Corrigé du baccalauréat S Pondichéry avril

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Corrigé du baccalauréat S Pondichéry \ 21 avril 2010 EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Partie A : Restitution organisée de connaissances f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] donc g ? f est continue sur [a ; b] Pour tout x de [a ; b], f (x) 6 g (x) donc g (x)? f (x) > 0 donc ∫b a [g (x)? f (x)]dx > 0 ∫b a [g (x)? f (x)] dx = ∫b a g (x) dx ? ∫b a f (x) dx et ∫b a [g (x)? f (x)] dx > 0 donc ∫b a g (x)dx? ∫b a f (x)dx > 0 soit ∫b a g (x)dx > ∫b a f (x)dx. Partie B 1. a. Pour tout x de [0 ; +∞[, f1(x)= ln(1+x). Soit X = 1+x, lim x?+∞ X =+∞ ; f1(x)= lnX or lim X?+∞ lnX =+∞ donc lim x?+∞ f1(x)=+∞.

• espérance mathéma- tique


• ?? lnx


• éventuel point d'intersection des droites


• restitution organisée de connaissances


• boule blanche


• ??


• points commun

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 avril 2010
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Français

Extrait

[CorrigédubaccalauréatSPondichéry\
21avril2010
EXERCICE 1 6points
Communàtouslescandidats
PartieA:Restitutionorganiséedeconnaissances
f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] donc g− f est
continue sur [a ; b] Pour tout x de [a ; b], f(x)6 g(x) donc g(x)− f(x)> 0
Zb
donc [g(x)−f(x)]dx>0
aZ Z Z Zb b b b
[g(x)− f(x)]dx = g(x)dx− f(x)dx et [g(x)− f(x)]dx> 0 donc
a a a aZ Z Z Zb b b b
g(x)dx− f(x)dx>0soit g(x)dx> f(x)dx.
a a a a
PartieB
1. a. Pourtoutx de[0;+∞[, f (x)=ln(1+x).1
SoitX=1+x, lim X=+∞;
x→+∞
f (x)=lnX or lim lnX=+∞donc lim f (x)=+∞.1 1
X→+∞ x→+∞
b. f estlacomposéededeuxfonctions:1
x7?→1+x continueetdérivablesur[0;+∞[,àvaleursdans[1;+∞[
et
x7?→lnx, continue et dérivable sur [1 ; +∞[, donc f est continue1
etdérivablesur[0;+∞[.
1′ ′f (x)= donc pour tout x de [0 ; +∞[, f (x)> 0 donc f est11 1x+1
strictementcroissantesur[0;+∞[.
′u (x)=1 u(x)=x+1
1c. Soit: ′v(x)=ln(1+x) v (x)=
x+1
′u et v sontcontinuesetdérivablessur[0;+∞[,demêmequeu et
′v donc Z1
′1I =[u(x)v(x)] − u(x)v (x)dx;1 0
0 Z Z1 1x+11 1I =[(x+1)ln(x+1)] − dx=[(x+1)ln(x+1)] − 1dx=1 0 0x+10 0
2ln2−0−1;
I =2ln2−1.1
f (0)= 0 et f est strictement croissante sur [0 ; +∞[ donc f est1 1 1
positivesur[0; 1].
f estcontinuesur[0 ; 1] donc I estl’aire(en unitéd’aires)dudo-1 1
mainelimitéparl’axedesabscisses,lesdroitesd’équationx=0,
x=1etlacourbereprésentativede f .1A.P.M.E.P. CorrigéduBaccalauréatS
2. a. Pourtoutentiernaturelnonnuln, f estlacomposéededeuxfonc-n
tionscontinuessur[0;+∞[:
nx7?→1+x etx7?→lnx donc f estcontinuesur[0;+∞[.n
n nPourtoutx de[0; 1], 06x 61donc161+x 62.
Lafonctionlogarithmenépérieneststrictementcroissantesur]0;+∞[
ndoncln16ln(1+x )6ln2.
Lafonction f estcontinuesur[0; 1]etpourtoutx de[0; 1],n
06 f (x)6ln2.n
Z1
Donc pour tout entier naturel non nul n, 06 I 6 ln2dx, soitn
0
06I 6ln2.n
nb. Pourtoutx de[0; 1], 06x61doncparproduitparx >0,
n+1 n n+1 n06x 6x puis161+x 61+x .
Lafonctionlogarithmenépérieneststrictementcroissantesur]0;+∞[? ?
n+1 ndoncln16ln 1+x 6ln(1+x ),soit06 f 6 f .n+1 n
Les fonctions f et f sont continuessur [0 ; 1] et pourtout x den+1 n
[0; 1], 06 f 6 f donc06I 6I .n+1 n n+1 n
Lasuite(I )estdécroissanteetminoréepar0.n
c. Lasuite(I )décroissanteetminoréepar0estdoncconvergenteversn
unnombrepositif.
3. a. g estladifférencededeuxfonctionscontinuesdérivablessur[0;+∞[:
x7?→x et x7?→ f (x) donc g est continueet dérivable sur [0 ; +∞[1
1 −x′etg (x)= −1= .
x+1 x+1
′ ′Pourtoutx>0, g (x)<0etg (0)=0doncg eststrictementdécrois-
santesur[0;+∞[.
b. g est strictement décroissante sur [0 ; +∞[ et g(0)= 0 donc g est
strictementnégativesur[0;+∞[.
nSi x est un réel positif alors pour tout entier naturel n non nul, x
nest un réel positif donc g x 6 0 donc pour tout entier naturel n( )
n nnon nul, et pour tout x réel positif, on a : ln(1+x )−x 6 0 soit
n nln(1+x )6x .
nc. Lesfonctions f etx7?→x sontcontinuessur[0;+∞[etpourtoutn Z1
nn nx de[0;+∞[ona:06ln(1+x )6x ;donc06I 6 x dx,soitn
0? ?11 1n+106I 6 x ,ouencore06I 6 .n n
n+1 n+10
1
Comme lim = 0 d’après le théorème des gendarmes appli-
n→+∞n+1
quéauxsuites, lim I =0.n
n→+∞
EXERCICE 2 5points
Communàtouslescandidats
Pondichéry 2 21avril2010A.P.M.E.P. CorrigéduBaccalauréatS
1. UnvecteurdirecteurdeladroiteDdereprésentationparamétrique

