Durée heures Baccalauréat S Antilles–Guyane juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Antilles–Guyane juin 1996 \ EXERCICE 1 5 points Une urne contient une boule rouge, deux boules blanches et trois boules noires. 1. On extrait simultanément trois boules de cette urne. On suppose tous les ti- rages équiprobables. Soit X la variable aléatoire « Nombre de boules blanches parmi les trois boules extraites ». Déterminer la loi de probabilité de X , son espérance mathématique et son écart-type. 2. Onextrait successivement trois boules de cette urne, en remettant après chaque tirage la boule extraite dans l'urne. On suppose tous les tirages équiprobables. Soit Y la variable aléatoire « Nombre de tirages où apparaît une boule blanche ». Déterminer la loi de probabilité de Y et son espérance mathématique. EXERCICE 2 6 points 1. On considère dans C l'équation d'inconnue Z : Z 3?12Z 2+48Z ?128= 0 (E ) a. Vérifier que 8 est solution de cette équation. Déterminer les nombres réels ?, ?, ?, tels que, pour tout complexe Z , Z 3?12Z 2+48Z ?128= (Z ?8)(?Z 2+?Z +?) b. Résoudre l'équation (E ). 2. ( O, ??u , ??v ) est un repère orthonormal direct du plan orienté, l'unité graphique est 1 cm.

• ti- rages équiprobables


• boule


• tion de l'équation


• équation d'inconnue z


• nature du triangle abc


• solution de l'inéquation

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1996
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• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures [Baccalauréat S Antilles–Guyane juin 1996\ E X E R C IC E 15 points Une urne contient une boule rouge, deux boules blanches et trois boules noires.

1.On extrait simultanément trois boules de cette urne. On suppose tous les ti rages équiprobables. SoitXla variable aléatoire « Nombre de boules blanches parmi les trois boules extraites ». Déterminer la loi de probabilité deX, son espérance mathématique et son écarttype.

2.On extrait successivement trois boules de cette urne, en remettant après chaque tirage la boule extraite dans l’urne. On suppose tous les tirages équiprobables. SoitYla variable aléatoire « Nombre de tirages où apparaît une boule blanche ». Déterminer la loi de probabilité deYet son espérance mathématique.

E X E R C IC E 2

1.On considère dansCl’équation d’inconnueZ:

3 2 Z−12Z+48Z−128=0 (E)

6 points

a.Vérifier que 8 est solution de cette équation. Déterminer les nombres réelsα,β,γ, tels que, pour tout complexeZ,

3 22 Z−12Z+48Z−128=(Z−8)(αZ+βZ+γ)

b.Résoudre l’équation (E).

³ ´ −→−→ 2.O,u,vest un repère orthonormal direct du plan orienté, l’unité graphique est 1 cm. On considère les points A,B, Cd’affixes respectivesa=2−2i3,b= p 2+2i3,c=8.

a.Calculer le module dea(noté|a|) et son argumentθ. Placer les trois points A,B et C.

a−c b.Calculer le complexeq=, déterminer son module et son agument b−c ϕ. En déduire la nature du triangle ABC.

c.Déterminer le barycentreDdes points pondérés (A,|a|), (B,|b|), (C,|c|). PlacerD.

d.Déterminer l’ensembleΓdes pointsMdu plan tels que

TracerΓ.

kMA+MB+2MCk = kMA+MB−2MCk.

E X E R C IC E 2 S P É C IA L IT É 6 points ³ ´ −→−→ O,u,vest un repère orthonormal direct du plan orienté, l’unité graphique est

Baccalauréat S

2 cm. On considère l’applicationfde ce plan privé deOdans luimême qui à tout ′ pointMd’affixeznon nulle associe le pointMd’affixe : 1 ′ z=z+. z 1. a.On considère les pointsP,Q,R,Ud’affixes respectives 2,−2,i,−2i. ′ ′′ ′ Calculer les affixes de leurs images parfnotéesP,Q,R,U. Placer ces points.

′ ′ b.SoitEle point d’affixe  1. Montrer queEest l’image parfde deux pointsE 1 etE 2 dont on calculera les affixesz 1 , etz 2 . Calculer|z 1 |(ou bien|z 2 |) et utiliser ce résultat pour placerE 1 , etE 2 . PlacerE.

′ ′ 2.On se propose de déterminer l’ensemble (Γ) des pointsMlorsqueMdécrit une courbe (Γ) donnée.

a.on notePréliminaire :rle module dezetθson argument; on désigne ′ ′′ parxetyles coordonnées deM. Donner l’écriture algébrique dez’ en fonction deretθet montrer que l’on a : à ! 1 ′ x=r+cosθ r à ! 1 ′ y=r−sinθ. r b.On suppose queMdécrit le cercle (Γ 1 ) de centreOet de rayon 1. ′ ′′ •Justifier que les pointsRetEappartiennent à (Γ). 1 ′ •Déduire du 2) a) une représentation paramétrique de (Γ) et préciser 1 ′ la nature de (Γ). 1 c.On suppose queMdécrit le cercle (Γ 2 ) de centreOet de rayon 2. ′ ′′ ′ •Justifier que les pointsP,QetUappartiennent à (Γ). 2 ′ ′ •Donner une représentation paramétrique de (Γ). En déduire que (Γ) 2 2 est une ellipse dont on donnera une équation cartésienne. Préciser les ′ éléments géométriques (sommets, foyers, directrices, excentricité) de (Γ) 2 ′ et tracer (Γ). 2

P R O B L È M E

Partie A  Étude d’une fonction Soitfla fonction définie sur ]0,+ ∞[ par :

10 points

lnx f(x)=5 p . x ³ ´ −→−→ On note (C) la courbe représentative defO,dans un repère orthonormalı,du plan, l’unité graphique est 1 cm.

1.Étudier les limites defrespectivement en 0 et en+ ∞. Que peuton en déduire pour la courbe (C) ?

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2.Étudier le sens de variation defet donner le tableau de ses variations.

3.Donner une équation de la tangente (T) à (C) en son pointAd’abscisse 1. Tracer (T) et (C).

4.Soit le domaine plan : 2 (D)={M(x;y)/1 6 x 6 0e et 6 y 6 f(x)}. 2 Calculer l’aire en cmde (D) à l’aide d’une intégration par parties.

Partie B  Étude de l’équationf(x)= −5

1.Justifier l’affirmation : « l’équationf(x)= −5 admet sur ]0,+ ∞[ une solution uniqueα, et 0,4<α<0,6 ».

−x 2. a.On pose pourxstrictement positifh(x)=e. Vérifier queαest solu tion de l’équation :h(x)=x.

′ b.Calculerh(x), puis montrer que pour tout réelxde [0,4 ; 0,6] on a :

′ h(x)∈et[0,4; 0,6]|h(x)| ≤0,43.

3.On considère la suite (u n ) définie surNpar :

u n =0,4 etu n+1 =h(u n ).

a.Justifier successivement les affirmations : •(u n ) est une suite d’éléments de [0,4 ; 0,6]. •Pour tout entiern,|u n+1 −α| 6 0,43|u n −α|. n •Pour tout entiern,|u n −α| 6 0,2(0,43) . •La suite (u n ) converge versα.

b.Déterminer le plus petit entiern 0 solution de l’inéquation :

n−4 0,2(0,43) 6 10 .

p Que représenteu n 0 ourα? À l’aide de votre calculatrice, calculeru n et 0 −5 donner une approximation décimale à 10du résultat affiché.

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