Corrigé du baccalauréat S obligatoire Polynésie septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Corrigé du baccalauréat S (obligatoire) Polynésie \ septembre 2010 EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats 1. Proposition 1 : Vraie Quel que soit n ?N, 1(n+1)(n+2) = 1 n+1 ? 1 n+2 , donc tn+1 = tn + 1 n+1 ? 1 n+2 . En écrivant cette égalité pour n = 0, 1, n, on obtient : t1 = 0+ 11 ? 1 2 t2 = t1+ 1 2 ? 1 3. . .= . . . . . . tn = tn?1+ 1 n ? 1 n+1 , soit par somme membres à membres et simplifications : tn = 1? 1n+1 = n+1?1 n+1 = n n+1 . 2. Proposition 2 : Vraie Les suites (un )et (vn) sont adjacentes : elles convergent et ont la même limite . Comme un 6 wn 6 vn , d'après le théorème des « gendarmes », la suite (wn) converge vers la même limite . 3. Proposition 3 : Fausse Il suffit de prendre f définie sur [0 ; 1] par f (x) = x et g définie sur [0 ; 1] par g (x) = 1? x. Les intégrales sont égales à 12 (aires de triangles rectangles iso-cèles) et les fonctions ne sont pas égales.

• traduction complexe de l'égalité ????sm


• boule noire


• triangle rectangle


• orthocentre du triangle pqs


• question précédente


• ??

Sujets

• Boule noire
• Triangle rectangle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2010
• Nombre de lectures: 59
• Langue: Français

