Corrigé du baccalauréat STL septembre Chimie de laboratoire et de procédés industriels

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Corrigé du baccalauréat STL septembre 2006 \ Chimie de laboratoire et de procédés industriels Calculatrice autorisée 3 heures EXERCICE 1 4 points 1. L'équation s'écrit y ??+22y = 0. Les solutions sont donc de la forme : y = Acos2x+B sin2x, A ?R, B ?R. 2. Il faut trouver la solution f (x)= Acos2x+B sin2x de dérivée f ?(x)=?2A sin2x+2B cos2x vérifiant : { f ( pi 2 ) = ? p 3 f ? ( pi 2 ) = 2 ?? { Acospi+B sinpi = ? p 3 ?2A sinpi+2B cospi = 2 ?? { ?A = ? p 3 ?2B = 2 ?? { A = p 3 B = ?1 Finalement : f (x)= p 3cos2x? sin2x. 3. Onpeut écrire f (x)= 2 (p 3 2 cos2x? 1 2 sin2x ) = 2 ( cos pi6 cos2x? sin pi 6 sin2x ) = 2cos ( pi 6 +2x ) = 2cos ( 2x+ pi 6 ) . (enutilisant la formule : cos a cosb?sina sinb = cos(a+b)) 4. La valeur moyenne de f sur [ 0 ; pi 2 ] est égale à : m = 1 pi 2 ?0 ∫ pi 2 0 f (x)dx = 2 pi ∫

• produit de limites lim


• pri- mitive de ?x2ex


• x??∞


• x2ex


• ?2x? x2


• réciproque du théorème de pythagore


• ?? cd2


• moitié du diamètre cd


• ona lim


• ??

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2006
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français

