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Mathématiques 2006 Sciences Economiques et Sociales Baccalauréat général

73 pages
Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.
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[BaccalauréatES2006\
L’intégraledeseptembre2005
àjuin2006
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles-Guyaneseptembre2005 ..................... 3
Franceseptembre2005 ............................... 8
AmériqueduSudnovembre2005 ................... 13
Nouvelle-Calédonienovembre2004 .................18
Pondichéry31mars2003 ............................23
AmériqueduNord31mai2006 ......................28
Liban31mai2006 ....................................33
Antilles-Guyanejuin2006 ........................... 38
Asiejuin2006 ........................................44
Centresétrangersjuin2006 ..........................50
Francejuin2006 ......................................55
LaRéunionjuin2006 .................................61
Polynésiejuin2006 ...................................702[BaccalauréatESAntilles-Guyaneseptembre2005\
EXERCICE 1 5points
Sur lafigureci-dessous, onatracélacourbereprésentativeC d’unefonction f dé-
rivablesur


3
2
;+∞

.
• LespointsJ


3
2
;−
3
2

,K(−1; 0),A(1;e)etB(2;2)sontdespointsdeC ;
• LatangenteàC enAestparallèleàl’axedesabscisses.
• LatangenteàC enBpasseparT(4;0).
• Ladroited’équation y=1estasymptoteàC en+∞.
• La fonction f est strictement croissante sur


3
2
; 1

et strictement décrois-
santesur[1;+∞[.
O
K
A
J
B
T
C
− →
ı
− →

1. a. Donner les valeurs de f


3
2

, f(−1), f(1), f(2) ainsi que la limite de f
en+∞.
b. Donner,enjustifiantvosréponses.,lesnombres f

(1)et f

(2).
2. Soitg lafonctiondéfinieparg(x)=ln[f(x)]etΓsareprésentationgraphique.
a. Déterminer l’intervalle I de définition de g. Calculer les limites de g en
−1eten+∞.
EndéduirelesasymptotesàlacourbeΓenprécisantuneéquationpour
chacuned’elles.
b. Exprimer g

(x) à l’aide de f(x) et f

(x). En déduire le tableau de varia-
tionsdeg.
c. Déterminer g(2) et g

(2), puis une équation de la tangente àΓ au point
B

d’abscisse2.
EXERCICE 2 5points
Dans cet exercice, A et B étant des évènements, A désigne l’évènement contraire de
l’évènementA,P(A)laprobabilitédeAetPB
(A)laprobabilitédeAsachantqueBest
réalisé.
Uneentreprisefabriquedesappareilsengrandnombre.Uneétudestatistiqueaper-
misdeconstaterque10%desappareilsfabriquéssontdéfectueux.
L’entreprisedécidedemettreenplaceuntestdecontrôledecesappareilsavantleurBaccalauréatES septembre2005àjuin2006
miseenvente.Cecontrôledétecteetélimine 80%desappareilsdéfectueux,maisil
élimine également à tort 10% des appareils non défectueux. Les appareils non éli-
minéssontalorsmisenvente.
On prend au hasard un appareil fabriqué et on note D l’évènement «l’appareil est
défectueux»etVl’évènement «l’appareilestmisenvente».
1. Construireunarbrepondérérendantcomptedecettesituation.
2. a. CalculerP(V∩D)etP

V∩D

.
En déduire que la probabilité qu’un appareil fabriqué soit mis en vente
aprèscontrôleest0,83.
b. Calculer la probabilité qu’un appareil mis en vente après contrôle soit
défectueux.
c. VérifierquePV
(D)≈0.24×P(D).
Rédiger une phrase comparant les probabilités pour un acheteur d’ac-
quérir un appareil défectueux suivant que l’entreprise applique ou non
letestdecontrôle.
3. Uneentreprisedécided’appliquer lecontrôle,toutencontinuantàfabriquer
le même nombred’appareils. Elle fabriquaitetvendaitune quantité q
0 d’ap-
pareilsauprixp
0
.
Lespourcentagesdemandésserontarrondisàl’unité.
a. Quelle est, en fonction de q
0
la nouvelle quantité q
1 d’appareils mis en
venteaprèscontrôle?
b. Dequelpourcentagelaquantitévenduea-t-ellediminué?
c. Queldoitêtrelenouveauprixp
1
(enfonctiondep
0 pourquel’entreprise
maintiennesonchiffred’affaires?
Quelestalorslepourcentaged’augmentationduprixdevente?
EXERCICE 3 10points
Un médicament est injecté par voie intraveineuse. Dans les heures qui suivent, la
substanceestéliminéeparlesreins.Laquantitéq
i présentedanslesang(q
i
enmil-
ligrammes) àl’instant t
i
(t
i
,enheures) aétémesurée pardesprisesdesang toutes
lesdeuxheures.
t
i
(heures) 0 2 4 6 8
q
i
(mg) 9,9 7,5 5,5 3,9 3
PARTIEA
Modélisationparunefonctionaffine
Lenuagedepointsassociéàlasérie