Extrait

[CorrigédubaccalauréatS(obligatoire)Polynésie\
septembre2010
EXERCICE 1 3points
Communàtouslescandidats
1. Proposition1:Vraie
1 1 1
Quelquesoitn2N, ? ? ,donc
(n?1)(n?2) n?1 n?2
1 1
t ?t ? ? .n?1 n
n?1 n?2
Enécrivantcetteégalitépourn?0, 1, n,onobtient:
1 1
t ?0? ?1
1 2
1 1
t ?t ? ?2 1
2 3
...=......
1 1
t ?t ? ? ,soitparsommemembresàmembresetsimplifications:n n?1
n n?1
1 n?1?1 n
t ?1? ? ? .n
n?1 n?1 n?1
2. Proposition2:Vraie
Lessuites(u )et(v )sontadjacentes:ellesconvergentetontlamême limiten n
`.
Comme u 6w 6v , d’après le théorème des «gendarmes», la suite (w )n n n n
convergeverslamêmelimite`.
3. Proposition3:Fausse
Il suffit de prendre f définie sur [0; 1] par f(x)?x et g définie sur [0; 1] par
1
g(x)?1?x. Les intégrales sont égales à (aires de triangles rectangles iso-
2
cèles)etlesfonctionsnesontpaségales.
EXERCICE 2 5points
Communàtouslescandidats
0 01. a. PourunpointM d’affixez etsonimageM parhd’affixez ,latraduction
??! ??!0complexedel’égalitéSM ?3SM est:
0 0 0z ?(?5?5i)?3[z?(?5?5i)] () z ??5?5i?3z?15?15i () z ?
3z?10?10i.
b. OnaC=h(A),doncc?3(?2?4i)?10?10i?4?2i.
DemêmeD=h(B)doncd?3(?4?2i?10?10i??2?4i.
2 2 2 22. Ona:jaj ?4?16?20,jbj ?16?4?20,jcj ?16?4?20etjdj ?4?16?20,
p p
d’oùjaj?OA?jbj?OB?jcj?OC?jdj?OD? 20?2 5.
p
LespointsA,B,CetDappartiennentaucercledecentreOetderayon2 5.
3. LemilieuIde[AB]apourcoordonnées(?3; 3).
M(x ; y)appartientàlamédiatricede[AB]sietseulementsi(MI)?(AB) ()
?! ?!
MI?AB ?0 () ?2(?3?x)?2(3?y)?0 () ?3?x?3?y?0 () x?y?0
S(?5; 5)appartientàcettemédiatrice;
Ω(?2; 2)appartientàcettemédiatrice.
Conclusion:(SΩ)estlamédiatricede[AB].CorrigédubaccalauréatS A.P.M.E.P.
1
4. a. Onap? (?2?4i?4?2i)?1?3i.
2
!?p ?2?2i?1?3i ?3?i (?3?i)(2?6i) ?6?6?18i?2i
b. ? ? ? ? ?
d?b ?2?4i?4?2i 2?6i (2?6i)(2?6i) 4?36
?20i 1
?? i.
40 2
Entermed’argumentlarelationprécédentesignifieque:
³ ´?! ?! ?
BD, PΩ ?? . Conclusion : la droite (PΩ) est perpendiculaire à la
2
droite(BD).
5. Parl’homothétiehl’image(CD)deladroite(AB)estparallèleàcettedernière:
le quadrilatère ABDCest un trapéze; dans ce trapèze la droite des«milieux»
(PQ)estparallèleà(AB)età(CD).
Or on a vu que (AB) et (SΩ) sont perpendiculaires. Donc (SΩ) est aussi per-
pendiculaireà(PQ).
Donc dans le triangle PQS, (SΩ) et (PΩ) sont deux hauteurs : le pointΩ est
l’orthocentredutrianglePQS.
S
A
4
P
3
Ω CB
2
1
?!
v
?!O
?5 ?4 ?3 ?2 ?1 u 1 2 3 4
?1
Q
?2
?3
D
?4
?5
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
¡ ¢
91. a. Sortonsla boule noire : ilya tirages3boules parmi les9restantes. À3 ¡ ¢9
chacundecestiragesonadjointletiragedelaboulenoire.Ilyadonc 3
tiragesdifférentsdequatreboulescontenantlaboulenoire.
¡ ¢
10Lenombredetiragespossiblesest tirages.
4¡ ¢9 9!
9!?4!?6! 23 3!6!Onadoncp(N? ? ? ? .¡ ¢10 10! 3!?6!?10! 5
4 4!6!
Polynésie 2 septembre2010
bbbbbbbbCorrigédubaccalauréatS A.P.M.E.P.
b. Onal’arbresuivant:
1
2 G
2 N
5
1 G
2
1
6 G
3
N5
G5
6
³ ´ 2 1 3 1 1 1
Onadoncp(G)?p(N)?p (G)?p N ?p (G)? ? ? ? ? ? ?N N 5 2 5 6 5 10
2?1 3
.
10 10
3 7
c. D’aprèslaquestion précédentelaprobabilitédeperdreest1? ? .
10 10³ ´
