//img.uscri.be/pth/a112c736a88abbf4f14e8d8bac6e81e19706f0a1
YouScribe est heureux de vous offrir cette publication
Lire

Mathématiques 2000 S.T.L (Physique de laboratoire et de procédés industriels) Baccalauréat technologique

3 pages
Examen du Secondaire Baccalauréat technologique. Sujet de Mathématiques 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2000 sur Bankexam.fr.
Voir plus Voir moins
[Baccalauréat STL France juin 2000 Physique de laboratoire et de procédés industriels\
Durée : 4 heures
Coefficient : 4
EX E R C IC E15 points Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (unité graphique 10 cm). 2π in 3 Pour tout entier natureln, on noteMnle point d’affixezn=ei oùi désigne le π 0 nombre complexe de module 1 et d’argument. (Par convention, pourn=0, i= 2 1.)
1.Déterrniner la forme algébrique ainsi que le module et un argument de cha cun des nombres complexesz0,z1,z2etz3. Placer dans le plan les pointsM0,M1,M2etM3. 2.Exprimerzn+1en fonction dezn. En déduire queMn+1est l’image deMn, par une rotationrde centre O. Préciser une mesure de l’angle de cette rotation. 3. a.Exprimer un argument deznen fonction den. b.Déterminer les entiers naturelsntels queMnsoit confondu avecM0. Ã ! n 2πi i 4.Pour tout entier natureln, on noteQn, le point d’affixeωn=e. (par 3 2 Ã ! 0 i convention, pourn=0,=1). 2
a.Montrer que pour tout entier natureln, les points O,Mn, etQnsont alignés. b.Placer les pointsQ0,Q1,Q2etQ3dans le plan.
EX E R C IC E24 points Les unités physiques utilisées sont le mètre (m) et le kilogramme (kg). Un mobile de masse 16 kg, guidé rectilignement sur un banc à coussin d’air, est attaché à un ressort dont la constante de raideur vaut k = 1. Si l’on écarte le centre d’inertie G du solide de sa position d’équilibre O, alors G ef fectue des oscillations autour de celleci. À l’instantt, la position de G est repérée par le pointMd’abscissef(t) dans le repère ¡ ¢ −→ O,ı.
G
O −→ ı
1
M f(t)
G
On admettra que la fonctionfest solution de l’équation différentielle : ′′ (E) :16y+y=0. 1. a.Résoudre l’équation différentielle (E). b.On suppose qu’à l’instantt=0 le mobile est au point d’abscissef(0)= ′ −1 0,5 m et a une vitesse égale àf(0)=0,125 m.s. " # 1t t Montrer que la fonctionfest définie parf(t)=cos+sin . 2 44 " # 2 1 c.Vérifier que, pour tout réelt:f(t)=cos (tπ) . 2 4 2 2 2.Montrer que pour tout réelt, on a :6f(t)6. 2 2 3. a.Donner la valeur positivet0detpour laquelle le pointMse trouve pour la première fois en O. b.Combien de fois le pointMse trouvetil en O dans l’intervalle de temps [0 ; 35] ?
PR O B L È M E
11 points
Partie A 1.On considère la fonctionfdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+ ∞[ par : 2 f(x)= −2 lnx+a x+b x, oùaetbsont deux nombres réels. On appelleCla représentation graphique defdans le plan muni d’un repère ³ ´ orthogonal O,u,vd’unités graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées. Ã ! 13 Sachant que la courbeC1 ;passe par le point Aet que le coefficient 2 directeur de la tangente en A est égal à6, déterminer les valeurs des nombres aetb. 5 2 2.Pour la suite du problème, on prendraf(x)= −2 lnx+x9x. 2 a.Déterminer la limite en 0 de la fonctionf. Que peuton en déduire pour la courbeC? b.Vérifier que l’on peut écrire : Ã ! lnx5 9 2 f(x)=x2+ −. 2 x2x En déduire la limite en+∞de la fonctionf.
Partie B 1.On désigne parfla fonction dérivée defsur l’intervalle ]0 ;+ ∞[. a.Calculerf(x). b.Étudier le signe def(x). c.Dresser le tableau de variation de la fonctionfsur l’intervalle ]0 ;+ ∞[.
2
2. a.Démontrer que, dans l’intervalle [3; 4], l’équationf(x)=0 admet une unique solution, notéex0. b.Donner, à l’aide de la calculatrice, un encadrement d’amplitude 0,01 de x0. 3.Déterrminer une équation de la droite D tangente à la courbeCau point d’abscisse 1. ³ ´ 4.Tracer dans le repèreO,u,vla droite D et la courbeC.
Partie C 1.On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+ ∞[ par :
g(x)=xlnxx.
Expliciter la dérivéegde la fonctiong. 2.Déduire de la question précédente une primitiveFde la fonctionfsur l’inter valle ]0 ;+ ∞[. 3.On appelleAla partie du plan située entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=x0etx=5 (x0est défini à la questionB. 2).
a.Hachurer sur la figure la partieA. b.On désigne par A l’aire, en unités d’aire, de la partieA. Calculer A en fonction dex0puis calculer une valeur approchée de A en prenant 3,88 comme valeur approchée dex0.
3