Corrigé du baccalauréat STL Métropole juin Physique de laboratoire et de procédés industriels

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Corrigé du baccalauréat STL Métropole juin 2007 \ Physique de laboratoire et de procédés industriels Calculatrice autorisée 4 heures EXERCICE 1 6 points Partie A 1. On développe (z +2p3)(z2+2zp3+12) = z3 + 2z2p3+ 12z + 2z2p3+ 12z + 24 p 3= z3+4z2 p 3+24z +24 p 3= P (z). La factorisation est démontrée. 2. ∆= (2p3)2?4?1?12 = 12?48 =?36= (6i)2. Le discriminant est négatif : l'équation a donc deux solutions complexes conju- guées : ?2 p 3+6i 2 =? p 3+3i et ? p 3?3i. 3. On a P (z)= 0 ?? (z +2p3)(z2+2zp3+12)= 0 ?? { z +2 p 3= 0 z2+2z p 3+12 La première équation a pour solution ?2 p 3 ; la seconde est l'équation résolue précédemment. Finalement : les solutions de l'équatiuon P (z)= 0 sont ?2 p 3; ? p 3+3i et ? p 3?3i. Partie B 1. a. zA =?2 p 3= 2 p 3eipi.

• triangle cad


• pi6


• pi6 ? sin


• sin


• module de za


• e?i pi3


• aire en cm2 de la surface hachurée


• ??

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2007
• Nombre de lectures: 35
• Langue: Français

