Corrigé du baccalauréat STL Métropole septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Corrigé du baccalauréat STL Métropole septembre 2004 \ Physique de laboratoire et de procédés industriels EXERCICE 1 5 points 1. L'équation y ??+4y = 0 peut s'écrire y ?? =?4y . On sait que les solutions peuvent s'écrire : f (x)= Acos2x+B sin2x, A ?R, B ?R. On adonc f ?(x)=?2A sin2x+2B cos2x. f vérifie les deux conditions si : ? ? ? f (pi 4 ) = p 2 f ? (pi 8 ) = 0 ?? { Acos pi2 +B sin pi 2 = p 2 ?2A sin pi4 +2B cos pi 4 = 0 ?? { B = p 2 ?2A? p 2 2 +2B ? p 2 2 = 0 ?? { B = p 2 A = B Finalement f est définie sur R par : f (x)= 2 p 2cos2x +2 p 2sin2x. 2. En factorisant 2, on peut écrire : f (x)= 2 (p 2 2 cos2x + p 2 2 sin2x ) = 2 ( cos pi4 cos2x + sin pi 4 sin2x ) = 2cos ( 2x ? pi 4 ) (d'après la formule : cosa cosb + sina sinb = cos(a ?b).

• définition de la rotation ob


• cd2


• réciproque du théorème de pythagore


• zd? zc


• sin


• e? pi3


• ??

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2004
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Français