x = t+2 →−
y = −2t est u decoordonnées(1;−2; 3).

z = 3t−1
→−
UnvecteurnormalauplanPest n decoordonnées(1;2;1).Or
→− →− →− →−
u?n =1×1+(−2)×2+3×1=0doncu etn sontorthogonaux,ladroiteD
estparallèleauplanPdontuneéquationcartésienneest:x+2y+z−3=0.
Il était possibleaussi de chercher le(s) point(s) d’intersectionde D et de
P et chercher t tel que (t+2)+2(−2t)+(3t−1)=0 ceci est équivalent à
1=0cequiestimpossible,doncDetPn’ontpasdepointcommun,Dest
strictementparallèleàP.VRAI
2. Pour chercher les points communs à ces trois plans il faut résoudre le
x−2y+3z = 3 L 1
système: 2x+3y−2z = 6 L2

4x−y+4z = 12 L3

x−2y+3z = 3
L +L +L etL −L conduisentausystème: 7x+5z = 21 soit1 2 3 3 1 
7x+5z = 21
?
x−2y+3z = 3
7x+5z = 21
L’intersectiondedeuxplansestunedroitedoncFAUX.
3. Pourdéterminerl’éventuelpointd’intersectiondes droitescitées, ilfaut
chercherdesréelst etu telsque
 
