Corrigé du baccalauréat STL Métropole septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Corrigé du baccalauréat STL Métropole \ 14 septembre 2010 Physique de laboratoire et de procédés industriels Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 4 EXERCICE 1 5 points 1. ∆= (2p6)2?4?1?8= 24?32=?8= (2ip2)2. ∆< 0, donc l'équation a deux solutions complexes conjuguées : ?2 p 6+2i p 2 2 =? p 6+ i p 2 et ? p 6? i p 2. 2. a. On a |zA|2 = ( ? p 6 )2+ (p 2 )2 = 6+2= 8= ( 2 p 2 )2 ?|zA| = 2 p 2. On peut écrire zA = 2 p 2 ( ? p 3 2 + i 1 2 ) = 2 p 2 ( cos 5pi6 + i sin 5pi 6 ) . Un argument de zA est donc 5pi 6 . On a |zB| = 2 p 2 et un argument de zB est 5pi 6 +pi=? pi 6 . |zC|2 = (2)2+ (?2)2 = 4+4= 8?|zC| = 2 p 2.

• ex ?4


• e?x


• ?2a sin2x


• cercle de centreode rayon


• xex ?


• diamètre du cercle


• ??

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2010
• Nombre de lectures: 52
• Langue: Français

Extrait

[CorrigédubaccalauréatSTLMétropole\
14septembre2010
Physiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels
Duréedel’épreuve:4heures Coefficient:4
EXERCICE1 5points
¡ p ¢ ¡ p ¢2 2
1. Δ? 2 6 ?4?1?8?24?32??8? 2i 2 .
Δ?0,doncl’équationadeuxsolutionscomplexesconjuguées:
p p
p p p p?2 6?2i 2
?? 6?i 2 et ? 6?i 2.
2
¡ p ¢ ¡p ¢ ¡ p ¢ p2 2 222. a. Onajz j ? ? 6 ? 2 ?6?2?8? 2 2 )jz j?2 2.A A
à !p
p p ¡ ¢3 1 5π 5πOnpeutécrirez ?2 2 ? ?i ?2 2 cos ?isin .A 6 62 2
5π
Unargumentdez estdonc .A
6
p 5π π
Onajz j?2 2etunargumentdez est ?π?? .B B
6 6p
2 2 2j j j jz ?(2) ?(?2) ?4?4?8) z ?2 2.C CÃ !p p
p p ¡ ¢2 ? 2 ?π ?πDoncz ?2 2 ?i ?2 2 cos ?isin .C 4 42 2
π
Unargumentdez estdonc? .C
4
p
j j j j j jb. OnatrouvéqueOA=OB=OC? z ? z ? z ?2 2.A B C
p
A,BetCappartiennentaucercledecentreOetderayon2 2.
p
c. Onconstruitunelongueurégaleà2 2commehypoténused’untriangle
rectangleisocèledontlescôtésmesurent2.AetBappartiennentaucerclep p
decentreOderayon2 2etrespectivementàladroited’équationy? 2p
etladroited’équation y?? 2.Voirplusbas.
LepointCseplacefacilement
d. AetBsontsymétriquesautourdeO,donc[AB]estundiamètreducercle.
Lepoint Cappartientluiaussiaucercle,doncletriangleABCestinscrit
dans un demi-cercle de diamètre [AB] : il est rectangle en C, d’hypoté-
nuse[AB].
p p5iπ ?iπ
6 43. a. D’aprèslapremièrequestion z ?2 2e etz ?2 2e .A C
π0 0 ?i12b. L’imaged’unpointd’affixez estlepointd’affixez telquez ?ze .
p iπ?
6Onaz ?2 2e .B £ ¤p p?iπ π π π? ?i i ? ?
6 12 6 12L’imagedeBestdonclepointd’affixe2 2e ?e ?2 2e ?
£ ¤ £ ¤ £ ¤p p p2π π 3π πi ? ? i ? i ?
12 12 12 42 2e ?2 2e ?2 2e ?z .C
L’imagedeBestdonclepointC.p
2
BaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
2 2
A
1
2
O
?3 ?2 ?1 1 2 3 4
?1
B
?2
C
?3
EXERCICE2 4points
1
00 00 00 21. Ona y ?y?0 () y ?4y?0 () y ?2 y?0.
4
Onsaitquelessolutionssontdelaforme f(x)?Acos2x?Bsin2x,avec A2R
etB2R.
02. Onaàtrouverunesolutiontelleque f(x)? Acos2x?Bsin2x etdonc f (x)?
?2Asin2x?2Bcos2x vérifiant¡ ¢½ ½π π πf ? 0 Acos2? ?Bsin2? ? 0
6 6 6p p() ()0f (0) ? 3 ?2Asin2?0?2Bcos2?0 ? 3
( p½ π π A B 3Acos ?Bsin ? 0 ? ? 03 3 p 2 2() p ()
?2Asin0?2Bcos0 ? 3 2B ? 3
( (p 3A?B 3 ? 0 A ? ?
2p p()3 3B ? B ?2 2
p
3 3
Lasolutionestdonc: f(x)?? cos2x? sin2x.
2 2
³ ´p π
3. Développons? 3cos 2x? grâceàlaformulecos(a?b)?cosa?sinasinb:
6³ ´ ³ ´p pπ π π
? 3cos 2x? ?? 3 cos2xcos ?sin2xsin ?
6 6 6Ã !p p
p 3 1 3 3
? 3 cos2x? ?sin2x? ?? cos2x? sin2x? f(x).
