Corrigé du baccalauréat STL Métropole juin Physique de laboratoire et de procédés industriels

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Corrigé du baccalauréat STL Métropole juin 2000 \ Physique de laboratoire et de procédés industriels Durée : 4 heures Coefficient : 4 EXERCICE 1 5 points 1. On a donc z0 = ei 2pi3 ?1= ei 2pi3 cos 2pi3 + i sin 2pi3 =? 1 2 + i p 3 2 . Comme z0 = 1?ei 2pi 3 ‘son module est égal à 1 et un de ses arguments vaut 2pi 3 . z1 = z0? i=?i 1 2 ? p 3 2 = cos ( ? 2pi 3 ) + isin ( ? 2pi 3 ) = 1?e?i 2pi3 . Son module est égal à 1 et un de ses arguments vaut ?2pi 3 . z2 = ei 2pi 3 (i)2 =?ei 2pi3 = 1 2 + i [ ? p 3 2 ] = cos ( ? pi3) ) + isin ( ? pi3) ) = 1?ei ?pi3 . Son module est donc égal à 1 et un de ses arguments à ?pi 3 . z3 = ei 2pi 3 · i3 =?iei 2pi3 = p 3 2 + i 1 2 = cos ( pi 6 ) + i sin ( pi 6 ) = 1?ei pi6 .

• ?ei pi6


• lnx


• image du point mn


• sin pi4


• ??


• pi3

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2000
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français

