Corrigé du baccalauréat STL juin Chimie de laboratoire et de procédés industriels

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Corrigé du baccalauréat STL juin 2007 \ Chimie de laboratoire et de procédés industriels EXERCICE 1 4 points 1. On sait que les solutions de l'équation différentielle s'écrivent y = Ae2x , avec A réel quelconque. a. On a f (x)= Ae2x et f (0)= 1 ?? A = 1, donc f (x)= e2x . b. Demême, g (x)= Be2x et g (0)= 2 ?? B = 2, d'où g (x)= 2e2x . 2. a. Voir la figure. b. A(x ; 2) ?C ?? 2= e2x ?? ln2= 2x ?? ln2 2 . Le coefficient directeur de la droite T tangente en A à la courbe C est égal au nombre dérivé f ?le f t( ln22 . Or par définition de f , f ?(x)= 2 f (x), donc f ? ( ln2 2 ) = 2 f ( ln2 2 ) = 2?2= 4. Demême B(x ; 2) ?C ? ?? 2= 2e2x ?? 1= e2x ?? ln1= 2x ?? x = 0. le coefficient directeur de la droite T ? tangente en B à la courbe C ? est égal au nombre dérivé g ?(0).

• corrigé du baccalauréat stl


• baccalauréat stl


• opposé de l'aire de la surface


• solution de l'équation différentielle


• couples pairs


• probabilité de ti- rage

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2007
• Nombre de lectures: 24
• Langue: Français

Extrait

[Corrigé du baccalauréat STL juin 2007\ Chimie de laboratoire et de procédés industriels

E X E R C IC E points1 4 2x 1.On sait que les solutions de l’équation différentielle s’écriventy=Aavece , A réel quelconque. 2x2x a.On af(x)=Ae etf(0)=1⇐⇒A=1, doncf(x)=e . 2x2x b.De même,g(x)=Be etg(0)=2⇐⇒B=2, d’oùg(x)=2e . 2. a.Voir la figure. ln 2 2x b.A(x; 2)∈C⇐⇒2=e⇐⇒ln 2=2x⇐⇒. Le coefficient directeur 2 de la droiteTtangente en A à la courbeCest égal au nombre dérivé ′ ln 2 ′ f le f t( .Or par définition def,f(x)=2f(x), donc 2 ³ ´³ ´ ′ ln 2ln 2 f=2f=2×2=4. 2 2 ′2x2x De même B(x; 2)∈C⇐⇒2=2e⇐⇒1=e⇐⇒ln 1=2x⇐⇒ ′ x=0. le coefficient directeur de la droiteTtangente en B à la courbe ′ ′ ′ Cest égal au nombre dérivég(0). Or par définition deg,g(x)=2g(x), ′ doncg(0)=2g(0)=2×2=4. c.ont paralLes deux tangentes ont le même coefficient directeur : elles s lèles.

E X E R C IC E points2 6 1.1), (3 ; 2), (3 ; 3), (3 ; 4),(1 ; 1), (1 ; 2), (1 ; 3), (1 ; 4), (2 ; 1), (2 ; 2), (2 ; 3), (2 ; 4), (3 ; (4 ; 1), (4 ; 2), (4 ; 3), (4 ; 4). 2. a.babilité de ti; 2),(4; 4) sont les 4 couples pairs. Leur pro2), (2; 4),(4(2 ; 4 rage est donc égale àp(A)=. 16 4 b.(1 ; 1), (1 ; 3), (3 ; 1), (3 ; 3), sont les 4 couples d’impairs. Onap(B)=. 16 c.Les couples de nombres de parité différente sont tous les autres couples : 8 il y en a 16−(4+4)=8. Doncp(C)=. 16 a.X∈{−6 ; 2 ; 6}. X=x i 6 2−6 b. 4 4 8 p(X=x i ) 16 16 16 4 4 824+8−48−16 c.E(X)=6× +2× −6−= =× =1. 16 16 1616 16 d.Avec une mise dem(, les « gains » seraient respectivement de 8−m, 4−met−(m+4). Le calcul de l’espérance devient : 4 4 84(8−m)+4(4−m)−8(m+4) E(X)=(8−m)× +(4−m)× −(m+4)=× = 16 16 1616 32−4m+16−4m−8m−32 16−16m = =1−m. 16 16 L’espérance est nulle si E(X)=0⇐⇒1−m=0⇐⇒m=1. Une mise de 1(rend le jeu équitable.

Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriel s

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E 10 points Partie I : étude de la fonctionf µ ¶ 5 2 2x 1. a.On af(x)=x2− +e . 2 x x 5 2 2x Comme lim=0, lim=lim0, quex= +∞et lim e= +∞, 2 x→+∞x→+∞x→+∞x→+∞ x x on en conclut par somme et produit de limites quelimf(x)= +∞. x→+∞ 2 x nx x x b.On af(x)=2xe−5xe+on sait quelim2e etxe=0 pour tout x−∞ natureln. Donclimf(x)=0. Ceci signifie graphiquement que l’axe x→−∞ des abscisses est asymptote à la courbeCau voisinage de moins l’infini. 2. a.En utilisant la formule de la dérivée d’un produit : ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ ′x2x2x2x f(x)=(4x−5)e+2x−5x+2 e=4x−5+2x−5x+2 e=2x−x−3 e . x′ b.Comme e>0, pour tout réelx, le signe def(x) est celui du trinôme 2 2x−x−3. 2 CalculonsΔ=1+4×2×3=1+24=25=Le trinôme a deux racines5 . 1+15 3−5 =et= −1. 4 24 On sait que ce trinôme est du signe de +2, donc positif, sauf entre les racines où il est négatif. ³ ¡ ¢ 3 3 −1− 1 39 15 c.Avecf(−1)=(2+5+2)e=9e etf+= −2)e= −on ae , 2 2 2 22 donc le tableau de variations suivant :

3 x−∞ − 1 +∞ 2 ′ − f(x ) + 0 0 + +∞ −1 9e f(x) 3 2 0−e 2 33 3. a.On af(2)=(8−10+2)e=0 etf(3)=(18−15+2)e=5e≈100. La fonction étant strictement croissante sur l’intervalle [2 ; 3], il existe un réel uniqueαtel que f(α)=2. b.La calculatrice donnef(2, 1)≈0d’où 2,2, 6,<α<2, 1. f(2, 07)≈1, 74etf(2, 08)≈d’où 2,07 <2, 02,α<2, 08. 4.Voir à la fin.

Partie II : calcul d’une intégrale

1.Fest dérivable surRet sur cet intervalle : ¡ ¢¡ ¢ ′x2x2x F(x)=(4x−9)e+2x−9x+11 e=2x−5x+2 e=f(x). Conclusion :Fest une primitive defsurR. Z 2 2 2.I=f(x) dx= [ F(x)]=F(2)−F(0, 5)= 0,5 0,5 ¡ ¢£¡ ¢¤ 2 22 0,52 0,5 2×2−9×2+11 e−2×0, 5−9×0, 5+11 e=e−7e≈ −(u. a.)4, 15 x2 3.Résolvons l’équation dansR:f(x)=0⇐⇒() e=0⇐⇒2x−5x+2=0 (car x e6=0). 2 Pour ce trinôme :Δ=25−4×2×2=25−16=9=Il a donc deux racines :3 . 5+3 5−3 1 =2 et=. 4 42

Métropole

2

juin 2007

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A. P. M. E. P.

1 2 On sait que 2x−5x+2>0 et par conséquentf(x)>0 sauf entre les racines 2 et 2 oùf(x)<0. Conclusion : l’intégrale de la question précédente représente l’opposé de l’aire de la surface limitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les deux droites 1 d’équationx=etx=2. Cette surface a été hachurée sur la figure cidessous 2 et on contrôle qu’elle vaut à peu près 4 unités d’aire..

Métropole

3

juin 2007

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-3 −3

-2 −2

C

ANNEXE à rendre avec la copie 4

-1 −1

3 3

B 2 2

1 1

0 0 O 0 0 y

4

3

2

1

A. P. M. E. P.

A

1 1

O x −9−8−7−6−5−4−3−2−1 12 −1

Métropole

4

−2

−3

−4

−5

juin 2007