2 2 2 2
Zπ Zπ ³ ´p1 6 6 6 π
4. Onam? f(x)dx? ? 3cos 2x? dx?π?0 π 60 06" p p³ ´ h ³ ´ ³ ´i £ ¤6 1 π ?3 3 π π ?3 3π π πsin 2x? ? sin 2? ? ?sin 2?0? ? sin ?sin
6 2 6π 2 6 π 6 6 π
p p· ¸
?3 3 1 ?3 3
? 1? ? .
π 2 2π
PROBLÈME 11points
PartieA
?x ?2x1. Ona lim e ? lim e ?0,donc lim f(x)??1.
x!?1 x!?1 x!?1
Métropole 2 14septembre2010
bbbBaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
?x2. Enfactorisante onpeutécrire:
?x ?x x xf(x)?e (?2e ?5?xe ?e ).
x xOna lim e ?0eton=saitaussique lim xe ?0.
x!?1 x!?1
?x ?x x xD’autre part lim e ??1 et lim ?2e ?5?xe ?e ??1 et comme
x!?1 x!?1
?xlim e ??1,onobtientfinalementparproduitdelimites:
x!?1
lim f(x)??1.
x!?1
?2x ?x3. a. Soitd lafonctiondéfiniesurRpard(x)? f(x)?(x?1)??2e ?5e .
Ona vu que lim d(x)?0, ce qui montre graphiquement que la droite
x!?1
D d’équation y?x?1estasymptoteobliqueàlacourbeC en?1.
âceausignede ?2x ?x ?x ?xb. Lapositionrelatives’obtientgr d(x)=-2e ?5e ?e (?2e ?5)
?x ?xquialesignede?2e ?5puisquee ?0quelquesoitleréelx.
5?x ?x ?x 5?2e ?5?0 () 5?2e () ?e () ln ??x (parcroissance22
5delafonctionlogarithmenépérien),soitfinalementx??ln .
2¤ £
5Conclusion:lacourbeC estaudessusdeladroiteS sur ?ln ;?1 .2 ¤ £
5Onauraitdemême:lacourbeC estaudessousdeladroiteS sur 1;?ln .2
2 2?2?ln4 ?ln4 ?ln4 ?ln44. f(ln4)?ln4?1?2e ?5e ?ln4?1?2e ?5e ?ln4?1? ?
2ln4e
5 2 5 1 5 ?8?1?10 1
?ln4?1? ? ?ln4?1? ? ?ln4? ? ?ln4.
ln4 16 4 8 4 8 8e
f(0)?0?1?2?5?2.
PartieB
1. a. f estdérivablesurRetsurcetintervalle:
¡ ¢
0 ?2x ?x ?2x ?x ?2x 2x xf (x)?1?2?(?2)e ?5e ?1?4e ?5e ?e e ?4?5e ?
2x xe ?4?5e
.
2xe
2x x x xOre ?4?5e ?(e ?4)(e ?1),doncfinalement:
x x(e ?4)(e ?1)0f (x)? .
2xe
2x 0b. Comme e ?0,quel quesoit leréel x,lesigne de f (x) estcelui dunu-
x xmérateur:(e ?4)(e ?1)quidépenddusignedechaquefacteur.
x xOn a e ?1? 0 () e ? 1 () x? 0 (par croissance de la fonction
logarithmenépérien).
x xe ?4?0 () e ?4 () x?ln4 (par croissance de la fonction loga-
rithmenépérien).
Ondressealorsletableaudesignes:
x ?1 0 ln4 ?1
x ?e ?1 0 ? ?
x ? ? 0 ?e ?4
0 ?signede f (x) ? ?0 0
c. Onendéduitletableaudevariationsde f :
Métropole 3 14septembre2010BaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
x ?1 0 ln4 ?1
0 ?signede f (x) ? 0 0 ?
?12
f(x)
1?ln4?1 8
1
2. a. Comme ?ln4?0,onvoitque f(x)?0sur[0;?1[.Doncsur]?1; 0[,
8
lafonctioneststrictementcroissantedemoinsl’infinià2:elles’annule
pouruneseulevaleurdex?α.
2 1Or f(?1)??1?1?2e ?5e ??3,2?0,donc?1?α?0.
b. Lacalculatricedonne f(?0,8)??0,6et f(?0,7)?0,26,donc
?0,8?α??0,7,puis f(?0,74)??0,05et f(?0,73)?0,03,donc
?0,74?α??0,73.
3. Voirplusbas.
PartieC
2x
1. Uneprimitivedex est ;
2
1?2x ?2xUneprimitivedee est? e ;
2
?x ?xUneprimitivedee est?e ;
µ ¶2x 1 ?2x ?xUneprimitivede f(x)estdoncF(x)? ?x?2? ? e ?5e ?
2 2
2x ?2x ?x?x?e ?5e .
2
2. Voirplusbas.
3. Le tableau de variations montre que sur [0 ; ln4], f(x)?0, donc l’aire de la
surfacehachuréeestégaleenunitéd’aireàl’intégrale:
Z · ¸ln4 2(ln4)ln4 ?2?ln4 ?ln4A ? f(x)dx?[F(x)] ?F(ln4)?F(0)? ?ln4?e ?5e ?0 20· ¸2 20 (ln4)?2?0 ?0 ?2ln4 ?ln4
?0?e ?5e ? ?ln4?e ?5e ?1?5?
2 2
2 2(ln4) 1 5 45 (ln4)
4? ?ln4? ? ? ? ?ln4(u.a.)
2 16 4 16 2
2L’unitéd’aireestégaleà2?2?4cm donc
45 2 2A ? ?2(ln4) ?4ln4?9,55cm
4
Métropole 4 14septembre2010BaccalauréatSTLPhysiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
y
4
3
C
2
1
O x
?1 1 2 3 4
?1
?2
?3
Métropole 5 14septembre2010
y?x?1
x?ln4