9×0,1+0,1×0,8
P(S) = 0,17
c ) la personne est venue avec un bon publicitaire sachant qu’elle a acheté un salon se
traduit par B sachant S.
P(S∩B)
P (B) =S
P(S)
P(B)×P (S)B
=
P(S)
0,9×0,1
=
0,17
−2P (B) = 0,53 à 10 prèsS
Partie II
Le bon publicitaire et le cadeau associé coûtent 15 e au magasin. Un salon vendu rapporte
500e au magasin s’il est vendu sans bon publicitaire.
1. Soit X la variable aléatoire associée au bénéfice réalisé par le magasin selon la situation
de la personne entrant.
X peut prendre les valeurs :
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bbbbbbbCORRIGÉ BAC BLANC ANNÉE 2009/2010 TES
I 500−15 = 485 : La personne a un bon publicitaire et achète un salon.
P(X = 485) =P(B∩S) = 0,9×0,1 = 0,09
I 0−15 =−15 : La personne a un bon publicitaire et n’achète pas un salon.
P(X =−15) =P(B∩S) = 0,9×0,9 = 0,81
I 500−0 = 500 : La personne n’a pas de bon publicitaire et achète un salon.
P(X = 500) =P(B∩S) = 0,1×0,8 = 0,08
I 0−0 = 0 : La personne n’a pas de bon publicitaire et n’achète pas un salon.
P(X = 0) =P(B∩S) = 0,1×0,2 = 0,02
Situation de la La personne a La personne a La personne La personne
personne un bon un bon n’a pas de bon n’a pas de bon
entrant publicitaire et publicitaire et publicitaire et publicitaire et
achète un n’achète pas achète un n’achète pas
salon un salon salon un salon
Bénéfice réalisé 485 −15 500 0
par le magasin
en euros
Probabilité 0,09 0,81 0,08 0,02
2. Le bénéfice moyen du magasin réalisé par personne entrant est égal à l’espérance mathé-
matiques de la variable X.
E(X) = 485×0,09+(−15)×0,81+500×0,08+0×0,02
E(X) = 71,5
Le bénéfice moyen du magasin réalisé par personne entrant est de 71,5e.
3. Soit x le prix de revient, en euros, du nouveau bon publicitaire.
I 500−x : La personne a un bon publicitaire et achète un salon.
P(X = 500−x) =P(B∩S) = 0,9×0,1 = 0,09
I −x : La personne a un bon publicitaire et n’achète pas un salon.
P(X =−x) =P(B∩S) = 0,9×0,9 = 0,81
I 500−0 = 500 : La personne n’a pas de bon publicitaire et achète un salon.
P(X = 500) =P(B∩S) = 0,1×0,8 = 0,08
I 0−0 = 0 : La personne n’a pas de bon publicitaire et n’achète pas un salon.
P(X = 0) =P(B∩S) = 0,1×0,2 = 0,02
Loi de probabilité du bénéfice réalisé par le magasin :
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Situation de la La personne a La personne a La personne La personne
personne un bon un bon n’a pas de bon n’a pas de bon
entrant publicitaire et publicitaire et publicitaire et publicitaire et
achète un n’achète pas achète un n’achète pas
salon un salon salon un salon
Bénéfice réalisé 500−x −x 500 0
par le magasin
en euros
Probabilité 0,09 0,81 0,08 0,02
Espérance mathématique de la variable X :
E(X) = (500−x)×0,9+(−x)×0,81+500×0,08+0×0,02
E(X) = 85−0,9x
4. Le directeur souhaite réaliser 76e de bénéfice moyen par personne entrant.
Donc E(X) = 76
85−0,9x = 76⇔ 0,9x = 9⇔ x = 10
Le prix de revient du nouveau bon publicitaire doit être de 10e.
Exercice 3 5 points Commun à tous les candidats
1. a ) lim f(x) =−∞ car :
x→−1
• lim (x+1) = 0 et lim(lnX) =−∞
x→−1 X→0
• lim (−3x+4) = 7
x→−1
4 ln(x+1)
b ) pour x = 0, f(x) =−3x+4+8ln(x+1) =x −3+ +8
x x
4 ln(x+1)
• lim = 0 et lim = 0 donc
x→+∞ x→+∞x x
4 ln(x+1)
lim −3+ +8 =−3
x→+∞ x x
• lim x = +∞
x→+∞
Donc par produit lim f(x) =−∞
x→+∞
2. a ) Sur ]−1 ; +∞[ f est dérivable, de dérivée :
10f (x) =−3+8
x+1
−3(x+1)+80f (x) =
x+1
5−3x
0f (x) =
x+1
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?
?6
?
?
?

