Corrigé du baccalauréat STL Métropole juin Physique de laboratoire et de procédés industriels

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Corrigé du baccalauréat STL Métropole juin 2009 \ Physique de laboratoire et de procédés industriels EXERCICE 1 4 points 1. D'après le cours les solutions de H sont les fonctions définies sur R par x 7??K e?x , avec k ?R. 2. Si g (x) = ax +b, alors g ?(x) = a, donc g est solution de E si et seulement si : g ?(x)+ g (x) = 2x soit a + ax + b = 2x ou encore ax + (a + b) = 2x + 0 et en identifiant les deux membres { a = 2 a +b = 0 ?? { a = 2 b = ?2 . Conclusion la fonction affine définie par x 7?? g (x) = 2x ?2 est une solution de l'équation différentielle (E ). 3. a. La fonction f est dérivable sur R et f ?(x)=?ke?x +2. On a donc f ?(x)+ f (x) = ?ke?x +2+ke?x +2x ?2 = 2x, ce qui montre que f est une solution de (E ). b. Parmi toutes les fonctions f , celle qui vérifie f (0)= 2 est telle que ke0?2= 0 soit k ?2= 0 ?? k = 2.

• somme de limites lim


• axe des abscisses


• solution de l'équation différentielle


• lnx ?


• triangle oab


• ecriture complexe


• e?i pi6

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2009
• Nombre de lectures: 19
• Langue: Français

