Corrigé du baccalauréat STL Métropole juin Physique de laboratoire et de procédés industriels

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Corrigé du baccalauréat STL Métropole 18 juin 2010 [ Physique de laboratoire et de procédés industriels \ EXERCICE 1 4 points 1. On a ∆= 42?4?16=?3?16= (4ip3)2 < 0. L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées : z1 = 4+4i p 3 2 = 2+2i p 3 et z2 = z1 = 2?2i p 3. 2. zA = 2?2i p 3?|zA|2 = 22+ ( 2 p 3 )2 = 4+12= 16= 42 ?|zA| =OA= 4. En factorisant ce module : zA = 4 ( 1 2 ? i p 3 2 ) = 4 ( 1 2 + i? p 3 2 ) = 4 ( cos ( ?pi3 ) + i sin ( ?pi3 )) . Un argument de zA est donc ? pi 3 . Comme zB est le conjugué de zA, on a |zB| =OB = 4 et un argument de zB est pi 3 . 3. a. On a de même |zC|2 = ( 2 p 3 )2+22 = 12+4 = 16 = 42 ? |zC| =OC= 4. On a donc montré que OA = OB = OC = 4 ce qui prouve que les points A, B et C appartiennent au cercle C de centre O et de rayon 4.

• triangles iso


• triangle équila- téral


• ze ?


• asymptotes verticales


• lnx ?1


• ?? lnx


• ?2lnx ?


• argument de zb

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2010
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Français

