Corrige Bac Mathematiques 2007 S

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¾¾ﬁ¾ﬁﬁ·¾¾¾¾˛¾˛·˛·˛¾ﬁﬁﬁ¾¾¾Correction Mathématiques 2007, Baccalauréat filière ScientifiqueExercice 1 : Sur 3 points (commun à tous les candidats) 1) (P) : x + 2y – z + 1 = 0 et (P’) : – x + y + z = 0. n (1 ; 2 ; – 1 ) est un vecteur normal du plan (P) n’ ( – 1 , 1 , 1) estcteur normal du plan (P’) n . n’ = 1 (– 1) + (2 1) + (– 1) 1 = 0. Les vecteurs n et n’ sont orthogonaux. Donc les plans (P) et (P') sont perpendiculaires (et donc sécants). 2) Déterminons deux points appartenant à la droite (d) : 1 1Pour t = 0 x = – , y = – et z = 0 3 32 1Pour t = 1 x = , y = – et z = 1 3 31 1 2 1   Les points B – , – , 0 et C , – , 1 appartiennent à la droite (d).    3 3 3 3   Vérifions que B et C appartiennent aux plans (P) et (P’). (P) : x + 2y – z + 1 = 0 1 2 – – + 1 = 0 donc B (P) 3 32 2 – – 1 + 1 = 0 donc C (P) 3 3(P’) : – x + y + z = 0. 1 1 – + 0 = 0 donc B (P’) 3 32 1 – – + 1 = 0 donc C (P’) 3 3Les plans (P) et (P’) ont deux points en communs B et C, ils se coupent donc selon la droite (BC). Comme les points B et C appartiennent à la droite (d), par conséquent les plans (P) et (P') se coupent selon la droite (d). 3) Distance de A au plan (P), notons H le projeté orthogonal de A sur (P). 0 + 2 – 1 + 1 2 6 d(A, (P)) = AH = = d(A, (P)) = 2 2 2 31 + 2 + (– 1) 6 Distance de A au plan (P’), notons I le projeté orthogonal de A sur (P’) 0 + 1 + 1 2 2 3 d(A, ...

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Correction Mathématiques 2007, Baccalauréat filière Scientifique

Exercice 1 :Sur 3 points(commun à tous les candidats)1)(P) : x + 2y – z + 1 = 0 et (P’) : – x + y + z = 0. ¾¾® n (1 ; 2 ; – 1 ) est un vecteur normal du plan (P) ¾¾® n’ ( – 1 , 1 , 1) est un vecteur normal du plan (P’) ¾¾® ¾¾® n . n’ = 1×(– 1) + (2×1) + (– 1)×1 = 0. ¾¾® ¾¾® Les vecteurs n et n’ sont orthogonaux. Donc les plans (P) et (P') sont perpendiculaires(et donc sécants). 2)Déterminons deux points appartenant à la droite (d) : 1 1 Pour t = 0 x = – , y = – et z = 0 3 3 2 1 Pour t = 1 x = , y = – et z = 1 3 3 1 1 2 1 Les points B– , – , 0et C, 1, – appartiennent à la droite (d). 3 3 3 3 Vérifions que B et C appartiennent aux plans (P) et (P’). (P) : x + 2y – z + 1 = 0 1 2 – – + 1 = 0 donc BÎ(P) 3 3 2 2 – – 1 + 1 = 0 donc CÎ(P) 3 3 (P’) : – x + y + z = 0. 1 1 – + 0 = 0 donc BÎ(P’) 3 3 2 1 – – + 1 = 0 donc CÎ(P’) 3 3 Les plans (P) et (P’) ont deux points en communs B et C, ils se coupent donc selon la droite (BC). Comme les points B et C appartiennent à la droite (d), par conséquentles plans (P) et (P') se coupent selon la droite (d). 3)Distance de A au plan (P), notons H le projeté orthogonal de A sur (P). 0 + 2 – 1 + 1 26 d(A, (P)) = AH = =d(A, (P)) = 2 2 2 3 1 + 2 + (– 1) 6 Distance de A au plan (P’), notons I le projeté orthogonal de A sur (P’) 0 + 1 + 1 22 3 d(A, (P’)) = AI = =d(A, (P’)) = 2 2 2 3 (– 1) + 1 + 1 3 4)Notons J le projeté orthogonal de A sur la droite (d). Comme les plans (P) et (P') sont perpendiculaires et qu’ils se coupent selon la droite (d), le triangle AHJ est donc rectangle en H. (voir dessin) 6 2 3 On a AH = et HJ = AI = 3 3 2 2 26 12 Donc d’après le théorème de Pythagore on a : AJ = AH + HJ = + = 2 9 9 Donc la distance du point A à la droite (d) est AJ = 2

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