Corrigé du Baccalauréat S Antilles Guyane juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Corrigé du Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2010 EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Les justifications n'étaient pas demandées, elles sont données ici à titre purement pé- dagogique. 1. On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes. Dans un tel jeu, il y a 8 piques et 4 as, dont l'as de pique, le nombre de cartes qui ne sont ni des as ni des piques est donc 32? (8+4?1) = 21. Comme il y a équiprobabilité sur les 32 cartes, la probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est donc égale à : 21 32 Réponse B 2. On tire au hasard et simultanément deux cartes d'un jeu de 32 cartes. Il y a cette fois-ci équiprobabilité sur les (32 2 ) façons de tirer simultanément 2 cartes parmi 32. La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est donc égale à : (21 2 ) (32 2 ) = 21?20 2?1 32?31 2?1 = 105 248 Réponses A et B 3. La durée d'attente à un guichet de service, exprimée en heure, suit la loi uni- forme sur l'intervalle [0;1]. La probabilité que la durée d'attente d'une personne prise au hasard soit com- prise entre 15 min (soit 14 h) et 20 min (soit 1 3 h) est, d'après le cours

• affixes z1


• similitude directe


• affixe z ?


• s2 ?s1


• triangle oab


• similitude indirecte d'écriture complexe


• points commun


• similitude indirecte

Sujets

• Similitude (géométrie)

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2010
• Nombre de lectures: 31
• Langue: FrançaisFrançais

