Corrige Bac Mathematiques Specialite 2007 S

Durée:4heures[CorrigédubaccalauréatSNouvelle-Calédoniemars2007\(spécialité)EXERCICE 1 5pointsCommunàtouslescandidats ³ ´→−→− →−Pourtoutcetexercice,l’espaceestmunid’unrepèreorthonormal O, ı ,  , k .1. QuestiondecoursÉtablir l’équation cartésienne d’un plan dont on connaît un vecteur normal¡ ¢→−n (a, b, c)etunpointM x , y , z .0 0 0 0a(x−x )+b(y−y )+c(z−z )=0.0 0 0    −4 5−→ −→   2. a. ConsidéronsparexemplelesvecteursAB −1 etBC 5 .Cesvec-7 −5teursnesontmanifestement pascolinéaires.LestroispointsdistinctsA,BetCdéfinissentunplanP.b. A∈P ⇐⇒ 2×1−2+(−3)+3=0:Vrai.B∈P ⇐⇒ 2×(−3)−1+4+3=0:Vrai.C∈P ⇐⇒ 2×2−6+(−1)+3=0:Vrai.L’équationduplan(ABC)estbien:M(x ; y ; z)∈(ABC) ⇐⇒ 2x−y+z+3=0.c. I(−5 ; 9 ; 4). On a vu à la question de cours que les coordonnées d’un 2→−  vecteurnormalauplan(ABC)estlevecteur u −1 .Cevecteurestun1vecteurdirecteurdeladroiteD.Entraduisantl’égalitévectorielle−−→ →−IM =αu avecα∈R,onobtientlesystème: x−(−5) = 2α x = −5+2α y−9 = −α ⇐⇒ y = 9−α α∈R z−4 = α z = 4+αd. LescoordonnéesdupointJ,intersection deladroiteD etduplan(ABC)vérifientlesystèmeprécédentetl’équation duplan(ABC).Onadonc:x = −5+2αy = 9−α ⇒2(−5+2α)−(9−α)+4+α+3=0 z = 4+α2x−y+z+3 = 0⇐⇒ 6α−12=0 ⇐⇒ α=2.LescoordonnéesdupointJsontdonc(−1; 7; 6).e. La distance du point I au plan (ABC) est IJ puisqueD est perndiculaire2 2 2 2auplan(ABC).OrIJ =(−1+5) +7−9) +(6−4) =16+4+4=24.Doncp pIJ= 24=2 6. p p| |2×(−5)−9+4 12 12 6Onpeutvérifierqued(I,P)= = = =2 6.p p2 2 2 ...