Extrait

CorrigédubaccalauréatSTLMétropole18juin2010
[Physiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels\
EXERCICE 1 4points
¡ p ¢221. OnaΔ?4 ?4?16??3?16? 4i 3 ?0.
L’équation adoncdeuxsolutions complexesconjuguées:
p
p p4?4i 3
z ? ?2?2i 3 etz ?z ?2?2i 3.1 2 1
2
p ¡ p ¢22 2 22. z ?2?2i 3)jz j ?2 ? 2 3 ?4?12?16?4 )jz j?OA?4.A A AÃ ! Ã !p p
1 3 1 ? 3
Enfactorisantcemodule:z ?4 ?i ?4 ?i ?A
2 2 2 2
¡ ¡ ¢ ¡ ¢¢ ππ π4 cos ? ?isin ? .Unargumentdez estdonc? .A3 3 3
Comme z est le conjugué dez , onajz j?OB?4et un argument dez estB A B B
π
.
3
¡ p ¢22 2 23. a. Onademêmejz j ? 2 3 ?2 ?12?4?16?4 )jz j?OC?4.OnC C
adoncmontréqueOA=OB=OC=4cequiprouvequelespointsA,Bet
CappartiennentaucercleC decentreOetderayon4.
b. z et z ont une partie réelle égale à 2 : ils sont sur le cercleC et sur laA B
droited’équationx?2.
Autreméthode:lestrianglesOEBetOEAsontéquilatéraux(trianglesiso-
cèlesayantunangleausommetde60°):doncEB=EA=4.
A et B sont donc les points communs àC et au cercle de centre E et de
rayon4.
(EestlepointdeC d’affixe4:voirplusbas.)
z aunepartieimaginaireégaleà?2i:ilappartient doncaucercleC etC
àladroited’équation y??2,sapartieréelleétantnégative.
2π
4. Par la rotation de centre O et d’angle , un point M d’affixe z a pour image
3
2πi0 0 3lepointM d’affixez ?ze .
à !p
p1 3
L’imagedeadoncpourimagelepointd’affixe4i ? ?i ??2i?2 3?zC
2 2
ParlarotationlepointDapourimagelepointC
?! ?!
5. Par définition de la translation on doit avoir : AE ? OB ce qui se traduit enp
?! ??!termes d’affixe par z ?z , soit z ?z ?z ou encore z ?2?2i 3?2?E A B EAE OBp
2i 3,doncfinalement:
z ?4.E
Commejz j?4,lepointappartientaucercleC.E
Autreméthode:onauraitpuaussimontrerfacilement avecletriangleéquila-
téral(OEB)queOE=4,car(OBEA)estunlosange.BaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
y
D
4
B
3
2
1
!?
v
E
!? xO
?5 ?4 ?3 ?2 ?1 u 1 2 3 4
?1
?2
C
?3
A
?4
?5
EXERCICE 2 5points
1. a. Aupremiertirageonalechoixentre6boulesetausecondentre5boules:
ilyadoncentout6?5?30résultatsdifférentspossibles.
Métropole 2 18juin2010
bbbbbbBaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
R2
R3
B1
V1
V2
V3
B1
R3
R2
V1
V2
V3
B1
R2
R3
R3
V2
V3
B1
R2
R3
V1
V2
V3
B1
R2
R3
V2
V1
V3
B1
R2
R3
V3
V1
V2
1
b. A : Chaque tirage a une probabilité de sortie de . Ily a 8tirages
30
Métropole 3 18juin2010
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbBaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
1 4
deboulesdemêmecouleur,doncp(A)?8? ? .
30 15
B: Ona6?2?3?3?2:il ya 6tirages donnant unproduit égalà
1 1
6,doncp(B)?6? ? .
30 5
C:OncomptelestiragescontenantaumoinsunefoislalettreB:il
1 1
ya10tirages,doncp(C)?10? ? .
30 3
2. a. X peutprendrelesvaleurs:1;2;3;4;6;9.
b. Ilyadeuxtiragesconduisantàunproduitégalà9:(R3 ;V3)et(V3;R3).
2 1
Doncp(X?9)? ? .
30 15
c. TableaudelaloideprobabilitédeX :
X?x 1 2 3 4 6 9i
1 4 4 1 4 1
p(X?x )i
15 15 15 15 15 15
1 4 4 1 4 1 1?8?12?4?24?9
d. OnaE(X)?1? ?2? ?3? ?4? ?6? ?9? ? ?
15 15 15 15 15 15 15
58
.
15
PROBLÈME 11points
PartieA:Étuded’unefonctionauxiliaire
01. ? Sur]0 ;1[,g (x)?0)g estdécroissante;
0? Sur]1 ;?1[, g (x)?0)g estcroissante.
22. Onag(1)?1 ?3?2ln1?4.
Leminimumdelafonctionestsupérieuràzéro,doncquelquesoitx2]0;?1[, g(x)?
0.
PartieB:Étuded’unefonction
1 1 lnx
1. a. On sait que lim x?0, lim? ??1 et que lim ??1, donc par
