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Corrige Bac Mathematiques 2004 S

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Correction1Correction Exercice 1:1: Simple calcul : a' = −2i et b ' = −6 − 2i.2: M appartient à la droite d'équation y = −2 si et seulement si z = x − 2i avec x réel. Alors, z ' = −2(x + 2i) + 2i = −2x − 2i donc M' d'affixe z ' appartient aussi à la droite d'équation y = −2.3: Pour tout point M d'affixe z, on a : |z ' + 2i| =| ( −2 + 2i ) + 2i | = | −2 + 4i | = 2| −2i | = 2| z + 2i | car tout nombre complexe a le même module que son conjugué. On peut alors dire que pour tout point M, distance(AM ') = 2distance(AM) , AM ' = 2AM.4: un argument de z + 2i. a: L'affixe du vecteur est z + 2i. Donc, est bien une mesure de l'angle . b: Là aussi, simple calcul ! Pour faire simple, poser z = x + iy avec x et y réel. Alors on a : z + = 2x , z − z' = 2iy , z = x² + y² = |z| ² donc (z + 2i)(z' + 2i) = (z + 2i)(−2 + 4i) = −2z + 4iz −4i − 8 = −2|z|² +8i²y − 8 = −2(x²+y²) − 8y − 8 D'où (z + 2i)(z' + 2i) = −2x² −2y² − 8y − 8 = −2x² − 2(y+2)² D'où (z + 2i)(z' + 2i) est bien un réel négatif. Mais on peut faire encore plus simple et plus rapide. On remarque que (z' + 2i) = (−2 + 4i) donc (z+2i)(z'+2i) = (z+2i)(−2 + 4i) = −2( − 2i)(z + 2i). Or, ( − 2i) est le conjugué de (z + 2i) donc |z + 2i|² = ( −2i)(z+2i) D'où (z + 2i)(z' + 2i) = −2|z + 2i|² qui est bien un réel négatif. c: Les réels négatifs non−nuls ont pour argument à 2 près. Or Arg((z + 2i)(z' + 2i)) = Arg(z+2i) + ...

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