t
i
; q
i

estreprésentédanslerepèreorthogonal
ci-dessous.
1. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite D d’ajuste-
mentaffinedeq ent parlaméthodedesmoindrescarrés(coefficientsarron-
disà10
−2
);tracerladroiteDsurlafigure1.
2. En supposant que cemodèle reste valablependant 12 heures, quelle estima-
tion obtient-on de la quantité demédicament présente dansle sang au bout
de12heures?Qu’enpensez-vous?
PARTIEBRecherched’unmodélemieuxadapté
1. Représenter dans le repère semi-logarithmique ci-dessous le nuage de point
associéàlasérie

t
i
; q
i

.
Quel type d’ajustement l’allure de cette représentation permet-elle d’envisa-
ger?
2. Onposey
i =lnq
i
.Recopieretcompléterletableauci-dessous(valeursarron-
diesaucentième).
Antilles-Guyane 4 septembre2005BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
0
5
10
0 5 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
t (heures)
q (mg)
FIG. 1–
t
i
(heures) 0 2 4 6 8
y
i
(mg)
3. Déterminer à l’aide dela calculatrice une équation dela droited’ajustement
affinede y en t par la méthode desmoindres carrés(coefficients arrondisau
centième).
4. Montrerquel’expressiondeq enfonctiondet obtenueàpartirdecetajuste-
mentestdelaformeq=ae
−bt
oùa estarrondiàl’unitéetb aucentième.
5. Étudierlesensdevariationdelafonction f définiesur[0;15]par:
f(t)=10e
−0,15t
.
TracersacourbereprésentativeCsurlafigure1.
6. Onsupposequecenouveaumodèlerestevalablependant12heures.Calculer
à 10
−1
près la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12
heures.Placerlepointcorrespondantsurlegraphique.
PARTIEC
1. Calculer
f(t+1)−f (t)
f(t)
. Interpréter le résultat par une phrase concernant le
pourcentagedevariationdelaquantitédemédicamentprésentedanslesang.
2. Lemédicamentresteefficacetantquelaquantité présentedanslesangreste
supérieureà2mg.
Déterminergraphiquement,à1heureprèspardéfaut,laduréed’efficacitéde
l’injection.
3. Calculer,àundixièmedemilligramme près,laquantitémoyennedemédica-
mentprésentedanslesangpendantles10heuresquisuiventl’injection.
Antilles-Guyane 5 septembre2005BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 5 10 t (heures)
q (mg)
FIG. 2–
EXERCICE 4 5points
Enseignementdespécialité
Sur unmarchéoùseulunproduitAétaitprésent, unnouveau produitBestmisen
venteàpartirdel’année2003.Uneenquêteamontréque:
• la probabilité qu’un client de A, une année donnée, reste fidèle à A l’année
suivanteest0,67;
• la probabilité qu’un client de B, une année donnée, choisisse A l’année sui-
vanteest0,27.
Onsuppose quela clientèle totale pour les deuxproduits nechangepas.Onprend
unclientauhasardl’année(2002+n).
Notations:
– OnappelleAl’état«acheterleproduitA»;
– OnappelleBl’état«acheterleproduitB»;
– Onnotean
laprobabilitéquececlientachèteApendantl’année(2002+n).
– Onnotebn
laprobabilitéquececlientachèteBpendantl’année(2002+n).
– Onadonca
0=1etb
0=0.
1. Traduirelesdonnéesdel’énoncéparungrapheprobabilistedesommetsAet
B.
LamatriceMdecegrapheprobabiliste,enconsidérantlessommetsdugraphe
dansl’ordreApuisB,estdonc:
M=

