Corrige Bac Mathematiques 2008 S

Description

Corrigé par Bankexam.fr Exercice 1 1) a) F est dérivable sur ]0 ;+∞ [ 1F'(x)= ln(x)+ x× −1= ln(x) xF est donc une primitive de la fonction logarithme népérien. eD’où I =[x ln(x)− x] 1I =e.ln(e)−e− (ln(1)−1)= 1 e2b) J = ln(x) dx ∫ 12u(x)= ln(x)Soit v'(x)= 12.ln(x)u'(x)=On a xv(x)= xLes fonctions u, u’, v et v’ sont continues sur ]0 ;+∞ [ ee 2.ln(x)2[ ]J = x.ln(x) − ×x.dx 1 ∫ 1 xe2 2J =e.ln(e) − ln(1) − 2 ln(x).dx ∫ 1Donc J =e− 2I c) On a vu, I = 1, d’où J = e - 2. d) Sur l’intervalle [1 ; e] on a f (x)≥ g(x) eOn cherche donc [f (x)− g(x)]dx ∫ 1e eD’où A= f (x).dx− g(x).dx= I −J = 1−e+ 2 ∫ ∫1 1A = 3 - e 2) On cherche x tel que la distance MN à l’abscisse x entre C et C soit maximale. f gSoit la fonction h(x) représentant la distance entre M et N. h(x) = f(x) - g(x). Via une étude de fonction, nous allons établir la pente de h(x) et ses extrémités. 2h(x)= ln(x)− ln(x) h est dérivable sur [1 ; e] 1 1 1− 2.ln(x)h'(x)= − 2.ln(x) = x x xx étant strictement positif, h’(x) a le signe et les zéros de 1− 2.ln(x) On cherche donc 1− 2.ln(x)= 0 1Soit : x= e pour obtenir h’(x) = 0. 1Donc 1− 2.ln(x)< 0 pour x> e Dessiner le tableau de variation de h(x). 1h(x) est maximal pour x= e 1Donc MN est maximal pour x= e 1 1 1 2et h(h( e )= ln( e )− ln( e ) = 0,5− 0,25= 0,25 1Et MN vaut 0,25 pour x= e . Exercice 2. 1) a) Les vecteurs AB(0;1;1) etAC(2;−2;2) ne sont pas colinéaires car non proportionnels ...

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Extrait

Corrigé par Bankexam.fr

Exercice 1

1) a)

F est dérivable sur ]0 ;

∞

+

[

)

ln(

1

1

)

ln(

)

(

'

x

x

x

x

x

F

=

-

×

+

=

F est donc une primitive de la fonction logarithme népérien.

D’où

[

]

e

x

x

x

I

1

)

ln(

-

=

1

)

1

)

1

(ln(

)

ln(

.

=

-

-

-

=

e

e

e

I

b)

∫

=

e

dx

x

J

1

2

)

ln(

Soit







=

=

1

)

(

'

)

ln(

)

(

2

x

v

x

x

u

On a











=

=

x

x

v

x

x

x

u

)

(

)

ln(

.

2

)

(

'

Les fonctions u, u’, v et v’ sont continues sur ]0 ;

∞

+

[

[

]

∫

×

-

=

e

e

dx

x

x

x

x

x

J

1

1

2

.

)

ln(

.

2

)

ln(

.

∫

-

-

=

e

dx

x

e

e

J

1

2

2

).

ln(

2

)

1

ln(

)

ln(

.

Donc

I

e

J

2

-

=

c)

On a vu, I = 1, d’où J = e - 2.

d)

Sur l’intervalle [1 ; e] on a

)

(

)

(

x

g

x

f

≥

On cherche donc

[

]

dx

x

g

x

f

e

∫

-

1

)

(

)

(

D’où

2

1

).

(

).

(

1

1

+

-

=

-

=

-

=

∫

∫

e

J

I

dx

x

g

dx

x

f

A

e

e

A = 3 - e

2)

On cherche x tel que la distance MN à l’abscisse x entre

f

C

et

g

C

soit maximale.

Soit la fonction h(x) représentant la distance entre M et N.

h(x) = f(x) - g(x).

Via une étude de fonction, nous allons établir la pente de h(x) et ses extrémités.

2

)

ln(

)

ln(

)

(

x

x

x

h

-

=

h est dérivable sur [1 ; e]

x

x

x

x

x

x

h

)

ln(

.

2

1

1

)

ln(

.

2

1

)

(

'

-

=

-

=

x étant strictement positif, h’(x) a le signe et les zéros de

)

ln(

.

2

1

x

-

On cherche donc