Corrigé du baccalauréat STL Métropole septembre Chimie de laboratoire et de procédés

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Corrigé du baccalauréat STL Métropole \ septembre 2004 Chimie de laboratoire et de procédés industriels EXERCICE 1 5 points 1. ∆= (4p3)2?4?1?16 = 48?64 =?16= (4i)2. ∆< 0, l'équation a donc deux solutions complexes conjuguées : 4 p 3+4i 2 = 2 p 3+2i et 2 p 3?2i. 2. a. |zA|2 = ( 2 p 3 )2+22 = 12+4= 16= (4)2 ?|zA| = 4. Donc zA = 4 (p 3 2 + i 1 2 ) = 4 ( cos pi6 + isin pi 6 ) . Un argument de zA est donc pi 6 . |zB|2 = ( 2 p 3 )2+22 = 12+4= 16= 42 ?|zB| = 4. Donc zB = 4 (p 3 2 ? i 1 2 ) = 4 ( cos ?pi6 + i sin ?pi 6 ) . Un argument de zA est donc ? pi 6 . Rem. : On aurait pu dire que zB = zA b. Voir plus bas. A et B s'obtiennent grâce au cercle centré en O de rayon 4 et aux droites d'équation y = 2 et y = 2.

• corrigé du baccalauréat stl


• baccalauréat stl


• cos pi6


• lnx


• asymptotes verticales


• ?2? lnx


• ??

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2004
• Nombre de lectures: 44
• Langue: Français