Extrait

CorrigéduBaccalauréatSAntilles-Guyane18juin2010
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
Lesjustificationsn’étaientpasdemandées,ellessontdonnéesiciàtitrepurementpé-
dagogique.
1. Ontireauhasardunecarted’unjeude32cartes.
Dansunteljeu, ilya 8piques et4as,dontl’asdepique, lenombredecartes
qui ne sont ni des as ni des piques est donc 32−(8+4−1)=21. Comme il y
a équiprobabilité sur les 32 cartes, la probabilité de n’obtenir ni un as, ni un
pique,estdoncégaleà:
21
RéponseB
32
2. Ontireauhasardetsimultanément deuxcartesd’unjeude32cartes.¡ ¢32
Il y a cette fois-ci équiprobabilité sur les façons de tirer simultanément2
2 cartes parmi 32. La probabilité de n’obtenir ni un as, ni un pique, est donc
égaleà:
¡ ¢21 21×20
1052 2×1
¡ ¢= = RéponsesAetB
32 32×31 248
2 2×1
3. La duréed’attente à unguichet deservice, exprimée enheure,suit la loiuni-
formesurl’intervalle [0;1].
Laprobabilitéqueladuréed’attented’unepersonnepriseauhasardsoitcom-
1 1priseentre15min(soit h)et20min(soit h)est,d’aprèslecours:
4 3
1 1− 13 4
= RéponseC
1−0 12
4. On considère 10 appareils identiques, demême garantie, fonctionnant indé-
pendammentlesunsdesautres.Laprobabilitépourchaqueappareildetom-
berenpannedurantlapériodedegarantieestégaleà0,15.Onestdoncdansle
cadred’unschémadeBernoulli.Notons X lenombred’appareilstombanten
pannedurantlapériodedegarantie.AlorsX suitlaloibinomialeB(10; 0,15).
Laprobabilitépourqu’exactement9appareilssoientenparfaitétatdemarche
àl’issue delapériodedegarantieestdoncégaleàcellequ’ilyaitexactement
1appareilenpanne,soit:
à !
10 1 9 9 −2p(X =1)= 0,15 ×0,85 =10×0,15×0,85 ≃0,35à10 près.
1
RéponsesAetD.
EXERCICE 2 5points
Réservéauxcandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
³ ´→− →−
Leplanestmunid’unrepèreorthonormaldirect O, u , v d’unité1cm.
1. Restitutionorganiséedeconnaissances
¯ ¯′¯ ¯ ¯ ¯z −ω′¯ ¯ ¯ ¯a. Larelation(1)setraduitpar z −ω =|z−ω|,ouencore =1.¯ ¯z−ωµ ¶′z −ω
Larelation(2)setraduitpar:arg =θ (2π).
z−ωBaccalauréatS A.P.M.E.P.
′z −ω
b. Le nombre complexe a pour module 1 et pour argument θ, on
z−ω
′z −ω iθpeut donc écrire, en utilisant la forme exponentielle, que : =e .
z−ω
′ iθ ′ iθOnendéduitalorsquez −ω=e (z−ω)d’où:z =e (z−ω)+ω.
p
22. L’équation : z −4 3z+16= 0 a pour discriminantΔ=−16< 0. Il y a donc
deuxsolutionscomplexesconjuguées:
p
p p4 3−4i
z = =2 3−2ietz =z =2 3+2i.1 2 1
2
à !p
p ¡ ¡ ¢ ¡ ¢¢3 1 ππ π i
63. a. Onab=2 3+2i=4 + i =4 cos +isin =4e .Onendé-6 62 2
π−i 6duitquea=b=4e .
b. Voirfigure1.
c. Comme a et b sont conjugués, les points A et B sont symétriques par
rapportàl’axeréeletl’onadoncOA=OB=|a|=4.¯ p p ¯
¯ ¯Parailleurs AB= 2 3+2i−(2 3−2i) =|4i|=4.
AinsiOA=OB= AB,letriangleOAB estdoncéquilatéral.
à !p
p2π 1 3i
34. D’aprèslaquestion1:d=e (c−0)+0= − +i (−8i)=4 3+4i.
2 2
−−→ −−→
5. Onconstatequed=2b,autrementdit:OD =2OB ,cequisignifiequeD est
l’imagedeB parl’homothétiedecentreO etderapport2.
6. OB = AB car le triangleOAB est équilatéral; de même BD=OB car B est le
−−→ −−→
milieu de[OD](puisqueOD =2OB ).OnadoncBO=BA=BD etlespoints
O,B etD sontalignés,donclepoint A appartientaucercledediamètre[OD]
(etdecentreB).LetriangleOAD estdoncrectangleen A.
Autreméthode:
à !pµ ¶³ ´ p−→ −−→ d−a 2 3+6i π
AO ; AD =arg =arg p =arg(−i 3)=− (2π).
−a 2−2 3+2i
EXERCICE 2 5points
Réservéauxcandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
′1. Soits unesimilitudeindirected’écriturecomplexez =az+b.SoitC unpoint
d’affixec,D etE deuxpointsd’affixesrespectivesd ete,distinctsdeC.Soient
′ ′ ′ ′ ′ ′C =s(C),D =s(D),etE =s(E).Notonsc ,d ete les affixesrespectives des
′ ′ ′pointsC ,D etE .Alors(modulo2π):
µ ¶³ ´ ′ ′−−−→ −−−→ e −c′ ′ ′ ′
C D ; C E = arg d’aprèslaprop.2
′ ′d −c
µ ¶
ae+b−ac−b
= arg d’aprèslaprop.1
ad+b−ac−bµ ¶
a(e−c)
= arg
a(d−c)
µ ¶
e−c
= arg
d−c
³ ´e−c
= −arg
d−c
³ ´−−→ −→
= − CD ; CE .
Unesimilitudeindirectetransformedoncunangleorientéensonopposé.
Antilles-Guyane 2 18juin2010BaccalauréatS A.P.M.E.P.
2. a. Voirfigure2.
³ ´→− ′b. S estlasymétried’axe O ; u ,sonexpressioncomplexeestz =z.1
3. a. S estunesimilitudedirecte,sonécriturecomplexeestdoncdelaforme2
′ ∗ ′ ′z =az+b,aveca∈C etb∈C.DeplusC =S (C )etD =S (D )donc:2 1 2 1
½
1+4i = 3a+b L1
−2+2i = a(1+3i)+b L2
3+2i i(2−3i)
L −L donne : 3+2i= a(2−3i), d’où a= = =i. En rem-1 2
2−3i 2−3i
plaçant a paridansL onaalors:1+4i=3i+b d’oùb=1+i.L’écriture1
′complexedeS estdonc:z =iz+1+i.2
b. LasimilitudedirecteS apour:2
– rapport:k=|i|=1;
π– angleα=arg(i)= ;2
1+i
– centrelepointΩd’affixeωtelleque:ω= =i.
1−i
(onpeutremarquerqueS n’estriend’autrequelequartdetourdirect2
decentreΩ).
′4. SoitM unpointquelconqued’affixez,M =S (M)d’affixez etM =S (M )1 1 1 2 1
′d’affixez .
′D’aprèslesquestionsprécédentes:z =z etz =iz +1+i=iz+1+i.1 1
′L’expressioncomplexedeS estdonc:z =iz+1+i.
′a. S (C)=S ◦S (C)=S (C )=C .2 1 2 1
′Demême,S (D)=S ◦S (D)=S (D )=D .2 1 2 1
π h−c πi i3 3b. h−c=e (d−c)etd6?c donc: =e .
d−c
Onendéduitque: ¯ ¯µ ¶³ ´ ¯ ¯−−→ −−→ h−c π HC h−c¯ ¯CD ; CH =arg = etque: = =1doncDC=HC.¯ ¯d−c 3 DC d−c
LetriangleCDH estdoncéquilatéraldirect.
c. S =S ◦S ,orS est une similitude indirecteetS est une similitude2 1 1 2
directe, doncS est une similitude indirecte. Par ailleurs, dans cette si-
militude indirecteS , le triangle équilatéral direct CDH a pour image
′ ′ ′C D H .Cederniertriangleestdoncéquilatéralindirect.
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
Zx
OndéfinitlafonctionF sur I,parF(x)= f(t)dt.
0
Z0
1. a. F(0)= f(t)dt=0.
0
b. – Soit x∈ [0 ; 4]. Sur l’intervalle [0 ; x] la fonction f est positive donc,Zx
comme06x,d’aprèslecours: f(t)dt>0,c’est-à-direF(x)>0.
0
– Soit x∈[−3; 0].Surl’intervalle [x ; 0] lafonction f estnégativedonc,
Z Z0 x
commex60,ona: f(t)dt60d’où:− f(t)dt60.
x 0Zx
Onadonc: f(t)dt>0,autrementditF(x)>0.
0
Z4
c. Sur l’intervalle [0; 4], la fonction f estpositive, l’intégrale f(t)dt re-
0
présente donc l’aire de la portion du plan délimitée par l’axe des abs-
cisses,lacourbereprésentativede f etlesdroitesverticalesd’équations
Antilles-Guyane 3 18juin2010BaccalauréatS A.P.M.E.P.
respectives x=0etx=4(enbleusurlafigureci-dessous).
Parailleurs,cetteaireestinférieureàl’aire(mauve)durectangleOABC,
autrementdit:F(4)6OA×AB,c’est-à-dire:F(4)612.