0,67 0,33
0,27 0,73

2. OnappellePn=(an bn
)lamatricedécrivantl’étatprobabilistedelaclientèle
l’année(2002+n)
Antilles-Guyane 6 septembre2005BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
a. Donnerlarelationmatricielleliantl’étatP
1 àl’étatP
0
.CalculerP
1 ettra-
duirecerésultatparunephrase.
b. Calculerettraduiredemêmel’étatP
2
.
3. a. ExprimerPn+1 enfonctiondePn
.Endéduiteque,pourtoutentiern,on
a:
an+1=0,67an+0,27bn puis an+1=0,4an+0,27.
b. On définit la suite (un
) par un = an−0,45 pour tout entier n. Montrer
que (un
) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le
premierterme.
c. Exprimerun puisan etbn enfonctionden.
4. a. Quellessontleslimitesrespectivesa etbdessuites(an
)et(bn
).Exprimer
cesrésultatsentermesderépartitionsurlemarchédesproduitsAetB.
b. OnposeP=(a b).
VérifierqueP=P×M.
Quereprésentel’étatP?Dépend-ildel’étatinitialP
0
?
Antilles-Guyane 7 septembre2005Durée:4heures
[BaccalauréatESFranceseptembre2005\
EXERCICE 1 3points
Communàtouslescandidats
Uneenquêtemenéepourlecompted’uneentrepriseapermisd’établirlenombre
d’acheteurs d’un produit X selon le montant de son prix de vente. Les résultats de
l’enquêtesontrésumésdansletableauci-dessousdanslequel:
•x
i désigneleprixdeventeunitaire(eneuros)duproduitX;
• y
i
lenombred’acheteursenmilliers.
x
i
1 1,50 2 3 4
y
i
3,75 2,8 2 1 0,5
1. Représenter survotrecopielenuagedepointsassociéàlasérie

x
i
; y
i

dans
un repère orthogonal

O,
− →
ı ,
− →

du plan (unités graphiques : 4 cm pour 1
euroenabscisseet2cmpour1000acheteursenordonnée).
2. Onrechercheunajustementaffinedelasérie

x
i
; y
i

.
a. Donner l’équation de la droite d’ajustement de y en x obtenue par la
méthodedesmoindrescarrés.
Les calculs serontfaits àlacalculatrice etles valeurscherchéesserontar-
rondiesaucentième;onnedemandeaucunejustification.
b. Tracercettedroitedanslemêmerepèrequeprécédemment.
c. Utiliser cet ajustement pour estimer le nombre d’acheteurs potentiels
pourunproduitvendu2,50euros.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Parmilesstandsdejeuxd’unefêtedevillage,lesorganisateursontinstalléunema-
chine qui lance automatiquement une bille d’acier lorsque le joueur actionne un
bouton.
Cette bille roule sur un plan comportant une cible circulaire évidée en son centre.
Lorsquelabilleatteintlacible,soitelleestavalée,soitellerestesurlacible.
Lorsquelabillen’atteintpaslacibleellerevientàsonpointdedépart.
Danslasuitedel’exercice,onnotera:
• Cl’évènement «lacibleestatteinte»;
• Bl’évènement «labilleestavalée».
Uneétudepréliminaireadémontréque:
-laprobabilitéd’atteindrelaciblelorsd’unlancerestégaleà0,3;
-lorsquelacibleaétéatteinte,laprobabilitéquelabillesoitavaléeestégaleà0,2.
1. Traduirelasituationaléatoireci-dessusparunarbredeprobabilité.
2. Onactionnelebouton.
a. CalculerlaprobabilitéP
1 quelabillesoitavalée.
b. CalculerlaprobabilitéP
2 qu’ellerestesurlacible.BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
Une partie se déroule selon la règle ci-dessous. Pour jouer, on paie 0,50 euro
etonactionneleboutonquilancelabille:
• silabilleestavalée,ongagneunlotd’unevaleurdeg euros;
• silabillerestesurlaciblesansêtreavalée,onestremboursé;
• silabilleratelacible,onperdlamise.
3. Déterminer complètement la loi de probabilité de gain d’un joueur : on re-
copieraetoncomplétera letableauci-dessous;aucunejustificationn’estde-
mandée.
gain −0,50 0 g−0,50
probabilité
4. a. Montrerquel’espérancedegaind’unjoueurenfonctiondeg est:
E=0,06g−0,38.
b. On prévoit qu’un grand nombre de parties seront jouées. Pour quelles
valeursdeg lesorganisateurspeuvent-ilsespérerunbénéfice?
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Mademoiselle Z travaille dans une société spécialisée dans la vente par téléphone.
Chaquejour,elledoitappelerunelistedeclientspourleurproposerunproduitpar-
ticulier.Aprèsavoirobservéungrandnombred’appelsdeMademoiselleZ,onpeut
fairel’hypothèsesuivante:
- si un client contacté répond favorablement (situation A), cela donne de l’as-
surance à Mademoiselle Z et elle arrive à convaincre le client suivant une fois sur
deux;
- si leclient contacté nerépond pasfavorablement (situation B), Mademoiselle
Zsedécourageetn’arriveàconvaincreleclientsuivantqu’unefoissurcinq.
1. a. Traduirelesdonnéesdel’énoncéparungrapheprobabilistedesommets
AetB.
b. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre al-
phabétiquedessommets.
2. Ce lundi, Mademoiselle Z est en forme et elle a convaincu le premier client
d’acheter le produit proposé. La matrice ligne décrivant l’état initial au pre-
mier appel est donc P
0=(1 ; 0). Donner la matrice ligne P
1 exprimant l’état
probabilisteaudeuxièmeappel.
3. OndonnelamatriceM
5
=

