Corrige BAC GENERAL Mathematiques 2009 S

Description

Mathématiques S juin 2009 Approfondissement: La suite u est un mélange de suite ( )narithmétique et géométrique puisque pour passer d’un terme à l’autre on multiplie par 1/3 et on ajoute (-6). On dit CORRIGÉque c’est une suite arithmético-géométrique. Les encadrés marqués “approfondissement” sont là pour Pour étudier de telles suites, on passe toujours par une suite vous éclairer sur la façon dont le sujet a été réalisé. C’est auxiliaire v =u +α . Si le concepteur du sujet choisit bien n nl’occasion de voir un peu le dessous des cartes en quelques α , la suite v sera géométrique. Pour ce faire, il résoud ( )nsortes.1x= x+4 (point fixe). Faites le, vous trouverez α=−6 .3Exercice 1 (sur 4 points) SUITESb) terme général: il faut bien regarder ce que l’on connaît:u ← un+1 nrécurrence à présent, on tient une suite géométrique v . On applique 1) étude simple ( )n↑ ↑v 1 donc la formule des formules géométriques:na) v = géométrique de raison .n+1 n↓ ↓3 3  1• on sait que v =v × Comment trouve-t-on ce résultat ? n 0v ? vn+1 n 3Le petit schéma donne la méthode:−5• on n’a pas v : on le calcule, v =u −6=−5 d’où v =0 0 0 n n3 • On passe de u à u par la n n+1−51 • on remplace dans u =v +6 , on trouve: u = +6n n relation de récurrence u = u +4 n nn+1 n 33Remarques sur les fractions: • On échange u et v par la relation v =u −6 n n n nn (qui s’inverse aisément en u =v +6 )  −5 5 1n n On peut écrire: =− =−5× ou, en généralisant: n nu et v ...

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Informations

• Publié par: camus
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• Langue: Français
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Extrait

Mathématiques S juin 2009 CORRIGÉ Les encadrés marqués “approfondissement” sont là pour vous éclairer sur la façon dont le sujet a été réalisé. C’est l’occasion de voir un peu le dessous des cartes en quelques sortes. Exercice 1 (sur 4 points) SUITES u n + 1 ré ← u n 1) étude simple currence a) v n + 1 = v n géométrique de raison 1 3 . ↑ ↓ ↑ ↓     3 Comment trouve-t-on ce résultat ? v n + 1 ? v n Le petit schéma donne la méthode: • On passe de u n à u n + 1 par la      relation de récurrence      u n + 1 = 1 3 u n + 4    • On échange u n et v n par la relation v n = u n − 6    (qui s’inverse aisément en u n = v n + 6 ) • On échange u n + 1 et v n + 1 par la même relation v n + 1 = u n + 1 − 6 Ainsi donc: − v n + 1 = u n + 1 6 et u n + 1 = 1 3 u n + 4 et u n = v n + 6 donc: = v n + 1 = u n + 1 − 6 = 1 3 u n − 2 = 1 3 ( v n + 6 ) − 2 v n 3

Approfondissement : La suite ( u n ) est un mélange de suite arithmétique et géométrique puisque pour passer d’un terme à l’autre on multiplie par 1/3 et on ajoute (-6). On dit que c’est une suite arithmético-géométrique . Pour étudier de telles suites, on passe toujours par une suite auxiliaire v n = u n + α . Si le concepteur du sujet choisit bien α  , la suite ( v n )  sera géométrique. Pour ce faire, il résoud x = 3 1 x + 4 (point fixe). Faites le, vous trouverez α = − 6 . b) terme général: il faut bien regarder ce que l’on connaît: à présent, on tient une suite géométrique ( v n ) . On applique donc la formule des formules géométriques:   1  n • on sait que v n = v 0 ×  3   • on n’a pas v 0 : on le calcule, v 0 = u 0 − 6 = − 5 d’où − n 5   v = n 3 − 5 • on remplace dans u n = v n + 6 , on trouve: u n = 3 n + 6 Remarques sur les fractions : On peut écrire: − 3 n 5 = − 3 5 n = − 5 ×    3 1  n en généralisant:   ou, b × 1 −  1 a × c − n b = c ab ×   c    n = − c n a × b = a × − c n b − a = n n c) 3 1 < 1 donc    1 3    → 0 donc u n → 6 .