y
A
3 B

2

1

O C
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x
-0,5
-1
-1,5
-2
Demême, l’aire F(4) est supérieure à celle du triangleODC de hauteur
1
[DH](enjaunesurlafigureci-dessous)doncF(4)> ×DH×OC,c’est-
2
à-direF(4)>6.

y
D
3

2

1

O H C
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x
-0,5
-1
-1,5
-2
Zx
2. a. Soitx∈I.Lafonction f estcontinuesurI,doncF :x7! f(t)dt repré-
0
sentelaprimitivede f surI quis’annuleen0.
′b. D’aprèscequi précède, la fonction F est dérivablesur I et F (x)= f(x).
Lesignede f(x)s’obtientparlecturegraphique.Onpeutdoncdresserle
tableaudevariationdeF :
x −3 0 4 8
′SignedeF (x)= f(x) − 0 + 0 −
F(−3) F(4)
Variationde f
0 F(8)
3. OndisposededeuxreprésentationsgraphiquessurI.
CourbeA CourbeB

y y
10 10

8 8

6 6

4 4

2 2

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
x x

-2 -2
LesvariationsdescourbesAetBsontenaccordavecletableaudevariationprécé-
dent,cependant:
Antilles-Guyane 4 18juin2010BaccalauréatS A.P.M.E.P.
– LacourbeAnepeutreprésenterlafonctionF puisqu’ondoitavoirF(0)=0cequi
n’estpaslecaspourlafonctionreprésentéesurcettecourbe.
– La courbeBnepeutreprésenter lafonction F puisqu’on doitavoir66F(4)612
cequin’estpaslecaspourlafonctionreprésentéesurcettecourbe.
EXERCICE 4 6points
Communàtouslescandidats
PartieA
1. Limiteen0.
D’aprèslethéorème descroissancescomparées limxlnx=0,donc,paropé-
x→0
rationssurleslimites: limg(x)=0.
x→0
Limiteen+∞.