2 1 1p G\p(N ? 1 10 25 2 5Ilfautcalculerp (N)? ? ? ? ? ? .
G 7 7 5 7 7p(G) 10 10
µ ¶
3
2. a. ? Silejoueurgagne probabilitéde ,lejoueurgagne4?m euro(s);
10
? Si le joueur ne gagne pas mais a tiré la boule noire (probabilité de
2 1 1? ? )lejoueurgagneouperd0euro;5 2 5
? Silejoueurnegagnepasetn’apastirélaboulenoire(probabilitéégale
3 5 1à ? ? )lejoueura«gagné»?m euro(s).
5 6 2
D’oùletableaudelaloideprobabilitédugainX suivant:
X?x 4?m 0 ?mi
3 1 1
p(X?x )i
10 5 2
3 1 1 12?3m?5m 12?8m
b. OnaE(X)?(4?m)? ?0? ?m? ? ? .
10 5 2 10 10
12?8m 12 3
c. OnaE(X)?0 () () 12?8m?0 () m? ? ?1,50(.
10 8 2
3
3. OnauneépreuvedeBernoullideparamètresn etp? .
10µ ¶n7
Laprobabilitédenejamaisgagnerenn jeuxestégale ,donclaprobabi-
10µ ¶n7
litédegagneraumoinsunefoisest:1? .
10
Ilfautdoncrésoudre:µ ¶ µ ¶n n7 7 n1? ?0,999 () ?0,001 () 0,7 ?0,001 ()
10 10
ln0,001
nln0,7?ln0,001(d’aprèslacroissancedelafonctionln)puisn? .
ln0,7
ln0,001
Or ?19,3.
ln0,7
Ilfautdoncjoueraumoins20fois.
EXERCICE 4 7points
Communàtouslescandidats
Partie1
Polynésie 3 septembre2010CorrigédubaccalauréatS A.P.M.E.P.
x1. Onag(x)?e (1?x)?1.
xOr lim e ??1et lim (1?x)??1,doncparproduitdeslimites:
x!?1 x!?1
lim g(x)??1.
x!?1
2. Lafonctiong sommedefonctionsdérivablessur[0;?1[estdérivableetsur
[0;?1[:
0 x x x xg (x)?e ?e ?xe ??xe .
x 0Commee ?0etx?0,onag (x)?0sur[0;?1[.
g estdoncdécroissantesur[0;?1[deg(0)?2à?1.
3. Donnerletableaudevariationsdeg.
x 0 ?1
0g (x) ?
2
g(x)
?1
4. a. Sur [0 ; ?1[, g dérivable est donc continue et décroissante, g(0)?0 et
lim g(x)??1.
x!?1
Ilexistedoncunréelunique?2[0;?1[telqueg(?)?0.
b. Lacalculatricedonne:
? g(1)?1etg(2)??6,4,donc1???2;
? g(1,2)?0,3etg(1,3)??0,1,donc1,2???1,3;
? g(1,27)?0,04etg(1,28)??0,007, donc1,27???1,28.
1? ? ? ?c. Onag(?)?0 () e ??e ?1?0 () e (1??)??1 () e ? .
??1
5. Onadoncg(x)?0sur[0;?[;
g(?)?0;
g(x)?0sur[?;?1[.
Partie2
1. Lafonction A quotient defonctionsdérivablessur[0;?1[(ledénominateur
nes’annulantpas)estdérivableetsurcetintervalle :
x x x x4 e ?1 ?4x?e 4 e ?xe ?1 4g(x)( ) ( )0A (x)? ? ? .
2 2 2x x x(e ?1) (e ?1) (e ?1)
2x 0Comme(e ?1) ?0quelquesoitx,lesignede A (x)estceluideg(x).
D’aprèslaprécédentequestiononadonc:
0A (x)?0sur[0;?[;
0A (?)?0;
0A ?0sur[?;?1[.
2. Onadonc:
A(x)estcroissantesur[0;?[etdécroissantesur[?;?1[, A(?)étantlemaxi-
mumdelafonction.
Partie3
4x
1. Onsaitquex>0,doncl’airedurectangleOPMQ estégaleàx?f (x)? ?
xe ?1
A(x).
Oronavuquelafonctionprésenteunmaximumpourx??.
Polynésie 4 septembre2010CorrigédubaccalauréatS A.P.M.E.P.
4
f (?) ? 4e ?12. Lecoefficientdirecteurdeladroite(PQ)estégalà? ?? ?? .
?? ? ?(e ?1)
1
?Oronavuquee ? ,donclecoefficientdirecteurestégalà:
??1
4 4 4(??1) 4(??1)
? ?? ¡ ¢?? ?? .
? 1 2?(e ?1) ?(1???1) ?? ?1??1
0LatangenteenM(?; f(?))apourcoefficientdirecteur f (?).
x4e0Or f (x)?? ,donc
2x(e ?1)
4?4e 4(??1) 4(??1)??10f (?)?? ?? ?? ?? .¡ ¢2 2 2 2? 1 (1???1) ?(e ?1) ?1
??1
Lescoefficientsdirecteurssontégaux:lesdroitessontparallèles.
Polynésie 5 septembre2010CorrigédubaccalauréatS A.P.M.E.P.
ANNEXE
Cettepageneserapasàrendreaveclacopie.
Exercice4
y
2
1 M
Q
f(?)
C
O ?
xP?1 1 2 3
?1
?2
Polynésie 6 septembre2010