0,287 45 0,712 55
0,285 02 0,714 98

a. CalculerleproduitP
0M
5
.EndéduirelaprobabilitéqueMademoiselleZ
convainquesonsixièmeclientcelundi.
b. QuelleauraitétélaprobabilitéqueMademoiselleZconvainquesonsixième
clientsiellen’avaitpasconvainculepremier?
4. Déterminerl’étatstabledusystème.Commentpeut-onl’interpréter?
EXERCICE 3 8points
Communàtouslescandidats
PARTIEA
L’objetdecetexerciceestl’étudededeuxfonctionsintervenantdansunmodèle
économique.Lacourbe

C
f

donnéeenANNEXE(àrendreaveclacopie)estlare-
présentationgraphique,dansunrepèreorthogonalduplan,delafonction f définie
surl’intervalle[0;5]par:
France 9 septembre2005BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
f(x)=e
−0,7x+2,1
.
De même, la courbe

C
g

est la représentation graphique de la fonction g définie
surl’intervalle[0;5]par:
g(x)=0,5x+0,7.
Onadmetquelesfonctions f etg sontdérivablessurl’intervalle[0;5].
1. Onappelleh lafonctiondéfinieparh(x)= f(x)−g(x).
a. Calculerh

(x)oùh

désignelafonctiondérivéedelafonctionh surl’in-
tervalle[0;5].
b. Étudier le signe de h

(x) pour x appartenant à l’intervalle [0; 5]. En dé-
duirequelafonctionh eststrictementmonotonesurcetintervalle.
c. Justifierquel’équationh(x)=0admetunesolutionuniqueαsurl’inter-
valle[0;5]etdonneràl’aided’unecalculatriceunevaleurapprochéede
αà 10
−3
près (onnedemandepas dejustification sur la méthode d’ob-
tentiondecettevaleur).
d. Déduiredel’étudeprécédentelesvaleursarrondiesà10
−2
descoordon-
néesdupointd’intersectionFde

C
f

et

C
g

.
2. Danslasuiteduproblème,onprendraα=2,17et f(α)=g(α)=1,79.
a. Soient les points C(0 ; f(α)) et E(α ; 0). Donner une valeur arrondie à
10
−2
del’airedurectangleOCFEexpriméeenunitésd’aire.
b. Interprétergraphiquementlenombre

