Corrigé du bac S 2008: Mathématique Spécialité

Education Nationale

Description

Vrai/faux géométrie 3D, arithmétique graphique, géométrie complexe, études de fonctions et d'intégrales.
Terminale S, Asie, 2008

Sujets

• bac
• bac s
• corrigé bac

Informations

• Publié par: les-corriges
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 52
• Langue: Français

Extrait

[CorrectiondubaccalauréatSAsie18juin2008\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
A-Vraioufaux?
1. Faux:contre-exemple:ilsuffitdeprendreP etP perpendiculairesàP .1 3 2
2. Faux:contre-exemple:onreprendl’exempleprécédent.
3. Vrai:sideuxplanssontparallèles,toutplansécantàl’unestsécantàl’autre.
4. Faux :P etP sont parallèles : si la droiteD est incluse dansP elle n’est pas sé-1 2 1
canteavecP .2
B-Intersectiondetroisplansdonnés
!? !?
1. Le vecteur n (1; 1;?1) estnormalàP , n (2; 1; 1) estnormalàP etcesdeux1 1 2 2
vecteursnesontpascolinéaires:lesdeuxplanssontdoncsécants.
Ilfautrésoudre:
8? ? x ? ?3z?3?z<x?y?z ? 0 x?y?z ? 0
y ? 3z?3() ()2x?y?z?3 ? 0 ?y?3z?3 ? 0 :
z ? z
8
x ? ?2t?3<
() y ? 3t?3:
z ? t
qui est une représentation paramétrique de la droiteΔ commune aux plansP et1
P2
2. UnpointdeΔappartientàP sietseulementsi:3
?2t?3?2(3t?3)?4(t)?3?0 () ?2t?6t?4t?3?6?3?0
quiestvraiquelquesoitt2R.
CecisignifiequetoutpointdeΔappartientàP .3
Conclusion:P \P \P ?Δ1 2 3
EXERCICE 2 5points
Réservéauxcandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
1. Miseenévidenced’unerelationderécurrence
2 3 2
a. Onap(E )? ,p (E )? etp (E )? .1 E 2 21 E15 5 5
D’aprèslaformuledesprobabilitéstotalesappliquéeàE etàE :1 1? ? ? ?
p(E )?p(E \E )?p E \E ?p(E )?p (E )?p E ?p (E )?2 1 2 1 2 1 E 2 1 21 E1? ?
2 3 2 2 6 6 12
? ? 1? ? ? ? ? ?0,48.
5 5 5 5 25 25 25
b. Arbrepondéré:BaccalauréatS A.P.M.E.P.
3
5 J
1?p(E )n
J
V2
5
2
5 J
Vp(E )n
V3
5 ? ?2 3
D’aprèslaloidesprobabilitéstotalesonap E ? 1?p E ? p E ?( ) ( ) ( )n?1 n n5 5
2 1
? p(E ).n5 5
2. Étuded’unesuite
a. Démonstrationparrécurrence:
2 1
– Initialisation:u ? ? :vrai;1 5 2
1 1 1
– Hérédité:supposonsqueu ? ;alors u ? ()n n
2 5 10
1 2 1 2 5 1
u ? ? ? () u ? .Soitfinalementu ? .n n?1 n?1
5 5 10 5 10 2
1
Onadémontréparrécurrencequepourtoutn>1,u 6 .n 2
b. Pourtoutnatureln?0, ? ?
1 2 2 4 4 1
u ?u ? u ? ?u ? ? u ? ?u .n?1 n n n n n5 5 5 5 5 2
1
D’aprèslaquestionprécédenteu 6 ,doncu ?u >0.n n?1 n
2
Lasuite(u )estcroissanten
c. La suite est croissante et majorée par 1 : elle converge vers une limite ` telle
que`61.
1 2
`vérifielarelationderécurrence:`? `? () 5`?`?2 () 4`?2 ()
5 5
1
`? .
2
1
3. a. Onadefaçonévidenteu ?p E etparconséquent lim p E ? .( ) ( )n n n
n!?1 2
b. Considéronslasuitedesdifférencesdep(E )avecsalimite0,5,soitn
v ?p(E )?0,5.n n
Onav ?p(E )?0,5.n?1 n?1
1 2
Larelationderécurrencedevient:v ?0,5? (v ?0,5)? ()n?1 n5 5
1
v ? v .n?1 n5 ? ?n?11 1
La suite (v ) est donc une suite géométrique de raison et v ? ?vn n 15 5? ?