Extrait

[CorrigédubaccalauréatSTLMétropoleseptembre
2004\
Physiquedelaboratoireetdeprocédésindustriels
EXERCICE1 5points
00 001. L’équation y ?4y?0peuts’écrirey ??4y.
Onsaitquelessolutionspeuvents’écrire:
0f(x)?Acos2x?Bsin2x, A2R,B2R.Onadoncf (x)??2Asin2x?2Bcos2x.
f vérifielesdeuxconditionssi:
? ?8 pπ p?< π πf ? 2 Acos ?Bsin ? 2?4 ? 2 2() ()π π π0: ?2Asin ?2Bcos ? 0f ? 0 4 4
8( p p?
B ? 2 B ? 2p p ()2 2 A ? B?2A? ?2B? ? 02 2
Finalement f estdéfiniesurRpar:
p p
f(x)?2 2cos2x?2 2sin2x.
2. Enfactorisant2,onpeutécrire:
? !p p ? ?? ?2 2 ππ πf(x)?2 cos2x? sin2x ?2 cos cos2x?sin sin2x ?2cos 2x?4 42 2 4
(d’aprèslaformule:cosacosb?sinasinb?cos(a?b).
3. Enutilisantladernièreécriture,l’équations’écrit:
p? ? ? ? ? ?pπ π 2 π π
2cos 2x? ? 2 () cos 2x? ? () cos 2x? ? cos ()
4 4 2 4 48 π π ( (π π< 2x? ? ?2kπ 2x ? ?2kπ x ? ?kπ4 4 () 2 4π π 0 0 0: 2x? ? ? ?2k π 2x ? 0?2k π x ? 0?k π
4 4
Doncsurl’intervalle[0; 2π]lessolutionssont:
π 5π
0; ;π; .
4 4
? ?
3π
4. Lavaleurmoyennem de f surl’intervalle 0; estdéfiniepar:
8
Z3π
1 8
m? f(x)dx.
3π?0 08
? ? ? ?π 1 π
Uneprimitivedecos 2x? est sin 2x? ,donc:
4 2 4
? ?3π? ? ? ? ? ?
88 1 π 8 π π 83π πm? 2? sin 2x? ? sin 2? ? ?sin 2?0? ? sin ?8 23π 2 4 3π 4 4 3π0? ? !! ? !p p p p? ?π 8 2 8 2 8 4 2 8?4 2
sin ? ? 1? ? ? 1? ? ? ? .
4 3π 2 3π 2 3π 3π 3π
Exercice2 5points
π π? ?
3 31. a. f estdéfiniesurCpar: f (z)?0?e (z?0)ou f (z)?e z;1 1 1
2π 2π
3 3f estdéfiniesurCpar: f (z)?0?e (z?0)ou f (z)?e z.2 2 2
? !p
p2π 1 3
3b. Onadoncz ? f (z )?e ?8i? ? ?i ?8i??4 3?4i;C 2 B
2 2
? ? !!p
pπ 1 ? 3?
3z ? f (z )?e ?8? ?i? ?8?4?4i 3D 1 A
2 2BaccalauréatSTL A.P.M.E.P.
2. a. On ajz j?j8j? 8. Comme par définition de la rotation OA = OD, on aA
OD=8.
j jOn a z ?j8ij?8. Comme par définition de la rotation OB = OC, on aB
OC=8.
FinalementOA=OB=OC=OD=8:lespointsA,B,CetDappartiennent
aucercledecentreOetderayon4.
B
7
6
5
4
3
2
1
!?
v A
!?O
?8 ?7 ?6 ?5 ?4 ?3 ?2 ?1 u 1 2 3 4 5 6 7
?1
?2
?3
C
?4
?5
?6
?7
D
?8
b. CommeOC=OD=8,letriangleOCDestisocèleenO.
p p p p
2 2 2 2OnaCD ?jz ?z j ?j4?4i 3?(?4 3?4i)j ?j4?4i 3?4 3?4ij ?D C?p ? p ? p ? ? p ? p2 2 2?j4?4 3?i 4?4 3 ? 4?4 3 ? 4?4 3 ?16?48?32 3?16?48?
p
32 3?128.
2 2 2Or 64?64?128 () OC ?OD ?CD () OCD est un triangle rec-
tangleenOd’aprèslaréciproqueduthéorèmedePythagore.
Conclusion:letriangleOCDestrectangleisocèleenO.
p p
3. Onaa?z ?z ?4?4i 3?8??4?4i 3.D Ap p
b?z ?z ??4 3?4i?8i??4 3?12i.C B
p p ? p ? p
Or 3?a? 3 ?4?4i 3 ??4 3?12i?b.
p p?! ?!
b?a 3 () BC ? 3AD :lesvecteurssontcolinéaires,donclesdroites(BC)
et(AD)sontparallèles.
Conclusion:lequadrilatèreABCDestuntrapèze.
2 2 2 2Remarque:ilestmêmeisocèlepuisqueAB ?8 ?8 ?64?64?128?CD .
Métropole 2 septembre2004
bbbbBaccalauréatSTL A.P.M.E.P.
PROBLÈME 10points
PartieA
2x x1. a. Onsaitque lim e ??1,donc lim e ?1??1et lim ?0.
xx!?1 x!?1 x!?1e ?1
Finalement lim f(x)?2.
x!?1
2xOnsaitque lim e ?0,donc lim ?2etfinalement lim ?0.
xx!?1 x!?1 x!?1e ?1
b. Les deux résultats précédents signifient géométriquement la courbeC
a une asymptote d’équation y ? 2 au voisinage de plus l’infini et une
asympttoed’équation y?0auvoisinagedemoinsl’infini.
02 2u
2. Ladérivéede est? ,donc:
2u u
x2e0f (x)? .2x(e ?1)
Comme tous les termesdecequotient sont supérieurs àzéro,lequotient est
supérieuràzéro:lafonctionestcroissantesurRde0à2.
D’oùletableaudevariation:
x ?1 ?1
0f (x) +
2
f(x)
0
03. UneéquationdeT est:y? f(0)?f (0)(x?0).
02e 2 10f(0)?1et f (0)? ? ? .? ?2 20 2 2e ?1
1
UneéquationdeT estdonc:y?1? x.
2? ? ? ?
2 204. a. OnaM x ; 2? etM ?x ; 2? .
x ?xe ?1 e ?1
2 2
2? ?2?x ?xx?x e ?1 e ?10Lemilieude[MM ]apourabscisse ?0etpourordonnée: ?
2 2
2 2
? ?x xx ?x 1 1 e ?1?e ?1e ?1 e ?12? ?2? ? ?2? ?
x ?x x ?x2 e ?1 e ?1 (e ?1)(e ?1)
?x xe ?1?e ?1
2? ?2?1?1.
?x x1?e ?e ?1
0Cequimontrequelemilieude[MM ]estlepointI.
b. Deuxpoints delacourbed’abscisseopposées ontdesordonnéesoppo-
sées:lepointIestdonccentredesymétriepourlacourbeC
5. Voiràlafin.
PartieB
x x x2 2(e ?1)?2 2e ?2?2 2e
1. Ona f(x)?2? ? ? ? .
x x x xe ?1 e ?1 e ?1 e ?1
0 0u (x) u (x)xEnposantu(x)?e ?1, f(x)?2 .Or estladérivéede
u(x) u(x)
xlnu(x)?ln(e ?1).
UneprimitivesurRdelafonction f estfonclafonctionF définiepar
xF(x)?2ln(e ?1).
Métropole 3 septembre2004BaccalauréatSTL A.P.M.E.P.
2. ?
α 6 x 6 1
0 6 y 6 f(x)
a. Lafonctionestpositivedoncenparticuliersur[α; 1];l’airedelasurface
estdoncégale,enunitéd’aireàl’intégrale:
Z1 ? ? ? ?
1 1 αf(x)dx?[F(x)] ?F(1)?F(α)?2ln e ?1 ?2ln e ?1 ?α
α
α2ln(e?1)?2ln(e ?1).
? ?
? ? e?10b. A(0)?2ln(e?1)?2ln e ?1 ?2ln(e?1)?2ln2?2ln (u.a.).
2
2Commeuneunitéd’aireestégaleà2?2?4cm ,ona:
? ?
e?1 2 2A(0)?8ln cm soitenviron4,96cm .
2
α 2c. Onsaitque lim e ?0,donc lim A(α)?8ln(e?1)?10,50cm .
α!?1 α!?1
y
1
α x
?3 ?2 ?1 0 1 2
Métropole 4 septembre2004