Extrait

[CorrigédubaccalauréatSTLMétropolejuin2000\
Physiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels
Durée:4heures Coefficient:4
EXERCICE 1 5points
p
2π 2π 1 32π 2πi i3 31. Onadoncz ?e ?1?e cos ?isin ?? ?i .0 3 3 2 2
2π 2πi
3Commez ?1?e ‘sonmoduleestégalà1etundesesargumentsvaut .0
3p ? ? ? ?
1 3 2π 2π 2π?i
3z ?z ?i??i ? ?cos ? ?isin ? ?1?e .1 0
2 2 3 3
2π
Sonmoduleestégalà1etundesesargumentsvaut? .
3" #p ? ? ? ?
2π 2π 1 3 ?πi 2 i π π i
3 3 3z ?e (i) ??e ? ?i ? ?cos ? ?isin ? ?1?e .2 3) 3)2 2
π
Sonmoduleestdoncégalà1etundesesargumentsà? .
3p
? ? ? ?2π 2π 3 1 πi 3 i π π i3 3 6z ?e ?i ??ie ? ?i ?cos ?isin ?1?e .3 6 62 2
π
Son module est égal à 1 et un des ses arguments vaut . On place les points
6
1 1 1 1grâceaucercleunitaireetauxdroitesd’équationx? , x?? , y? , y?? .2 2 2 2
Voirplusbas.
2π 2πi n?1 i n
3 32. Onaz ?e ?i ?e ?i ?i?iz .n?1 n
πi 2Ori?e ,doncfinalement:
πi
2z ? e z , égalité qui montre que le point M est l’image du point Mn?1 n n?1 n
πdanslarotationdecentreOetd’angle .
2
2πi 33. a. La suite z est une suite géométrique depremier terme z ?e et de( )n 0
πi 2raisone . ? ? ? ?π 2π nπ 2π nπi i i i ?
2 3 2 3 2Onadoncz ?z ? e ?e ?e ?e .n 0
2π nπDoncunargumentdez est ? .n 3 2
b. Commetouteslesaffixesontlemêmemodule,deuxpointssontconfon-
duss’ilsontlemêmeargument(à2πprès).
2π nπ 2π nπDoncM ?M () ? ? ?2kπ () ?0?2kπ ()n 0 3 2 3 2
nπ?0?4kπ () n?0?4k?4k.
Conclusion:lespointsM , M , M , M , ...sontconfondus.0 4 8 12
1 2π 1i n34. a. Onaω ? e i ? z .n nn n2 2
Ceci montre que ω et z ont le même argument, ou encore que lesn n
pointsO, M ,etQ sontalignés.n n
b. Onutiliselerésultatprécédentmaisentracantdescerclesdontlesrayons
sontàchaquefoisdeuxfoispluspetits.BaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
1
M0
M3
Q0
Q3
1/8 1/4 1/2
1/16O 1
?1
Q2
Q1
M1
M2
?1
EXERCICE 2 4points
? ?21 100 001. a. (E)peuts’écrirey ? y?0 () y ? y?0.
16 4
Onsaitquelessolutionsdecetteéquationpeuvents’écrire:
? ? ? ?
t t
y?Acos ?Bsin , A2R, B2R
4 4
? ? ? ?
1 t 1 t0b. Ona f (t)?? Asin ? Bcos .
4 4 4 4
(? ?A?0,5f(0)?0,5 A?0,5
Donc () 1 ()0f (0)?0,125 B?0,125 B?0,5
4? ? ? ? ? ?
t t 1 t t
Onadonc f(t)?0,5cos ?0,5sin ? cos ?sin .
4 4 2 4 4
p p? ? ? ?
2 1 2 t tπ πc. Ona cos (t?π) ? cos cos ?sin sin ?4 42 4 2 4 4
" #p p p ? ?
2 2 t 2 t 1 t 1 t 1 t t
cos ? sin ? cos ? sin ? cos ?sin ? f(t).
2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 4
? ?
1
2. Onsaitquelquesoitleréelt,?16cos (t?π) 61,doncparproduitparle
4p p p
2 2 2
réelpositif ,ona? 6 f(t)6 .
2 2 2
3. a.
Métropole 2 juin2000
bbbbbbbbBaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
b. Ilfautrésoudredansl’intervalle detemps[0;35]l’équation
8
1 πp >? ? ? ? < (t?π)? ?2kπou2 1 1 4 2cos (t?π) ?0 () cos (t?π) ?0 () 1 π> 02 4 4 : (t?π)?? ?2k π
4 2? ?
t?π?2π?8kπou t?3π?8kπou
() ()0 0t?π??2π?8k π t??π?8k π
Ilfautdonc063π?8kπ635 () ?3π68kπ635?3π ()
3 35?3π
? 6k6 .lesseulesvaleurspossiblessontk?0etk?1.
8 8π
0 0Deuxième possibilité : 06?π?8k π635 () π68k π635?π ()
1 35?π06k 6 .
8 8π
0Laseulevaleurpossibleestk ?1.
Finalement M seretrouveenOpourt?3π, t?11πett?7π.
PROBLÈME 11points
PartieA
1. Lafonction f estdérivablesur]0;?1[etsurcetintervalle
20f (x)?? ?2ax?b.
x
Lesdeuxconditionsimposées setraduisentpar:
? ? ?13 13 13f(1) ? ? a?b ? ? a?b ? ?22 2() () )20f (1) ? ?6 ? ?2a?b ? ?6 2a?b ? ?4
1
13 5 13 13 5a??4? ? ,puisb?? ?a?? ? ?4.
2 2 2 2 2
5 2Donc f(x)??2lnx? x ?4x.
2
2. a. Ona limlnx??1,donc lim f(x)??1,cequigéométriquementsigni-
x!0 x!0
fie que l’axe des ordonnées est asymptote verticale àC au voisinage de
zéro.
2b. Enfactorisantx ,onpeutécrire:
? ?
lnx 5 9 lnx
2f(x)?x ?2 ? ? .Onsaitque lim ?0 et lim ?0,donc
2 2x!?1 x!?1x 2 x x
lnx 5 9 5 2lim ?2 ? ? ? .Comme lim x ??1,parproduitdeslimites,
2x!?1 x!?1x 2 x 2
onobtient lim f(x)??1.
x!?1
PartieB
201. a. Sur]0;?1[, f (x)?? ?5x?9.
x
2?2?5x ?9x0 0b. On a f (x)? . Comme x?0, le signe de f (x) est celui du
x
2numérateurdoncdutrinôme5x ?9x?2.
2OnaΔ?81?40?121?11 ?0.Letrinômeadeuxracines:p p
9? 121 9? 121
?2et ??0,2.Ilestpositifsaufentrelesracines
10 10
Onadonc:
0-sur]0; 2[, f x)?0;
0-sur[2;?1[, f (x)?0;
0- f (2)?0.
c. Onendéduitletableaudevariationdelafonctionf surl’intervalle]0;?1[:
Métropole 3 juin2000BaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
x 0 2 ?1
0f (x)
?1 ?1
f(x)
2. a. Sur l’intervalle f est croissante, f(3)??6,7 et f(4)?1,2, donc il existe
unréeluniquex 2]3; 4[telque f (x )?0.0 0
b. Lacalculatricedonne f(3,8)??0,77et f(3,9)?0,2,doncx 2]3,8; 3,9[.0
Demême f(3,87)??0,09et f(3,88)?0,004, doncx 2]3,87 ; 3,88[.0
03. UneéquationdeDest:y? f(1)?f (1)(x?1).
130Onsaitque f (1)??6etque f(1)?? ,doncuneéquationdeDest:
2
113y?? ?6(x?1)soit y??6x? .
2 2
4. Voirplusbas.
PartieC
1
01. g estdérivablesur]0;?1[etsurcetintervalleg (x)?lnx?x? ?1?
x
lnx?1?1?lnx.
2. Onendéduitaussitôtqueg estuneprimitivedelafonctionlnsur]0;?1[.
Doncuneprimitivesur]0;?1[delafonction f estlafonctionF définiepar:
3 2 3 25 x x 5x 9x
F(x)??2(xlnx?x)? ?9 ??2xlnx?2x? ? .
2 3 2 6 2
3. a. Voirlafigureàlafin.
b. Onavu que sur x ; 5 , f(x)?0, doncl’aire Adela partiehachurée est[ ]0
égaleàl’intégrale:
Z5
5A? f(x)dx?[F(x)] ?F(5)?F(x )?0x0
x0 ? !
3 23 2 5x5?5 9?5 9x0 0?2?5ln5?2?5? ? ? ?2x lnx ?2x ? ? ?0 0 0
6 2 6 2
3 25x 9x325 225 0 0?10ln5?10? ? ?2x lnx ?2x ? ? .0 0 0
6 2 6 2
Enprenantcommevaleurapprochéedex , 3,88, ona0
A?7,40(u.a.)(résultatquel’onvérifieapproximativementsurlafigure)
Métropole 4 juin2000BaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
A
2
1
O
1 2 3 4 5
?1
?2
?3
?4
?5
?6
C
?7
?8
?9
D
?10
Métropole 5 juin2000