x= 2−3t= 7+2u 3t+2u = −5 
z= −3+2t= −6−u doncrésoudrelesystème 2t+u = −3 ⇒
 
y= 1+t= 2+2u t−2u = 1
? ? ?
2t+u = −3 5t = −5 t = −1
⇐⇒ ⇐⇒ et dans ce
t−2u = 1 t−2u = 1 u = −1
casonabien3t+2u=−5donclesdeuxdroitessontsécantesetleurpoint
d’intersectionestA(5; 0;−5).VRAI
4. OnconsidèrelespointsA,decoordonnées(−1; 0; 2),Bdecoordonnées
(1;4;0),etC,decoordonnées(3;−4;−2).Leplan(ABC)apouréquation
x+z=1.
−−→
AB apourcoordonnées(2; 4;−2)
−→
AC apourcoordonnées(4;−4;−4)
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc le plan (ABC) existe. Les
coordonnées de A, B et C vérifient x+z= 1 donc le plan (ABC) a pour
équationx+z=1.VRAI.
−−→
5. AB apourcoordonnées(3; 0;−3)
−→
AC apourcoordonnées(5;−2; 2)
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc C n’appartient pas à la
droite(AB).
OnnepeutpasécrireCcommebarycentredespointsAetBdoncFAUX.
Pondichéry 3 21avril2010A.P.M.E.P. CorrigéduBaccalauréatS
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
1. Lejoueurtiredeuxfoissuccessivementetsansremiseunebouledel’urne
donconestensituationd’équiprobabilité.
Le nombre initial de boules est n+10, le joueur choisit une boule donc
a(n+10)choixpossiblesetneremetpascettebouledansl’urnedoncle
nombredeboulespossibleslorsdusecondtirageest(n+9).
a. Lorsd’untiragededeuxboules,
– soitlejoueurtiredeuxboulesblanches,etgagne4(
– soit le joueur tire une boule blanche et une boule rouge, et
gagne2−3=−1(
– soitlejoueurtiredeuxboulesrouges,etgagne−6(.
Si le joueur tire une boule rouge au premier tirage, l’urne contient
10boulesblanchesetn−1boulesrouges.
Silejoueurtireunebouleblancheaupremiertirage,l’urnecontient
9boulesblanchesetn boulesrouges.
D’oùl’arbredechoix:
er e1 tirage 2 tirage Gain
n−1
n+9 R −6(2R1n
n+10
B210 −1(
n+9
n
n+9 R −1(2
10
n+10 B1 4(B29
n+9
n 10 10 9 20n
p(X=−1)= × + × = .
n+10 n+9 n+10 n+9 (n+10)(n+9)
n n−1 n(n−1)
b. p(X=−6)= × = .
n+10 n+9 (n+10)(n+9)
10 9 90
p(X=4)= × = .
n+10 n+9 (n+10)(n+9)
c. E(X)=4p(X=4)+(−1)p(X=−1)+(−6)p(X=−6)donc
360 20n 6n(n−1)
E(X)= − − .
(n+10)(n+9) (n+10)(n+9) (n+10)(n+9)
2 2−6n +6n−20n+360 −6n −14n+360
E(X)= = .
(n+10)(n+9) (n+10)(n+9)
2d. E(X)>0 ⇐⇒ −6n −14n+360>0.
2 2 2−6x −14x+360=0orΔ=14 +4×6×360=94 ,donclessolutions
20
sont x =−9, x = . Le trinômeest négatifsauf entre les racines,1 2
3
Pondichéry 4 21avril2010
bbbbbbbA.P.M.E.P. CorrigéduBaccalauréatS
doncn étantunentiersupérieurouégalà2,l’espérancemathéma-
tiqueeststrictementpositivesi26n66.
2. Les évènements «obtenir au moins une boule rouge au cours de ces 20
tirages» et «obtenir20boules blanchesau cours de ces 20 tirages» sont
? ?2010
contrairesdonc:p=1− .
n+10
? ? ? ?20 2010 10
p>0,999⇐⇒ <1−0,999 ⇐⇒ <0,001 ⇐⇒
n+10 n+10
p10 10 1020< 0,001⇐⇒ n+10> p ⇐⇒ n> p −10 ⇐⇒
20 20n+10 0,001 0,001
n>5.
Zk ? ?k−0,01x −0,01x −0,01k3. P(Z6k)= 0,01e dx= −e doncP(Z6k)=1−e .0
0
−0,01×50 −0,5a. P(Z650)=1−e =1−e doncP(Z650)≈0,39.
P(50<Z660)
b. P(Z660/Z>50)= .
P(Z>50)
Z60 ? ?60−0,01x −0,01x −0,5 −0,6P(50<Z660)= 0,01e dx= −e =e −e .50
50
−0,5 −0,5P(Z650)=1−e donc P(Z >50)=1−P(Z650)=e , donc
−0,5 −0,6e −e −0,1P(Z660/Z>50)= =1−e .−0,5e
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
1
1. Sin=0, u = u +n−2devient:n+1 n
3
1 1 5
u = u +0−2soitu = −2=− ;1 0 1
3 3 3
1
Sin=1, u = u +n−2devient:n+1 n
3
1 14
u = u +1−2soitu =− .2 1 2
3 9
1
Sin=2, u = u +n−2devient:n+1 n
3
1 14
u = u +2−2soitu =− .3 2 3
3 27
1
2. a. Sin=3, u = u +n−2devient:n+1 n
3
1 67
u = u +3−2soitu = ,doncu >0.4 3 4 4
3 81
Lapropriétéestvraiepourn=4.
Montronsquelapropriétéesthéréditairec’est-à-direquepourtout
n>4,siu >0alorsu >0.n n+1
1 1
u = u +n−2;commen>4, n−2>0,deplus u >0.n+1 n n
3 3
Lasommedenombrespositifsétantunnombrepositif,donc
Pondichéry 5 21avril2010A.P.M.E.P. CorrigéduBaccalauréatS
1
u +n−2>0soitu >0.n n+1
3
Lapropriétéesthéréditairedoncvraiepourtoutentiernaturel
n>4.
b. Endéduirequepourtoutentiernatureln>5, u >n−3.n
1 553
u = u +4−2= ,soitu ≈2,28donc