x!0 x!0 x!02 2x x
sommedelimites:
lim f(x)??1; ceci signifie que la droite d’équation x?0 (axe des or-
x!0
données)estasymptoteverticaleàlacourbeC auvoisinagedezéro.
1 1 lnx
b. On a lim x??1, lim ? ?0 et lim ?0, donc par somme
x!?1 x!?1 x!?12 2x x
deslimites : lim f(x)??1.
x!?1
2. a. La fonction f somme de fonctions dérivables sur ]0 ; ?1[ est dérivable
surcetintervalle.
µ ¶ 10 ?x?lnx?1lnx 1?lnxx
Or ? ? ;
2 2x x x
µ ¶01 2 1
? ? ? .
2 22x (2x) 2x
2 21 1 1?lnx x ?1?2?2lnx x ?3?2lnx0Donc f (x)? ? ? ? ? .
2 2 2 22 2x x 2x 2x
g(x)0On remarque que f (x)? ; or sur ]0 ; ?1[ on a vu que g(x)?0 et
2x
2 0x ?0,donclequotient f (x)?0.
Conclusion:sur]0;?1[lafonction f estcroissante(strictement).
Métropole 4 18juin2010BaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
b. Onadoncletableaudevariationssuivant:
x 0 ?1
0 ?f (x)
?1
f(x)
?1
3. a. Sur]0;?1[,lafonction f estdérivableetstrictementcroissantede?1
à?1.
Ilexistedoncunréeluniqueαtelque f(α)?0.
b. Lacalculatricedonne:
? f(1)?1donc0?α?1;
? f(0,6)??0,385et f(0,7)?0,126, donc0,6?α?0,7;
? f(0,67)??0,009et f(0,68)?0,038, donc0,67?α?0,68.
04. M(x ; y)2T () y?f(1)? f (1)(x?1).
21 ?3?2ln10Or f(1)?1et f (1)? ?2.
22?1
OnadoncM(x ; y)2T () y?1?2(x?1) () y?2x?1.
5. Soit
a. Soitlafonctiond définiesur]0;?1[par:
· ¸
1 1 lnx
d(x)? f(x)? x?1 ?? ? .
2 2x x
lnx 1
Or on a vu que lim ? 0 et lim ? ? 0, ce qui montre que la
x!?1 x!?1x 2x
1
droiteD d’équation y? x?1 est asymptote oblique à la courbeC au
2
voisinagedeplusl’infini.
1 lnx
b. Ilfautdoncrésoudrel’équationd(x)?0 () ? ? ?0 ()
2x x
2lnx?1 1 1 1lnx
2 2?0 () 2lnx?1?0() lnx () e ?e () x?e .
x 2
1
2LacourbeC coupeladroiteD aupointBd’abscissee .
2lnx?1
c. Ilfautétudierlesignedelafonctiond,définiepard(x)? donc
x
dunumérateur2lnx?1puisqueledénominateurx estsupérieuràzéro.
11
2? 2lnx?1?0 () lnx? () x?e parcroissancedelafonctionln;2i h
1
2cecisignifiequesur e ;?1 lacourbeC estaudessusdel’asymptote
D;
11
2? 2lnx?1?0 () lnx? () x?e parcroissancedelafonctionln;
2
1
2cecisignifiequesur]0; e [lacourbeC estaudessousdel’asymptoteD.
6. Voirplusbas
PartieC:calculd’uneaire
1. Voirlafigure.
10 02. a. H est une fonction dérivablesur ]0; ?1[ et H (x)? ?2lnx?(lnx) ?
2
1 lnx
lnx? ? .
x x
DonclafonctionH estuneprimitivedelafonctionh sur]0;?1[.
Métropole 5 18juin2010BaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
2 21 1 x x
b. Surl’intervalle ]0;?1[uneprimitivede x est ? ? ,uneprimi-
2 2 2 4
1 1
tivede? est? lnx.
2x 2
Doncuneprimitivedelafonction f sur]0;?1[estlafonctionF définie
par:
2x lnx 1 2F(x)? ? ? (lnx) .
4 2 2
c. Onavuquepourx?α?0,67, f(x)?0.
h i
1 1
2 2Or e ?1,648, donc sur l’intervalle e ; e , la fonction f est positive et
l’airedelasurfacehachuréeestenunitésd’aireégaleàl’intégrale:
Z ³ ´e
1e 2f(x)dx?[F(x)] ?F(e)?F e .1 1
2 e2e
e 1 1 e 1 1 e2F(e)? ?e? ?lne? (lne) ? ?e? ? ? ?e.
4 2 2 4 2 2 4
³ ´ ³ ´21 e 1 1 1 1 1 e 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2OnaF e ? ?e ? lne ? lne ? ?e ? ? ? ? ,
4 2 2 4 2 2 2 4µ ¶ ³ ´
1 1 1 e 1 1
2 2 2car lne ? ;F e ? ?e ? ;
2 4 8
12
2e e 1 1 2e ?8e?2e?8e ?1
2Finalement :A ? ?e? ?e ? ? ?
4 4 8 8
12 22e ?6e?8e ?1
(u.a.).
8
2L’unitéd’aireestégaleà2?2?4 cm ,doncencentimètrescarrés,l’aire
12
22e ?6e?8e ?1 2 ?2estégaleà ?9,45cm à10 près.
2
Cy
3 T
D
2
1
xO
1 2 3 4
?1
Métropole 6 18juin2010