Extrait

[CorrigédubaccalauréatSTLMétropolejuin2007\
Physiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels
Calculatriceautorisée 4heures
EXERCICE 1 6points
PartieA
¡ p ¢¡ p ¢ p p
2 3 2 21. On développe z?2 3 z ?2z 3?12 ? z ?2z 3?12z?2z 3?12z?p p p
3 224 3?z ?4z 3?24z?24 3?P(z).Lafactorisationestdémontrée.
¡ p ¢2 22. Δ? 2 3 ?4?1?12?12?48??36?(6i) .
Lediscriminantestnégatif:l’équationadoncdeuxsolutionscomplexesconju-
guées:
p
p p?2 3?6i
?? 3?3i et ? 3?3i.
2
p½
¡ p ¢¡ p ¢ z?2 3?02 p3. OnaP(z)?0() z?2 3 z ?2z 3?12 ?0() 2z ?2z 3?12
p
Lapremièreéquationapoursolution?2 3;lasecondeestl’équationrésolue
précédemment.
p p
Finalement :lessolutionsdel’équatiuonP(z)?0sont?2 3;? 3?3i et
p
? 3?3i.
PartieB
p p
iπ1. a. z ??2 3?2 3e .A p
Lemoduledez estdonc2 3etundesesargumentsestπ.A p p p
2Onajz j ?3?9?12,d’oùjz j? 12? 4?3?2 3.B B³ p ´p p ¡ ¢
1 3 2π 2πOnpeutécrirez ?2 3 ? ?i ?2 3 cos ?isin .B 2 2 3 3
p 2π
Lemoduledez estdoncégalà2 3etundesesargumentsest .B
3p
Comme z est le conjugué dez , son module est lui aussi égal à 2 3etC B
2π
undesesargumentsest? .
3
p
iπb. Onadéjàvuquez ?2 3e .A
p p2iπ 2iπ?3 3Onademêmeaussitôt:z ?2 3e etz ?2 3e .B C
π?i0 0 32. a. On sait que si z est l’image de z par R, alors z ?z ?e (z?z ) soitO O
π?i0 3z ?e z
¡ ¢p pπ π?i iπ i ? ?π
3 3b. Onad’aprèslaquestionprécédente:z 0?e ?2 3e ?2 3e ?A¡ ¢p 2πi
32 3e ?z .B
L’imagedeAparR estB.
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢p p pπ π 2π π 2π π?i ?i i i ? ? i
3 3 3 3 3 3c. Onaz ?e z ?e ?2 3e ?2 3e ?2 3e ?D B³ p ´p p312 3 ?i ? 3?3i??z .C2 2
3. a. On a déjà vu que z ??z () z ??z ?0 ce qui signifie que C et DD C D C
sontsymétriquesautourdeO.Oestdonclemilieude[CD].
p p
b. On a déjà vu quejz j?OA?2 3?jz j?OB?jz j?OC?2 3, ce quiA B C
montrequelespointsA,BetCappartiennentaucercleC.
c. Le triangle CAD est inscrit dans le cercleC et l’un de ses côtés est un
diamètredececercle:cetriangleestrectangleenA.
MêmechosepourCBDquiestuntrianglerectangleenB.BaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
p
Figure : pour avoir un segment de longueur 2 3, on peut construire un triangle
rectangle d’hypoténuse 4 et dont un autre côté mesure 2 en utilisant Pythagore :
¡ p ¢22 24 ?2 ? 2 3
4
B D
3
2
4 1 2
!?
v
!?OA?5 ?4 ?3 ?2 ?1 u 1 2 3 4
?1
?2
?3
C
?4
?5
EXERCICE 2 4points
00 21. L’équation s’écritaussiu ?(60π) u?0.
On sait que les solutions sont dela forme f(x)? Acos60πt?Bsin60πt, avec
AetBréels.
π0 02. On a f (t)??60πAsin60πt?60πBcos60πt, donc f (0)?? () 60πB ?
2
π 1
? () B?? ;
2 120 pµ ¶
1 1 3π πDe même f ? 0 () Acos ?Bsin ? 0 () A? B ? 0 ()
3 3180 2 2p p
3 3
A? () A? .
120 120
Lasolutionparticulièrevérifiantlesdeuxconditionsdonnéesestdonc:
p
3 1
f(t)? cos(60πt)? sin(60πt).
120 120
" #p
1 3 1
3. a. Onpeutécrire f(t)? cos(60πt)? sin(60πt) ?
60 2 2
£ ¤ ¡ ¢1 1π π πcos cos(60πt)?sin sin(60πt) ? cos ?60πt , d’après la for-6 6 660 60
mule:cosacosb?sinasinb?cos(a?b).
³ ´ ³ ´π π1 1 1b. Uneprimitivede f est ? sin 60πt? ? sin 60πt? .
60 60π 3600π6 6£ ¤
1Lavaleurmoyennem delafonction f sur 0; estégaleà:90
Métropole 2 juin2007
bbbbBaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
1 1R £ ¡ ¢¤
1 90 1 π 90m? f(t)dt?90? sin 60πt? ?1 0 3600π 6 0?090£ ¡ ¢ ¤ £ ¤
1 1 π 1 5π πsin 60π? ?sin ? sin ?sin ?0.40π 90 6 40π 6 6
PROBLÈME 10points
PartieA:étuded’unefonctionauxiliaire
2 ¡ ¢8 2x ?8 2 20 21. a. Onag (x)?2x? ? ? x ?4 ? (x?2)(x?2).
x x x x
1 8
b. Commex?0, ?0et ?0.
x x
0 2Le signedeg (x)est donccelui dutrinômex ?4?(x?2)(x?2)qui est
positifsaufentrelesracines?2et2,doncicientre0et2oùilestnégatif.
0 0 0Doncsur]0; 2[, g (x)?0, g (2)?0etsur]2;?1[, g (x)?0.
c. Ondéduitlesvariationsdelafonctiong :
x 0 2 ?1
0 ? ?g (x) 0
g(x)
12?8ln2
2. Onag(2)?4?8ln2?8?12?8ln2?6,45?0.
Le minimum de la fonction g sur [0; ?1[ étant supérieur à zéro,on peut en
conclurequesurcetintervalleg(x)?0.
PartieB:étudeetreprésentationgraphiqued’unefonction
2x 3x 8lnx 8lnx
1. Onpeutécrire f(x)? ? ? ?x?3? .
x x x x
8
2. a. Onalim ??1,donclimf(x)??1.
x!0 x!0x
x?0 x?0
lnx
Onsaitque lim ?0,donc lim f(x)??1.
x!?1 x!?1x
b. Le premier résultat de la question précédente montre que l’axe des or-
donnéesestasymptoteverticaleàC auvoisinagedezéro.
8?x?8lnx
0 x3. a. Enutilisant l’écrituredelaquestion1., f (x)?1? ?
2x
28?8lnx x ?8?8lnx
1? ? .
2 2x x
g(x)0b. Onreconnaît f (x)? .
2x
2 0Comme x ? 0, le signe de f (x) est égal à celui de g(x) et on a vu à la
partieAqueg(x)?0sur]0;?1[.
0c. Puisque f (x)?0,lafonction f estcroissantesur]0;?1[.
D’oùletableaudevariations:
x 0 ?1
0f (x) ?
f(x)
Métropole 3 juin2007BaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
4. a. Soitd la fonction définie sur ]0 ; ?1[ pard(x)? f(x)?(x?3)?x?3?
8lnx 8lnx
?x?3? .
x x
lnx
Onavuque lim ?0soit lim d(x)?0,cequisignifiequeladroite
x!?1 x!?1x
D estasymptoteàC en?1.
b. UnpointestcommunàC etàD sileursordonnéessontégalespourune
mêmevaleurdex,soit:
8lnx 8lnx
x?3? ?x?3 () ?0() lnx?0() x?1.
x x
C etD on=tunseulpointcommunA(1;?2).
8lnx
c. Onavuqueladifférenced(x)? ;cettefonctionestdusignedelnx,
x
soit:
- si 0?x?1, d(x)?0 () f(x)?x?3 ce qui signifie que la courbeC
estendessousdeD;
-six?1, d(x)?0() f(x)?x?3cequisignifiequelacourbeC estau
dessusdeD.
5. Voirlafigureàlafin
PartieC:calculd’uneaire
01. a. Ilsuffitdevérifierquesur]0;?1[, H (x)?h(x).
1 1 lnx
0OrH (x)? ?2lnx? ? ?h(x).
2 x x
H estbienuneprimitivedeh sur]0;?1[.
8lnx
b. Comme f(x)?x?3? ,unedesesprimitivesestlasommedespri-
x
mitivesdechacundesestermes.
DoncuneprimitiveF de f estégaleà:
2 2x 1 x
2 2F(x)? ?3x?8? (lnx) ? ?3x?4(lnx) .
2 2 2
2. a. Voirlafigure
b. On avu que sur l’intervalle [1; 5] la courbeC est au dessus deD : donc
l’aire(enunitéd’aire)delasurfacelimitéeparlacourbeC etladroiteD,
etlesdroitesd’équationx?1etx?5estégaleàl’intégrale:
Z Z5 5 8lnx 2 5 2 2 2[f (x)?(x?3)dx? dx?[4(lnx) ] ?4(ln5) ?4(ln1) ?4(ln5) .1x1 1
2Comme l’unité d’aire est égale à 1?1 cm ce nombre est aussi l’aire en
2 2cm delasurfacehachurée,soitenviron10,36cm .
Métropole 4 juin2007BaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
7
C6
5
4
D
3
2
1
O
1 2 3 4 5 6 7
?1
?2
?3
?4
?5
Métropole 5 juin2007