1 2 1 1
soitp(E )?0,5? ?0,5 () p(E )?0,5? .n nn?1 n?15 5 5 10
1
?5 nOnadonc0,499996p(E ) () ?10 () 5 ?50000 ()n n2?5
4ln10 4ln10n?1 45 ?10 () (n?1)ln5?4ln10 () n?1? () n?1? ?
ln5 ln5
6,7.
Ilfautdoncprendren?7.
EXERCICE 2 5points
Asie 2 18juin2008BaccalauréatS A.P.M.E.P.
Réservéauxcandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
A-Représentationgraphiquedequelquesensembles
1. x?2 (modulo3)et y?1 (modulo3),surlegraphique1delafeuilleannexe
2. x?y?1 (modulo3),surlegraphique2delafeuilleannexe;
3. x?y (modulo3),surlegraphique3delafeuilleannexe.
B-Résolutiond’uneéquation
Onconsidèrel’équation(E):7x?4y?1,oùlesinconnuesx et y sontdesentiersrelatifs.
1. Lecouple(?1;?2)estuncouplesolution.
2. Onadonc:?
7?(?1)?4?(?2) ? 1
) (pardifférence)7(x?1)?4(y?2)?0 ()
7x?4y ? 1
7(x?1)?4(y?2) (1).
D’aprèslethéorèmedeGauss,7divise4(y?2)maisestpremieravec4:ildivisedonc
y?2;ilexistedonck2Ztelque y?2?7k () y?7k?2.
Enreportantdans(1),7(x?1)?4?7k () x?1?4k () x?4k?1.
Lescouplessolutionssontdelaforme(4k?1; 7k?2), k2Z.
Inversementonvérifiequ’uncouple(4k?1; 7k?2)vérifiel’équationproposéecar
7(4k?1)?4(7k?2)?28k?7?28k?8?1.? ?
06 4k?16 4 16 4k6 5
3. (x ; y) appartient à R () () ()4,7 06 7k?26 7 26 7k6 9
k?1
Ilyadoncuneseulesolution:lecouple(3;5).
C-Unepropriétédespointssituéssurladiagonaleduréseau.
???! ??!
1. M(x ; y)2[OA]() ilexistek2R,OM ?kOA,
k2[0; 1] () x?ka, y?kb, k2[0; 1] () 06x6a ; 06y6b, x?ka,
x y
y?kb () 06x6a ; 06y6b, k? ? () 06x6a ; 06y6b ; ay?bx.
a b
2. D’aprèslaquestionprécédentea divisebx maisestpremieravecb :ildivisedoncx
etdemêmeb divise y.Oronavuque:
06x6a cequiimplique quex?0oux?a etdemême y?0ou y?b.Lespoints
solutionssontdoncO(0;0)et A(a ; b).
0 0 03. Considéronslepgcdd desnombresa etb.Onaa?da etb?db avec0?a ?a et
00?b ?b.
a b
0 0 0 0L’égalité d? ? entraîne a b?ab .Doncle pointdecoordonnées(a ; b )ap-
0 0a b
partientausegment[OA].
Ilexistedoncaumoinsunautrepointduréseausurlesegment[OA].
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
A-Quelquespropriétés ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1
0 0 0 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1. z6?0etz ?? ) z ? ? () z ? ? () z ? z ?1.? ? ? ? ? ?z z z z? ?? ? ? ?1 1
0 0Pourlesarguments:z ?? )arg z ?arg ? ?arg(?1)?arg z ???(?argz)?
z z
??argz?arg(z)??.
Asie 3 18juin2008BaccalauréatS A.P.M.E.P.
2. Cecirésulte delaquestion précédente; deplusles points sontdansl’ordreM, Oet
0M .
1 1 1
0 0 03. Pourz6?0,ona (z?1)?1? ?1? ?1?z ?1?z ?z ?1.
z z z
B-Constructiondel’imaged’unpoint
1. jz?1j?1 () AM?1 () M appartientaucercleC decentreAetderayon1.? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1? ? 0 00 0 ? ? ? ? ? ? ? ?2. a. z ?1? (z?1)) z ?1 ? (z?1) () z ?1 ? ?jz?1j () z ?1 ?? ? ? ? ? ?z z z? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1
0 0 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(carM2C () jz?1j?1) () z ?1 ? ? () z ?1 ? z .? ? ? ?z z