α
0
f(x)dx.
c. Calculer

α
0
f(x)dx en fonction de α et en donner la valeur arrondie à
10
−2
.
PARTIEB
Lafonction f définiedanslaPARTIEAreprésentelafonctiondedemanded’unpro-
duit;ellemetencorrespondanceleprix f(x)expriméenmilliersd’eurosetlaquan-
titéx,expriméeentonnes,quesontprêtsàacheterlesconsommateursàceprix.
Lafonction g définiedanslaPARTIEAestlafonctiond’offredeceproduit;elle
metencorrespondanceleprixg(x)expriméenmilliersd’eurosetlaquantité x,ex-
priméeentonnes,quesontprêtsàvendreàceprixlesproducteurs.
Onappelleprixd’équilibredumarchéleprixpourlequellaquantitédemandée
par les consommateurs est égale à celle offerte par les producteurs. On note p
0
le
prixd’équilibreetq
0
laquantitééchangéesurlemarchéàceprix.Danslasituation
étudiéeonadonc: f

q
0

=g

q
0

.
1. DéduiredesrésultatsdonnésdanslaPARTIEAlesvaleursdeq
0 etdep
0
.
2. Touslesconsommateursquiétaientprêtsàpayerpluscher(au-dessusduprix
p
0
) réalisent une économie. Le montant économisé par les consommateurs,
appelésurplusdesconsommateurs,vautpardéfinition

q0
0
f(x)dx−p
0×q
0
.
Ils’exprimeicienmilliersd’euros.
a. SurlegraphiquedelafeuilleANNEXE(àrendreaveclacopie):
-indiquerlesvaleursq
0 etp
0
surlesaxesdecoordonnées;
-hachurerledomainedontl’aires’écrit:

q0
0
f(x)dx−p
0×q
0
.
b. Calculer,enmilliersd’euros,lesurplusdesconsommateurs.
France 10 septembre2005BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
Àrendreaveclacopie
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule réponse est exacte. On de-
mandedecochercetteréponse.
Unebonneréponserapporte0,5point.Unemauvaiseréponseenlève0,25point.L’ab-
sencederéponsenerapportenin’enlveaucunpoint.
Siletotaldespointsestnégatiflanoteglobaleattribuéeàl’exerciceest 0.
QUESTIONS RÉPONSES
1.Lacourbereprésentativedelafonctionlogarithme y=x+1
népérienadmetpourtangenteaupointd’abscisse1,la y=x−1
droited’équation: y=x+e
2.Lareprésentationgraphiquedelafonction ladroited’équation y=x
exponentielleadmetpourasymptote: l’axedesabscisses
l’axedesordonnées
3.Lafonction f définiepar f(x)=
1
4
e
−2x
+ln(2x+4)est g(x)=
1
2
e
−2x
+
2
x+2
uneprimitivesurl’intervalle]−2;+∞[delafonctiong g(x)=−
1
2
e
−2x
+
1
x+2
définiesurl’intervalle]−2;+∞[par: g(x)=−
1
2
e
−2x
+
1
2x+4
4.L’intégrale

1
−1
x
3
dx estégaleà: −0,5
0
0,5
5.Lalimiteen+∞delafonction f définiesur 1
l’intervalle

1
2
;+∞

par f(x)=
−2x
3
+3x−1
(2x−1)
3
−1
estégaleà: −
1
4
6.Lediagrammeenboîteci-dessousrésumeunesérie
1
2
(a+e)
statistiquedontlamédianeest:
1
2
(b+d)
a b c d e c
7.Ladroitedesmoindrescarrésassociéeàunesérie jamais
statistiqueàdeuxvariablespasseparlepointmoyendu
nuage:
dans certains cas seule-
ment
toujours
8.Selonl’INSEElesprixàlaconsommationont
augmentéde8,9%du1
er
janvier1998au 1,48%
31décembre2003.
Siletauxd’évolutiondesprixd’uneannéeàlasuivante 1,72%
étaitfixede1998à2003,etégalàt%,lavaleurdet
arrondieà10
−2
quidonneraitlamêmeaugmentation 1,43%
desprixàlafindel’année2003,seraitégaleà:
France 11 septembre2005BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
ANNEXE
Exercice3
Communàtouslescandidats
Àrendreaveclacopie
Figureàcompléter
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
1 2 3 4 -1
-1 0 1 2 3 4 5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
F
C
f
C
g
x
y
quantité
prix
France 12 septembre2005[BaccalauréatESAmériqueduSudnovembre2005\
EXERCICE 1
Soitlafonction f définiesurl’intervalle]0;+∞[par f(x)=3x−2−2xlnx.
1. Ondonneci-dessousletableaudevariationsde f.Recopier cetableausur la
copie.
a. Justifierlesignede f

