Corrigé du baccalauréat série STL Métropole septembre Chimie de laboratoire et de procédés

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Corrigé du baccalauréat série STL Métropole \ septembre 2002 Chimie de laboratoire et de procédés industriels EXERCICE 1 5 points 1. |z1|2 = ( 3 p 3 2 )2 + ( 3 2 )2 = 274 + 9 4 = 36 4 = 9= 3 2 ?|z1| = 3. On peut écrire : z1 = 3 (p 3 2 + i 1 2 ) = 3 ( cos pi6 + isin pi 6 ) . Un argument de z1 est donc pi 6 . Comme z2 est le conjugué de z1, son module est le même et l'un de ses argu- ments est l'opposé de celui de z1 : |z2| = 3 et un argument de z2 est ? pi 6 . 2. Par différence des deux équations on a z = 9i?3p3?3p3 ?? z =?6p3+9i. Il suit 2z ? = z ?3 p 3=?6 p 3+9i?3 p 3=?9 p 3+9i. Donc : z ? =? 9 2 p 3+ 9 2 i. 3. a. A et B sont sur le cercle centré en O de rayon 3 et respectivement sur la droite d'équation y = 32 et sur la droite d'équation y = ? 3 2 .

• somme de limites lim


• produit de limites lim


• symétriques autour du centre du cercle?


• x??∞ ex


• xex ?2ex

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2002
• Nombre de lectures: 97
• Langue: Français