Extrait

[CorrigédubaccalauréatSTLMétropole\
septembre2004Chimiedelaboratoireetdeprocédés
industriels
EXERCICE1 5points
¡ p ¢2 21. Δ? 4 3 ?4?1?16?48?64??16?(4i) .
Δ?0,l’équation adoncdeuxsolutions complexesconjuguées:
p
p p4 3?4i
?2 3?2i et 2 3?2i.
2
¡ p ¢22 2 22. a. jz j ? 2 3 ?2 ?12?4?16?(4) )jz j?4.A A
à !p
¡ ¢3 1 π πDonc z ?4 ?i ?4 cos ?isin .A 6 62 2
π
Unargumentdez estdonc .A
6
¡ p ¢22 2 2jz j ? 2 3 ?2 ?12?4?16?4 )jz j?4.B BÃ !p
3 1 ¡ ¢?π ?πDonc z ?4 ?i ?4 cos ?isin .B 6 62 2
π
Unargumentdez estdonc? .A
6
Rem.:Onauraitpudireque z ?zB A
b. Voirplus bas.AetB s’obtiennent grâceau cerclecentréen Oderayon4
etauxdroitesd’équation y?2et y?2.EnfinCs’obtient grâceaucercle
centréenOderayon2etàladroited’équation y?1.
¯ p p ¯ p p
¯ ¯ 2c. jz ?z j? 2 3?2i?2 3?2i ?j?4ij? 4 ? 16?4? AB.A B
j jd. OnaOA?[z ?4,OB?[z ?4etAB=4.A B
Conclusion:letriangleOABestéquilatéral.
³ ´p¡ ¢ pπi π π 3 1
63. a. z ?2e ?2 cos ?isin ?2 ?i ? 3?i.C 6 6 2 2
¡ p ¢ p1 1
b. On a (z ?z )? 0?2 3?2i ? 3?i? z . DoncC est le milieu deO A C
2 2
[OC].
4. C étant est le milieu de[OC], la droite(BC)est lamédiane, mais aussi lahau-
teur issue de B dans le triangle équilatéral OAB. (BC) est perpendiculaire à
(OA),doncletriangleABCestrectangleenC.BaccalauréatSTLChimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
3
A
2
C
1
O
?4 ?3 ?2 ?1 1 2 3
?1
?2
B
?3
?4
EXERCICE2 4points
1. (J;J),(J;V),(J;R),(V;J),(V;V),(V;R),(R;J),(R;V),(R;R).
2. a. X2{?6;?2, k?3, 2, k?1,2k}.
X?x ?6 ?2 k?3 2 k?1 2ki
b. 1 2 2 1 2 1
p(X?x )i
9 9 9 9 9 9
1 2 2 1 2 1
c. On a E(X)??6? ?2? ?(k?3)? ?2? ?(k?1)? ?2k? ??
9 9 9 9 9 9
?6?4?2k?6?2?2k?2?2k 6k?12 2k?6 2(k?3)
? ? ? .
9 9 3 3
d. Lejeuestéquitable sil’espérance mathématique deXestnullesoit E(X)
2(k?3) 3 3
?1 () ?1 () 2(k?3)?3 () k?3? () k?3? ?
3 2 2
9
?4,50.
2
Pour que le jeu soit équitable il faut donner 4,50( pour chaque boule
rougetirée.
PROBLÈME 11points
PartieA
1. Lafonction g estdérivablesur]0;?1[etsurcetintervalle:
21 ?4x ?10g (x)??4x? ? .
x x
0Comme x?0,lesignede f (x)estceluidunumérateur
2?4x ?1?(1?2x)(1?2x).
1 1
Cetrinômes’annulepour x?? et x? .
2 2
Cetrinômeestnégatifsaufentrelesracinesoùilestpositif.
¤ £1 0Conclusion:sur 0; , g (x)?0:lafonctionestcroissante;
2£ £
1 0sur ;?1 , g (x)?0:lafonctionestdécroissante.
2
Métropole 2 septembre2004
bbbBaccalauréatSTLChimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
2. Ilsuitletableaudevariationssuivant:
1x 0 ?12
0 ?g (x) ? 0
g(x)
¡ ¢ ¡ ¢21 1 1 1 33. Ona g ??2 ?1?ln ?? ?1?ln2?? ?ln2?0.
2 2 2 2 2¡ ¢
1D’aprèsletableaudevariations f estlemaxim`umdelafonctionsur]0;?1[,2
doncsurcetintervalle g(x)?0.
PartieB
lnx
1. a. Onsaitque lim ??1,donc lim f(x)??1.
x!0 x!0x
Graphiquement, ceci signifie que l’axe des ordonnées d’équation x?0
estasymptoteverticaleàC auvoisinagedezéro.
lnx
b. On sait que lim ?0 et comme lim ?x??1, on en déduit que
x!?1 x!?1x
lim f(x)??1.
x!?1
1
c. Soit d la fonction définie sur ]0 ;?1[ par d(x)? f(x)?(?x?1)?? ?
2
lnx
x .
x
lnx
On a vu que lim ? 0, donc la droite d’équation y ??x?1 est
x!?1 x
asymptoteobliqueàlacourbeC auvoisinagedeplusl’infini.
1 lnx
d. Ilfauttrouverlesigneded(x)?? ?x .Comme x?0,sonsigneest
2 x
celuide?lnx.
Or?lnx? 0 () 0? lnx () 1? x par croissance de la fonction ln.
Doncsur[0; 1[,lacourbeestaudessusdesonasymptote.
Onmontrerait dela même façon que sur]1;?1[,lacourbeest au des-
sousdesonasymptote.
2. a. f estdérivablesur]0;?1[etsurcetintervalle:
à ! µ ¶1 2?x?lnx1 1 1?lnx ?2x ?1?lnx0 xf (x)??1? ??1? ? .
2 2 22 x 2 x 2x
2?2x ?1?lnx g(x)0b. Onpeutécrire f (x)? ? .2 22x 2x
2 0c. Ona2x ?0,donc f (x)estdusignedeg(x),maisonavudanslapartie
Aque g(x)?0sur]0;?1[.Conclusion f estdécroissantesur]0;?1[.
1 ln1
d. f(1)??1?1? ? ??1?1?0?0.Lafonctionétantdécroissantesur
2 1
]0;?1[,onpeutendéduireque:
-sur]0; 1[, f(x)?0;
- f(1)?0;
-sur]1;?1[, f(x)?0
3. Voiràlafin.
PartieC
Métropole 3 septembre2004x?e
y??x?1
BaccalauréatSTLChimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
1. F estdérivablesur]0;?1[et
1 1 1 1lnx0F (x)?? ?2x?1? ?2?lnx? ??x?1? ? f(x).
2 4 x 2 x
ConclusionF estuneprimitivedelafonction f sur]0;?1[.
µ ¶Ze 1 1 1 1e 2 2 2 22. I? f(x)dx?[F(x)] ?F(e)?F(1)?? e ?e? (lne) ? ? ?1 ?1? (ln1) ?1 2 4 2 41
2 2e 1 1 e 3
? ?e? ? ?1?? ?e? .
2 4 2 2 4
3. a. Voiràlafin.
b. On a vu que pour x>1, f(x)60, donc l’aire en unité d’aire de la par-
tieE du plan limitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites
d’équations x?1et x?eestégaleàl’intégrale:
Z 2e e 3
? f(x)dx?? ?e? (u.a.)
2 41
2L’unitéd’airevalant2?2?4cm ,onafinalement:
µ ¶2e 3 2 2 2S?4 ?e? ?2e ?4e?3?6,91cm aumm près.
2 4
y
2
C
1
O x
1 2 3 4 5
?1
?2
?3
Métropole 4 septembre2004