Corrige Bac Mathematiques 2007 S

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• Publié par: shin
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Extrait

Durée:4heures [CorrectiondubaccalauréatSLaRéunionjuin2007\ EXERCICE 1 5points Communàtouslescandidats y−lna 1 x 1. a. A(a ; lna).M(x ; y)(6ÆA) ∈(T) ⇐⇒ = ⇐⇒ y= −1+lna. x−a a a b. P(0; y)∈(T) ⇐⇒ y=−1+lna. P(0; lna−1). LongueurPQ:OnaQ(0; lna). 2 2 2PQ ==(0−0) +(lna−lna+1) =1. DoncPQ=1. y=lnx B lnb R 1(lna+lnb) 2 A Qlna →− −1 xO pP →− a babı La construction simple de la tangente : on construit P en enlevant 1 à l’ordonnéedeQ:latangenteestladroite(PA).¡ ¢p p 2. R.O.C.:enappliquantlapropriétéàlnm=ln m× m ,onobtient: p p p p 1 lnm=ln m+ln m=2ln m ⇐⇒ ln m= lnm (avecm>0). 2 p p 1 3. Onalna+lnb=lnab=2ln ab ⇐⇒ ln ab= (lna+lnb). 2 D’oùlaconstruction: – Onconstruitlamédiatricede[QR]. p ab.– CettemédiatricecoupeΓenunpointdontl’abscisseestln EXERCICE 2 4points 21. u −u =u >0:lasuiteestdonccroissante.n+1 n n 2 ′2. a. h(x)=x +x;h estdérivableeth (x)=2x+1.¸ · 1 ′Sur −∞;− , h (x)<0⇒h estdécroissante; 2¸ · 1 ′Sur − ;+∞ , h (x)>0⇒h estcroissante. 2µ ¶ 1′h − =0. La fonction admet en ce point un extremum qui est un mi- 2 µ ¶ 1 1 1 1 nimumh − = − =− . 2 4 2 4BaccalauréatS ¸ · ¸ · 1 1 1 Sur −1;− la fonction décroit de 0 à− et sur − ; 0 , la fonction 2 4 2 1 croitde− à0. 4 1 Conclusion:six∈]−1; 0[,alors−1<− 0 ⇐⇒ e −x−1>0 ⇐⇒ e >x+1,quelquesoit x∈R x x x x x 2x x x(e +xe )(e −1)−xe ×e e −xe −e′b. Dérivée de f : f (x)= = = 2 2x x(e −1) (e −1) x xe (e −x−1) . x 2(e −1) Lafonctiong estdonclafonctionk quines’annulequepourx=0.Donc ′f (x)estcomposédetermespositifspour x6Æ0 ′Conclusion:pourx6Æ0, f (x)>0.Lafonctionestcroissantesur]−∞; 0[ etsur]0;+∞[.D’oùle c. Tableaudevariations x −∞ 0 +∞ ′f (x) + + +∞ f(x) 1 0 LaRéunion 2 juin2007BaccalauréatS −x−xe −x x 4. a. f(−x)= = = .−x x xe −1 1−e e −1 Ã ! Ã !−2x−−−→ −2x′ xLescoordonnéesduvecteurMM sont soit oux−xef(−x)−f(x) xe −1Ã ! −2x encore .−x −x 1′Lecoefficientdeladroite(MM )estdonc = .−2x 2 ′ ′b. Lespoints M et M sontsymétriques autourdeO;lespoints O, M et M sontdoncalignés. ′Quand x tend vers 0 le coefficient directeur de la droite (MM ) reste 1 constantégalà .Orcecoefficientestégalementceluideladroite(OM) 2 quiapour limite (parcontinuité de f)latangente àlacourbereprésen- tativede f aupointO. 1′Cecimontrequelenombredérivéen0existeetque f (0)= . 2 EXERCICE 4 5points Enseignementobligatoire p 1. a. b= 3−3i. p p 2 2Ona|b| =3+9=12=(2 3) .Donc|b|=2 3.Ã !pp p ¡ ¡ ¢ ¡ ¢¢1 3 π πb peut donc s’écrire b= 2 3 3 cos − +isin − =−i = 2 3 32 2p π−i 32 3e . p b. Onaaussi|a|=2 3.DoncBappartientaucercledecentreOetderayon ′[OA]. Si A est le symétrique de A autour de O, il suffit de construire la ′médiatrice de [OA ] qui coupe le cercle au point B (point du cercle de partieimaginairepositive). ³ ´1 1−→ −−→ →− −−→ −−→ −−→ 2. a. Par définition EA +3EC = 0 ⇐⇒ OE = OA+3OC ⇐⇒ x = ×E 4 4p 1 (− 3)et y = ×6.E 4Ã !p p 3 3 3 3 ConclusionE − ; .l’affixedeEestdonce=− + i. 2 2 2 2³ ´ p−→ −→ →− −−→ 1 −−→ −−→ b. Pardéfinition2FA+FB = 0 ⇐⇒ OF = 2OA+OB .DoncF(− 3;−1). 3p l’affixedeDeFest f =− 3−i. p 3 3 p p p p− + i−2ie−c − 3−i 3+i 3+3i 3+i 3−32 2 3. a. Calculde = p = p = p = = e−b p 3×123 3 −3 3−3i −3 3+9i− + i− 3+3i 2 2p 3 iquiestbienunimaginairepur. 9 ³ ´e−c π−→ −→ L’égalité =kientraîneenprenantlesarguments: BE, CE = [2π]. e−b 2 Cecimontreque ladroite(BE)est perpendiculaire àladroite(CE).Mais E barycentre des points A et C appartient à la droite (AC); donc E est le pieddelahauteurissuedeBdansletriangle(ABC). p p f −c − 3−i−2i 3 b. Onademême = =...