?
CORRIGÉ BAC BLANC ANNÉE 2009/2010 TES
0b ) f est du signe de 5−3x sur ]−1 ; +∞[ car x+1 > 0.
5 5 5 8
f =−3× +4+8 ln +1 =−1+8 ln = 6,8 au dixième
3 3 3 3
5 5
3. Sur ; +∞ f estcontinue,strictementdécroissantedoncàvaleursdans −∞; f .
3 3
5 5
Or 0 ∈ −∞; f car f ≈ 6,8, donc, d’après le théorème des valeur inter-
3 3
médiaires l’équation f(x) = 0 admet une solution unique notée x dans l’intervalle0
5
; +∞ .
3
Á l’aide de la calculatrice on a f(6,815)≈ 0,003 et f(6,820)≈−0,006.
Donc x est compris entre 6,815 et 6,820.0
−2Conclusion : Une valeur approchée de x à 10 près est donc 6,82.0
4. a ) Sur ]−1 ; +∞[ F est dérivable et de dérivée :
3 1
0 0 0 0F (x) =− ×2x−4+8 1×ln(x+1)+(x+1)× car (uv) = uv +uv
2 x+1
0F (x) =−3x−4+8ln(x+1)+8
0F (x) =−3x+4+8ln(x+1)
0F (x) = f(x) Donc F est bien une primitive de f sur ]−1 ; +∞[ .
b ) On a f(0)> 0 et f(x ) > 0 donc sur [0; 5] f est strictement positive.0
Donc l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe
5
des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 5 est égale à A = f(x)dx
0
5
A = f(x)dx
0
5[ ]= F(x) 0
= [F(5)−F(0)]
3
= − ×25−20+48ln6−8ln1
2
115
= − +48 ln6
2
A = 28,5 au dixième près
Page 5 sur 7


Z

3
1
0
8


0

x





1

1

+

)

(
Z
f
;



6

1
x
)
5
x
+
(
f
CORRIGÉ BAC BLANC ANNÉE 2009/2010 TES
Exercice 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
A - Recherche d’un ajustement affine
1. Á l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine de y en x par la
méthode des moindres carrés est : y = 14,1x+40,8.
2. a ) D’après cet ajustement, la production d’électricité nucléaire en France en 2005 sera
de :
2005 correspond à x = 30, on obtient :
y = 14,1×30+40,8
y = 463,8 milliards de kWh.
b ) Le pourcentage de l’erreur commise est :
463,8−430
= 7,9%
430
B - Un autre modèle
1. Production d’électricité nucléaire prévisible avec ce modèle pour l’année 2005.
f(30) = 197ln30−237
f(30)≈ 433 milliards de kWh.
Ce modèle semble mieux correspondre à la réalité.
2. a ) Résoudre dans [4 ; +∞[ l’inéquation f(x)> 460.
f(x)≥ 460 ⇔ 197lnx−237 ≥ 460
460+237
⇔ lnx ≥
197
697
⇔ lnx ≥
197
697( )197⇔ x ≥ e
697( )197Doncsur[4; +∞[l’inéquationf(x)> 460apourensembledesolutions: e ; +∞
697( ) ième197b ) e ≈ 34,4 on prend donc le 35 rang soit 1975+35 = 2010.
La production d’énergie nucléaire dépassera 460 milliards de kWh à partir de 2010
Exercice 4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Première Partie : Étude d’un graphe
1. a ) On peut relier deux sommet quelconques du graphe par une chaîne donc le graphe
est connexe.
Sommets A B C D E F G H Y Z
b )
Degrés 4 4 4 4 4 2 4 2 3 1
c ) Théorème d’Euler : Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si, et seulement
si, le nombre de sommets de degré impair est 0 ou 2.
Ici, il y a 2 sommets de degré impair : Y et Z donc le graphe admet une chaîne
eulérienne.
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?
?CORRIGÉ BAC BLANC ANNÉE 2009/2010 TES
2. a ) Le plus haut degré des sommets du graphe est 4 donc le nombre chromatique est
inférieure ou égal à 4+1 = 5.
Le sous graphe composé des sommetsB,D etE est un sous-graphe complet d’ordre
3.
Le nombre chromatique est supérieure ou égal à 3.
Bb ) .
On définit la coloration suivante avec 3 couleurs :
I Première couleur pour les sommets A, G etF
A E : rouge.
Z I Seconde couleur pour les sommets Z, Y, H,D
C E D et F : vert.
I Troisième couleur pour les sommets C et B :
Y
bleue.G H
Deuxième Partie : Visite d’un musée
Voici le plan d’un musée : les parties grisées matérialisent les portes et les visiteurs partent de
l’accueil, visitent le musée et doivent terminer leur visite àa la boutique.
1. On peut représenter la situation à l’aide du graphe de la partie 1.
En effet, les sommets représentent les pièces (le sommet A la pièce A, le sommet B la
pièce B ... , l’accueil : le sommet Y et la boutique : le sommet Z)
Les arêtes représentent les portes entre les pièces. Une arête entre le sommet A et le
sommet B signifie qu’il y a une porte entre la pièce A et la pièce B.
2. a ) D’après la première partie 1 c) le graphe admet une chaîne eulérienne donc il est
possible de trouver un circuit où les visiteurs passent une et une seule fois par toutes
les portes.
b ) Par exemple, en commençant par Y l’accueil :
Y-G-H-E-D-G-C-Y-A-C-D-B-E-F-B-A-Z
3. Pour colorier les salles y compris l’accueil et la boutique, en utilisant un minimum de cou-
leurs, pour que deux salles qui communiquent par une porte aient des couleurs différentes
on utilise la question 2 b) de la partie 1.
BA
Boutique
F
C D E
Accueil
G H
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