Extrait

[CorrigédubaccalauréatSTLseptembre2006\
Chimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels
Calculatriceautorisée 3heures
EXERCICE 1 4points
00 21. L’équation s’écrity ?2 y?0.Lessolutionssontdoncdelaforme:
y?Acos2x?Bsin2x, A2R, B2R.
2. Ilfauttrouverlasolution f(x)?Acos2x?Bsin2x dedérivée
0f (x)??2Asin2x?2Bcos2x vérifiant:
½ ¡ ¢ p ½ p
?f ? ? 3 Acos??Bsin? ? ? 3
2¡ ¢ () ()0 ?f ? 2 ?2Asin??2Bcos? ? 2
2½ p ½ p
?A ? ? 3 A ? 3
()
?2B ? 2 B ? ?1
p
Finalement : f(x)? 3cos2x?sin2x.
à !p
¡ ¢3 1 ? ?3. Onpeutécrire f(x)?2 cos2x? sin2x ?2 cos cos2x?sin sin2x ?6 62 2
³ ´¡ ¢ ??2cos ?2x ?2cos 2x? .(enutilisantlaformule:cosacosb?sinasinb?
6 6
cos(a?b))
h i?
4. Lavaleurmoyennede f sur 0; estégaleà:
2
Z? Z? ³ ´ h ³ ´i?1 2 2 2 ? 2 ? 2
m? f(x)dx? 2cos 2x? dx? sin 2x? ???0 ? 6 ? 6 00 02· ¸ · ¸³ ´ ³ ´2 2 ? ? 2 1 1 2
sin ?? ?sin ? ? ? ?? .
? ? 6 6 ? 2 2 ?
EXERCICE 2 5points
µ ¶
12 21. a. OnaΔ?1 ?4? ?1?1?2??1?(i) .
2
Δ?0:l’équationadoncdeuxsolutionscomplexesconjuguées:
?1?i
??1?i et ?1?i.
12? 2
b. Onaz ??1?ietz ??2z ??2(?1?i)?2?2i.2 4 1
2. a. Voiràlafin.
1 1
b. Onaz ? (z ?z )? (?2?2?2i)??i.I 3 4
2 2
2 2 2 2 2 2c. CD ?jz ?z j ?j2?2i?(?2)j ?j4?2ij ?4 ?(?2) ?16?4?20;D C
2 2 2 2 2 2CA ?jz ?z j ?j?1?i?(?2)j ?j1?ij ?1 ?1 ?2;A C
2 2 2 2 2 2j j j jAD ? z ?z ?j2?2i?(?1?i)j ? 3?3i ?3 ?(?3) ?9?9?18;D A
2 2 2Or 20? 2?18 () CD ? CA ?AD , donc d’a près la réciproque du
théorèmedePythagore,letriangleACDestrectangled’hypoténuse[CD],
doncrectangleenA.
d. Le trianglerectangleACDest inscrit dansle(demi-)cerclecentré aumi-
lieu de son hypoténuse [CD], donc en I. Le rayonest égalà la moitié dup p p
diamètreCD.OrCD? 20?4?5?2 5.OnadoncR? 5.BaccalauréatSTLChimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
A
1
!?
vC
!?O
?3 ?2 ?1 u 1 2
I
?1
B
?2
D
?3
PROBLÈME 11points
PartieI:étudedelafonction f
¡ ¢
2 x1. a. Ona lim 3?x ??1et lim e ,doncparproduitdelimites lim f(x)?
x!?1 x!?1 x!?1
?1.
x 2 xb. Ona f(x)?3e ?x e .
x 2 xComme lim 3e ?0etque lim x e ?0,onaparsomme delimites :
x!?1 x!?1
lim f(x)?0.
x!?1
2. a. f estdérivablesurRet:
¡ ¢ ¡ ¢
0 x 2 x 2 xf (x)??2xe ? 3?x e ? 3?2x?x e .
x 0b. Comme e ?0, quel que soit le réel x, le signe de f (x) est celui du tri-
2nôme3?2x?x .
2Cherchons les racines de ce trinôme :Δ? 4?12? 16? 4 , donc il y a
2?4 2?4
deuxracinesréelles ??3et ?1.
?2 ?2
Cetrinômeestnégatifsaufentresesracines?3et1.Lafonctionestdonc
décroissantesaufsur[?3 ; 1]oùelleestcroissante.
c. D’oùletableaudevariations:
x ?1 ?3 1 ?1
0f (x)
0 2e
f(x)
?3?6e ?1
¡ ¢
2 x 23. Ilfaut résoudredansRl’équation f(x)?0 () 3?x e () 3?x ?0car¡p ¢¡p ¢
xquelquesoitleréelx, e 6?0,soitfinalement 3?x 3?x ?0()
p p
x?? 3 ou x? 3.
¡ p ¢ ¡p ¢
OnadoncdeuxpointsdeC surl’axedesabscisses:A ? 3; 0 etB 3; 0 .
PartieII:Tracéd’uneparabole
p¡ ¢2
1. A2P () 0?6?2 3 () 0?6?2?3quiestvrai;mêmecalculpourB.
¡ ¢
2 x x 2 2 x 2 x 2 x2. a. Développons 3?x (2?e )?6?3e ?2x ?x e ?6?2x ?3e ?x e ?¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
2 2 x 26?2x ? 3?x e ? 6?2x ?f(x).
Métropole 2 septembre2006
bbbbbBaccalauréatSTLChimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
p p
2b. Lesracinesdutrinôme3?x sont? 3et 3.Cetrinômeestnégatifsaufp p
entresesracinesdoncsur]? 3; 3[oùilestpositif.
x xD’autre part 2?e ? 0 () 2? e () ln2? x (par croissance de la
fonctionlogarithmenéprien.
xDemême2?e ?0 () x?ln2.
¡ ¢
2 xLesignede 3?x (2?e )s’obtientdoncgrâceautableausuivant:
p p
? 3 3x ?1 ln2 ?1
2 ? ?+0 ? 03?x
x ? ?? ? 02?e
¡ ¢
2 x ? ?3?x (2?e ) 0 ? 0 0 ?
£ p ¤
Onabienpourtoutnombreréelxappartenantàl’intervalle ? 3; ln2 ,
¡ ¢
2 x3?x 2?e >0.( )
¡ ¢ ¡ ¢
2 x 2c. On a 3?x (2?e )> 0 () 6?2x ? f(x)> 0 d’après la question£ p ¤
précédente.Cecisignifiegraphiquementquesurl’intervalle ? 3; ln2 ,
laparaboleP estau-dessusdelacourbeC.
3. Voiràlafin.
PartieIII:Calculd’aires
1. a. LafonctionG estdérivablesurRet
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
0 x 2 x x 2 x 2G (x)? (2x?2)e ? x ?2x?2 e ?e 2x?2?x ?2x?2 ? e x ?
2 xx e .
x 2 xb. Onavuque f(x)?3e ?x e .
x xUne primitive de 3e est 3e et d’après la question précédente une pri-
¡ ¢
2 x 2 xmitivede?x e est?G(x)?? x ?2x?2 e .
Uneprimitivedelafonction f estlafonctiondéfiniepar
¡ ¢ ¡ ¢
x 2 x 2 xx7!3e ? x ?2x?2 e ? ?x ?2x?1 e .
2. a. Voiràlafin.
¤ p £
b. On a vu que sur ? 3; 0 , la paraboleP est au dessus de la courbeC ;
doncl’airedudomaineD estégaleenunitéd’aireàl’intégrale:
· ¸Z 030 £¡ ¢ ¤ ¡ ¢2x2 2 xA ? 6?2x ?f(x) dx? 6x? ? x ?2x?1 e ?6?0?p p3? 3 ? 3à !p
3 3 ³ ´ pp p p¡ ¢2?0 2(? 3)2 0 2 (? 3)? 0 ?2?0?1 e ? 6?(? 3)? ? (? 3) ?2?(? 3)?1 e ?
3 3
³ ´ p ³ ´ pp p p p p
(? 3) (? 3)?1?6 3?2 3? 2?2 3 e ?4 3?1? 2?2 3 e (u.a.)
OnaA ?4,96(u.a.)aucentièmeprès.
Métropole 3 septembre2006BaccalauréatSTLChimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels A.P.M.E.P.
Annexe(àrendreaveclacopie)
!?
|
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P C
Métropole 4 septembre2006