Extrait

[CorrigédubaccalauréatsérieSTLMétropole\
septembre2002Chimiedelaboratoireetdeprocédés
industriels
EXERCICE1 5points
³ ´p 2 ¡ ¢22 3 3 3 27 9 36 21. jz j ? ? ? ? ? ?9?3 )jz j?3.1 12 2 4 4 4
à !p
¡ ¢3 1 π πOnpeutécrire:z ?3 ?i ?3 cos ?isin .1 6 62 2
π
Unargumentdez estdonc .1
6
Comme z estleconjugué de z ,son moduleest lemême etl’un deses argu-2 1
mentsestl’opposé deceluidez :1
π
jz j?3etunargumentdez est? .2 2
6 p p p
2. Pardifférencedesdeuxéquationsonaz?9i?3 3?3 3 () z??6 3?9i.
p p p p
0Ilsuit2z ?z?3 3??6 3?9i?3 3??9 3?9i.Donc:
p9 90z ?? 3? i.
2 2
3. a. A et B sont sur le cercle centré en O de rayon 3 et respectivement sur
3 3la droite d’équation y? et sur la droite d’équation y?? . C se place
2 2
¡ p ¢3
aisément; enfin D est le symétrique deB autoiur de O car ? 3?i ?
2
3¡p ¢
? 3?i .Voirplusbas
2
¯ ¯2¯ ¯¡ p ¢3 27 9 36 2¯ ¯b. Onsaitquej3ij?3.D’autrepart ? 3?i ? ? ? ?9?3 )¯ ¯2 4 4 4¯ ¯
¯ ¯¡ p ¢3¯ ¯? 3?i ?3.¯ ¯2
Conclusion:lesmodulesdesaffixesdesquatrepointssontégauxà3;ils
appartiennentaucercleΓcentréenOderayon3.
c. Constructionsurlafigure.
OnavuqueBetDsontsymétriquesautourducentreducercleΓetqu’ils
appartiennentàcecercle;[BD]estdoncundiamètreetlepointCappar-
tient au cercle : le triangle [BCD] inscrit dans un cercle dont l’un de ses
côtésestundiamètreestuntrianglerectangleenC
3 C
2
D A
1
O
?4 ?3 ?2 ?1 1 2 3
?1
B
?2
Γ?3
?4
bbbbEXERCICE2 4points
0 ?3 0 ?31. y ?5?10 y?0 () y ??5?10 y.
On sait que les solutions de cette équation sont les fonctions : t 7?! f(t)?
?3 ?3?5?10 t ?5?10 tCe , C2R.Onadoncg(t)b?1200?Ce , C2R
?3?5?10 ?02. Ondoitavoirg(0)?1200?Ce ?1200?C?0 () C??1200.
Levolumedepesticidesenlitresestdonc:³ ´
?3?5?10 tg(t)?1200 1?e .
3. 2%de30000 représentent0,02?30000?600litresdepesticides.
Cevolumeestatteintauboutd’untempslorsque:
³ ´ ³ ´
?3 ?3 ?3 1?5?10 t ?5?10 t ?5?10 t1200 1?e ?300 () 4 1?e ?1 () 1?e ? ()
4
3 ?3 ?3?5?10 t ?5?10 t ?3?e () 0,75?e () ln0,75??5?10 t (par croissance
4
ln0,75 ln0,75
delafonctionlogarithmenépérien)soitenfinsit?? ?? .
?35?10 0,005
ln0,75
Ona? ?57,536(h)soitenviron57?60?0,536 soitenviron57h32min.
0,005
PROBLÈME 11points
A.
x1. Ona lim e ??1, lim (x?1)??1,d’oùparproduitdelimites
x!?1 x!?1
xlim (x?1)e etenfinparsommedelimites lim f(x)??1.
x!?1 x!?1
x x
2. a. Onsaitque lim e ? lim xe ?0,d’oùparsommedelimites
x!?1 x!?1
lim f(x)??1.
x!?1
x x xb. Soitd lafonctiondéfiniesurRpard(x)? f(x)?x?(x?1)e ?xe ?e .
x xOnavuque lim e ? lim xe ?0,doncque lim d(x)?0.
x!?1 x!?1 x!?1
Cerésultatsignifiegraphiquement queladroite(D)d’équation y?x est
asymptoteobliqueàlacourbeC auvoisinagedemoinsl’infini.
xc. La position relative est donnée par le signe de d(x)?(x?1)e . Comme
xe ?0quelquesoitleréelx,lesigneded(x)estdoncceluidex?1:
-Six?1, d(x)?0,donclacourbeC estaudessusdesonasymptoteD;
-six?1, d(x)?0,donclacourbeC estaudessousdesonasymptoteD.
-six?1lacourbeetsonasymptoteontunpointcommun(1;1).
3. a. f estdérivablesurRetsurcetintervalle:
0 x x x x x xf (x)?1?1?e ?(x?1)e ?1?e ?xe ?e ?1?xe
1 10b. Leminimumdelafonction f est1? .Or1? ?0,632?0:leminimum
e e
0étantsupérieuràzéro,onpeutenconclurequesurR, f (x)?0,doncque
lafonction f eststrictementcroissante.D’oùletableau:
x ?1 ?1
0 +f (x)
?1
f(x)
?1
4. Voiràlafin.
B.
21. a. Lafonction H estdérivablesurRetsurcetintervalle:
0 x x x x x xH (x)?1e ?xe ?2e ?xe ?e ?e (x?1).
2x xb. Comme x a pour primitive et comme une primitive de e (x?1) est
2
2x
H,onpeut endéduirequ’une primitive de f surRdestlafonction ?
2
x xxe ?2e .
2. On a vu que f(1)? 1 et que la fonction f est croissante surR : elle est donc
positivesurl’intervalle [1 ;2].
L’aire S en unité d’aire de la partie du plan limitée par la courbeC, l’axe des
abscissesetlesdroitesd’équations x?1etx?2estdoncégaleàl’intégrale:
· ¸ µ ¶Z 22 2 22 x 2 1 1x x 2 2 1 1S? f(x)dx? ?xe ?2e ? ?2e ?2e ? ?1e ?2e ?2? ?
2 2 2 21 1
3
2e? ?e.(u.a.)1unitéd’airevaut2?1?2cm ,donc
2µ ¶
3 2 2 2S?2 ?e ?3?2ecm soitenviron8,44cm aumm près.(résultatquel’on
2
vérifieapproximativementsurlafigure)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
O
?4 ?3 ?2 ?1 1
?1
D
?2
C
?3
?4
?5
3