0 0Cette dernière égalité s’interprète géométriquement par : BM ? OM qui si-
0 0gnifie que M est équidistant de B et de O, autrement dit M appartient à la
médiatricede[OB].? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 z?1 1
0 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?b. z ?1 ? z () ? ?1 ? ? () ? () z?1 ? 1 ()? ? ? ? ? ? ? ?z z z z
jz?1j?1.
Laréciproqueestdoncvraie:onabienOM?1.
3. Figure
1
0M
B A
O
?2 ?1 1 2
M
?1
Constructiondel’imaged’unpointdeC :
0– M estalignéavecOetM :ilappartientàladroite(OM);
0 0 0– M B=M O,doncM appartientàlamédiatricede[OB];
0– M estdonclepointcommmunàladroite(OM)etàlamédiatricede[OB].
EXERCICE 4 7points
Communàtouslescandidats
A-Restitutionorganiséedeconnaissances
B-Étuded’unefonction
1. La fonction f est le produit de deux fonctions définies et dérivables surR : elle est
0 ?x ?x ?xdoncdéfinieetdérivablesurRet f (x)?e ?(x?1)e ??xe quiestdusignede
?x
?x,puisquee ?0quelquesoitx2R.
? ?LafonctionestdonccroissantesurR etdécroissantesurR .
?0Lemaximumestobtenupourx?0, f(0)?1?e ?1.
Limites:
Asie 4 18juin2008
+
+
+
+BaccalauréatS A.P.M.E.P.
?x ?x– f(x)?xe ?e .
D’aprèslaR.O.C.parproduitetsommedelimites: lim f(x)?0.
x!?1
?x– lim (x?1)??1 et lim e ??1, donc par produit de limites : lim f(x)?
x!?1 x!?1 x!?1
?1.
Onadoncletableaudevariationssuivant:
x ?1 0 ?1
0f ? ?
1
f(x)
?1 0
2. Tracer la courbe (C). On fera apparaître les résultats obtenus précédemment. Voir
ci-dessous
C-Étuded’unefamilledefonctions
1. a. Ona f (x)?x?1:c’estunefonctionaffine0
b. LespointscommunsàC etC ontdescoordonnéesquivérifient:0 1?
y ? x?1 x x)x?1?(x?1)e () (x?1)(e ?1)?0 ()xy ? (x?1)e? ? ?
x?1 ? 0 x ? ?1 x ? ?1
() ()x xe ?1 ? 0 e ? 1 x ? 0
Onadoncdeuxpointscommune:lepoint(0;1)etlepoint(?1; 0).
Onremarquequequelquesoitk, f (?1)?0,donclepoint(?1; 0)appartientk
àtouteslescourbesC .k
Demême,quelquesoitk, f (0)?1,donclepoint(0;1)appartientàtouteslesk
courbesC .k
2. Tableaudesignes:
x ?1 ?1 0 ?1
?Signedex?1 ? ?0
x ? ?Signedee ?1 ?0
x ?Signede(x?1)(e ?1) ? 0 0 ?
Onadonc:
(k?1)x kx kx xf (x)?f (x)? (x?1)e ?(x?1)e ? (x?1)e (e ?1) qui est du signe duk?1 k
kxproduitci-dessuscare ?0quelquesoitx2R.Onendéduitque:
– pourx??1etpourx?0, C estaudessusdeCk?1 k
– pour?1?x?0,C estaudessousdeCk?1 k
– lesdeuxcourbessecoupentenx??1etenx?0.
0 kx kx kxf produitdefonctiondérivableestdérivableet f (x)?e ?k(x?1)e ?e (kx?k k
k?1).
kx 0Comme e ?0quelquesoitx etquelquesoitk,lesignede f (x)estceluidekx?
k
k?1.
k?1 k?1
0– Sik?0,alorskx?k?1?0 () x?? ,donc f (x)?0six?? ,doncla
kk k
k?1
0fonctionestcroissantesurcetintervalleet f (x)?0six?? ,donclafonction
k k
estdécroissantesurcetintervalle.
Asie 5 18juin2008BaccalauréatS A.P.M.E.P.
k?1
– Sik?0,alorskx?k?1?0 () x?? .
k
k?1
0f (x)?0 () kx?k?1?0 () k?1??kx () x?? .Lafonction f estkk k? ? ? ?
k?1 k?1
donccroissantesur ?1;? etdécroissantesur ? ;?1 .
k k
3. En utilisant la question pr&