Extrait

[CorrigédubaccalauréatSTLMétropolejuin2009\
Physiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels
EXERCICE 1 4points
1. D’aprèslecourslessolutionsdeH sontlesfonctionsdéfiniessurRpar
?xx7?!Ke ,aveck2R.
02. Si g(x)? ax?b, alors g (x)?a, donc g est solution de E si et seulement si :
0g (x)?g(x)? 2x soit a?ax?b ? 2x ou encore ax?(a?b)? 2x?0 et en
½ ½
a ? 2 a ? 2
identifiantlesdeuxmembres () .
a?b ? 0 b ? ?2
Conclusion la fonction affine définie par x7?!g(x)?2x?2 est une solution
del’équation différentielle(E).
0 ?x3. a. Lafonction f estdérivablesurRet f (x)??ke ?2.
0 ?x ?xOn a donc f (x)?f (x)??ke ?2?ke ?2x?2?2x, ce qui montre
que f estunesolutionde(E).
b. Parmitouteslesfonctions f,cellequivérifie f(0)?2esttelleque
0ke ?2?0soitk?2?0 () k?2.
?xConclusion:lafonctiondéfiniepar f(x)?2e ?2x?2estlasolutionde
(E)dontlareprésentationgraphiquepasseparl’origine.
Z21
4. a. Onsaitquem? f(x)dx.
2?0 0
£ ¤1 2?x 2 ?x 2Uneprimitivedef estF(x)??2e ?x ?2x,doncm? ?2e ?x ?2x ?02
¡ ¢ ¡ ¢1 1?2 ?2 ?2?2e ?4?4?2 ? ?2e ?2 ?1?e .
2 2
b. Lacalculatricedonnem?0,86.
EXERCICE 2 5points
¡ p ¢2 21. a. OncalculeΔ? 2 3 ?4?1?4?12?16??4?(2i) .
Lediscriminantestnégatif,l’équationadeuxsolutionscomplexesconju-p
p p2 3?2i
guées ? 3?ietsonconjugué 3?i.
2
p
b. Onadoncz ? 3?i.2
¡p ¢22 2 2Calculdumodule:jz j ? 3 ?1 ?3?1?4?2 ,d’oùjz j?2.2 2
à !p
¡ ¢3 1 ππ π i
6Enfactorisantcemodule:z ?2 ?i ?2 cos ?isin ?2e .2 6 62 2
π?i
6Commez ?z ,onaz ?2e .1 2 1
2. LepointAestlepointd’abscissepositiveintersectionducercledecentreOet
1
derayon2(puisqueOA=2)etdeladroited’équation y? (partieimaginaire
2
1
de z .Pourle point B ontrace la droited’équation y?? . Voirla figureplus1
2
bas.
?LetriangleOABestisocèleenO,puisqueOA=OB=2etaunangleAOB?π/3,
donc par complément àπ, les deux autres angles ont eux aussi pour mesure
π/3:letriangleOABestéquilatéral.
3. a. Onajz j?jz j?1,doncOE=OF.3 4
¡ ¢
π π π π πD’autrepart ? ? ? ? ? .6 3 6 3 2BaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
πDoncFestl’imagedeEparlarotationdecentreOetd’angle (unquart2
detour).
π
2Enécriturecomplexe:z ?z e ?iz .4 3 3
Remarque: on peut aussi dire que F est l’image de E dans la translation
?!
devecteurEF.
³ ´1 π π?i ?i6 6b. Lemilieude[OB]apouraffixe: 0?2e ?2e ?z ,cequimontreF
2
queFestlemilieude[OB].
??! !? π?i
34. OnadoncED ?2v ouz ?z ?2isoitz ?e ?2i.D E D
a. Le point E se place en construisant sous l’axe des abscisses le triangle
équilatéraldecôté1;lepointDàpartirdeDenmontantdedeuxunités;
enfinlepointFestàl’intersection ducercledecentreOetderayon1et
1
deladroited’équation y? .Voirplusbas.
2
p
??! !? π 1 3?i 3b. On a donc ED ?2v ou z ?z ?2i soit z ?e ?2i? ?i ?2i?D E D
2 2Ã !p
1 4? 3
?i .
2 2
à !p pµ ¶ 221 4? 3 1 16?3?8 32c. D’aprèslaquestionprécédenteOD ? ? ? ? ?
2 2 4 4
p
p20?8 3
?5?2 3.
4 Ã !pµ ¶ 22p p p p1 3 1 32DB ? 3? ? 1?2? ?3? ? 3?1? ? 3?5?2 3.
2 2 4 4
2 2DoncOD ?DB entraîneOD=DB.
d. DestdoncéquidistantdeOetdeB:ilappartientàlamédiatricede[OB],
maisonavuqueAO=AB,doncAéquidistantdeOetdeBappartientlui
aussiàlamédiatricede[OB]quiestdoncladroite(AD).
D
B
1
!?
Fv
!?O
?2 ?1 1u
E?1
A
?2
PROBLÈME 11points
Métropole 2 juin2009
bbbbbbBaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
PartieA
501. g (x)?1? .
x
5 5
Onax?0,donc ?0etfinalement1? ?1?0sur]0;?1[.
x x
Ladérivéeétantpositivelafonctiong estcroissantesur]0;?1[.
2. a. Lafonctiong estcroissantesur]0;?1[,doncenparticuliersur[1;5].
Org(1)??4?0etg(5)?5?5?5ln5?5ln5?0.
Ilexistedoncunevaleuruniqueαtellequeg(α)?0et1?α?5.
b. La calculatrice donne g(1,8)?0 et g(1,9)? 0, donc 1,8?α?1,9, puis
g(1,870)??0,0003etg(1,871)?0,003.
Finalement aucentièmeprèsα?1,87.
3. Puisquelafonctiong estcroissantesur]0;?1[etqu’elles’annuleenα,ona:
– g(x)?0si0?x?α;
– g(α)?0;
– g(x)?0six?α
PartieB
1. a. Déterminerlalimitede f en0.Enutilisantlapremièreécrituredonnée:
1
f(x)? (x?5)lnx ona:
x
1
lim ??1;
x!0 x
x?0
lim(x?5)??5;
x!0
x?0
limlnx??1,
x!0
x?0
doncparproduitdeslimites destroisfacteurs limf(x)??1Cerésultat
x!0
x?0
signifie que l’axe des ordonnées est asymptote verticale au graphe de f
auvoisinagede0.
5lnx
b. Enutilisant l’écriture f(x)?lnx? ,ona
x
lim lnx??1;
x!?1
lnx
lim ?0,
x!?1 x
doncparsommedeslimites lim f(x)??1.
x!?1
5lnx
2. a. Enpartantde f(x)?lnx? ,dérivonsledeuxième termequiestun
x
³ ´ 0 00u u v?uv
quotientenutilisant ? ,soitici:
2v v
µ ¶ 50 ?x?1?5lnx5lnx 5?5lnxx? ? .
2 2x x x
10Donccomme(lnx) ? ,onafinalement:
x
1 5?5lnx x?5?5lnx0f (x)? ? ? .
2 2x x x
g(x)0b. Onreconnaîtalorsque f (x)? .
2x
2Or on a vu le signe de g(x) sur ]0 ; ?1[ et de façon évidente x ?0 sur
0cetintervalle,doncfinalementsur]0;?1[,lesignede f (x)estceluide
g(x),d’oùletableaudevariations:
Métropole 3 juin2009BaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
x 0 α ?1
0f (x) ? 0 ?
?1 ?1
f(x)
f(α)
c.
0 03. a. UneéquationdeD est y? f(1)?f (1)(x?1).Comme f (1)??4et
f(1)?0,uneéquationdeD esty??4x?4.D coupel’axedesordonnées
six?0,d’où y?4.
lepointcommunàD etàl’axedesordonnéesestlepoint(0;4).
b. Voirplusbas.
PartieC
1. LafonctionF estdérivablesur]0;?1[etsurcetintervalle
1 5 1 lnx
0F (x)?lnx?x? ?1? ?2lnx? ?lnx?5 ? f(x)(deuxièmeécriture
x 2 x x
donnée).
DoncF estuneprimitivedelafonction f sur]0;?1[.
2. a. Voirledessinplusbas.
b. Voirledessinplusbas.
c. On a vu que sur l’intervalle [1; e], f(x)? 0, donc l’aire en unités d’aireZe
edudomainehachuréestégaleà? f(x)dx?? F(x) ??F(e)?F(1)?[ ]1
1
5 5 32?e?e? ?1 ?(0?1?0)? ?1? (u.a.).
2 2 2
2 2Commel’unité d’aireestégaleà2?2?4cm ,l’aireencm dudomaine
hachuré est égale à 6. (On peut vérifier ce résultat approximativement
2surlafigure4petitscarreauxayantuneairede1cm )
3
2
1
e
0
O
1 2 3 4 5
?1
Métropole 4 juin2009