= i.p p f −b 2− 3−i− 3+3i En prenant les arguments des deux membres on montre ainsi que les LaRéunion 3 juin2007BaccalauréatS droites(BF)et(CF)sontperpendiculairesetcommeFbarycentredeAet B appartient à la droite (AB), F est le pied de la hauteur issue de C dans letriangle(ABC). 4. On peut écrire que H est le barycentre de {(F ; 3) ; (C ; 6)} en utilisant l’asso- ciativitédubarycentre,doncHappartientàladroite(CF). De même comme le barycentre du système {A ; 2) ; (C ; 6)} est aussi le bary- centredusystème{A; 1); (C; 3)},ondéduittoujoursd’aprèsl’associativitédu barycentreque H est le barycentredu système {A; 1) ; (C ; 3) ; (B; 1)} soit le barycentredusystème{E; 3); (B; 1)}.DoncHappartientàladroite(BE). Finalement H appartient à deux hauteurs du triangle (ABC) : c’est donc l’or- thocentre du triangle du triangle (ABC) (et donc par conséquence la droite (AH)estperpendiculaireàladroite(BC)). EXERCICE 4 5points Enseignementdespécialité 1. a. Voirlecorrigéci-dessus. b. Voirlecorrigéci-dessus. p−→ c. L’affixeduvecteurAB est3 3−3i,dontlecarrédumoduleest9×3+9= 236=6 . Ã !pp 3 1 π−i 6Cetteaffixepeutdoncs’écrire:3 3−3i=6 −i =6e . 2 2³ ´→− −→ πConclusion u ; AB =− .6 p−−→ DemêmeL’affixeduvecteurAC est2 3+2idontlecarrédumoduleest 2égalà16=4 . Ã !pp 3 1 πi 6Cetteaffixepeutdoncs’écrire2 3+2i=4 + i =4e . 2 2³ ´→− −→ πConclusion u ; AC = . 6 p p3 3¡ ¢ ¡ ¢−→ −−→ −−→ 4−→2 322. a. CoordonnéesdeAE etAC .OnaAC = AE,lesvecteurssont3 2 2 3 colinéaires,doncA,EetCsontalignés.p p¡ ¢ ¡ ¢−→ −→ −→ −→3 3 3 De même AF et AB . On a AB = 3AF ce qui montre que les−1 −3 pointsA,FetBsontalignés. b. Voirlesujetobligatoire c. Voirlafigure p1′3. z7¡→z = z− 3. 2 ¡ p ¢ p p1 ImagedeA:z ′= × −2 3 − 3=−2 3=z .AA 2 p¡p ¢ p1 3 3 ImagedeB:z ′= × 3+3i − 3=− + i=z .EB 2 2 2p p1 ImagedeC:z ′= ×(−2i)− 3=− 3−i=z .C F 2 4. *Géométriquement : Laquestion précédente montreque Hest l’orthocentre ′ ′ ′de(ABC),doncsonimagepars estl’orthocentredutriangle(A B C )quiestle triangleAEF. Ilsuffitdetracerdeuxhauteursdecetriangle. *Parlecalcul: 4−−→ −→ −→ −−→ →− – OnadémontréqueAC = AE quipeuts’écrireEA+3EC = 0 . 3 Le point E est le barycentre du système {(A ; 1) ; (C ; 3)}. Le point H ap- partenant à la droite (BE) est barycentre des points E et B, soit en utilisant LaRéunion 4 juin2007BaccalauréatS l’associativité dubarycentre: Hbar.{(A ; 1); (C; 3); (B; α)}.−→ −→ −→ −→ →− – DemêmeAB =3AF ⇐⇒ 2FA+FB = 0 quimontrequeFestlebarycentre du système {(A ; 2) ; (B ; 1)}. Le point H appartenant à la droite (CF) est barycentredespointsFetC,soitenutilisantl’associativité dubarycentre: Hbar.{(A ; 2); (B; 1); C; β)}. – DoncH=bar.{(A ; 2); (B; 2α); (C; 6)}=bar.{(A ; 2); (B; 1); C; β)}. 1 Enprenantα= , β=3,onobtientlemêmebarycentre. 2 Conclusion : H est la barycentre du système {(A ; 2) ; (B ; 1) ; (C ; 6)}. Or ′unesimilitudeconservelebarycentre,doncH imagedeHpars estlebary- ′ ′ ′centredusystème{(A ; 2); (B ; 1); (C ; 6)} ⇐⇒³ ´−−→ −−→ −−→ −−→1′ ′ ′ ′OH = 2OA +1OB +6OC égalitéquisetraduitpar: 17 p p p1 p −4 3− 3−6 3 7 3  2 x ′ = −x ′ = HH 6⇐⇒9 1 3  −6 ′y = −2 H′y = 2H 9 *Autreprolongementpossible:montrerque s estcomposée:³ ´→− – delasymétrieautourde O; u , 1 – del’homothétie decentreOetderapport , 2p →− – delatranslationdevecteur− 3u . ANNEXE2(enseignementobligatoireetdespécialité) (Àrendreaveclacopie) Exercice4 C 2 E H 1 A ′ OH−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −1 F −2 −3 B −4 LaRéunion 5 juin2007 + + + + + +