(x)surchacundesintervalles

0;

e

et

e;+∞

.
b. Calculerlavaleurexactede f

e

.
x 0

e
f

(x)
+ 0 −
f(x)
−2
f

e

−∞
2. Àl’aidedecetableaudevariations,indiquerlenombredesolutionsdel’équa-
tion f(x)=0dansl’intervalle ]0; +∞[.Sicessolutions existent, donnerpour
chacune d’elles la valeur décimale approchée arrondie au dixième (aucune
justificationn’estdemandée).
3. Indiquer,enjustifiantlaréponseàl’aidedutableaudevariations,sichacune
desaffirmationssuivantesestvraieoufausse:
a. La courbereprésentative de f admet dans le plan muni d’un repèreor-
thonormal,uneasymptoteverticaled’équation x=0.
b. Touteprimitivede f eststrictementcroissantesurl’intervalle

0;

e

EXERCICE 2 5points
(pourlescandidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialité)
Lorsd’unexamen,JuliendoitrépondreàunQ.C.M.
Àchaquequestiontroisréponsessontproposéesdontuneseuleestexacte.
Pour chaque question, soit il connaît la réponse et répond de façon exacte, soit il
ne la connaît pas et, dans ce cas, bien qu’il ait la possibilité de ne pas répondre, il
préfère tenter sa chance et répond au hasard il a alors une chance sur trois que sa
réponsesoitexacte.
Onsuppose, deplus, que la probabilité que Julien connaisse la réponse une ques-
tiondonnéeestégale
1
2
.
OnnoteCl’évènement « Julienconnaîtlaréponse »,
El’évènement « laréponseestexacte ».
Rappel de notation : pour un évènement A donné, p(A) désigne la probabilité de
l’évènement AetAl’évènementcontrairedel’évènement A.
1. a. Julienrépond unequestionduQ.C.M.
Construireunarbrepondérédécrivantlasituation.
b. Démontrerque:p(E)=
2
3
.BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
c. Calculer la probabilité que Julien connaisse la réponse la question sa-
chantquesaréponseestexacte.
2. Le Q.C.M. est composé de trois questions indépendantes. Il est noté sur 3
points. Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse enlève
0,5point. Siletotaldespoints estnégatif, lanoteglobaleattribuée l’exercice
est0.Soit X lanoteobtenueparJulien ceQ.C.M.«
a. Déterminer la loi deprobabilitéde X. Onpourra s’aider d’unarbre.Les
résultatsserontdonnéssousformedefractions.
b. QuelleestlaprobabilitéqueJulienaitaumoins1,5point ceQ.C.M.?
c. En supposant que tous les élèves se comportent comme Julien, quelle
moyenne,arrondieaucentième,peut-onattendre ceQ.C.M.?
EXERCICE 2 5points
(pourlescandidatsayantchoisil’enseignementdespécialité)
Au1
er
janvier2000,lapopulationd’unevilleserépartitégalemententrelocataireset
propriétaires.La population globalenevariepasmais, chaqueannée, pour raisons
familiales ou professionnelles, 10% des propriétaires deviennent locataires tandis
que20%deslocatairesdeviennentpropriétaires.
1. On désigne par pn
la probabilité qu’un habitant de la ville choisi au hasard,
soit propriétaireau 1
er
janvier del’année 2000+n (n entier supérieur ou égal
0),etparln
,laprobabilitéqu’ilsoitlocataire.
La matrice P
0= (0,5 0,5) traduit l’état probabiliste initial et la matrice Pn =

pn
ln

(avec,pourtoutndeN, pn+ln=1)l’étatprobabilisteaprèsnannées.
a. Représenter la situation l’aide d’un graphe probabiliste et en déduire
quecegrapheapourmatricedetransitionM=

0,9 0,1
0,2 0,8

.
b. Calculerl’étatprobabilisteP
1
.
c. Déterminerl’étatstabledugraphe.Quepeut-onenconclurepourlapo-
pulationdecetteville?
2. Àl’aidedelarelationPn+1=Pn×M,démontrerque,pour toutentiernaturel
n, pn+1=0,7pn+0,2.
3. Onconsidèrelasuite(un
)définie,pourtoutentiernatureln,parun=pn−
2
3
.
a. Démontrerquelasuite(un
)estunesuitegéométriquederaison0,7.
b. Exprimerun enfonctionden etdémontrerquepn=−
1
6
×0,7
n
+
2
3
.
c. Calculerlalimitedelasuite

pn

etretrouverlerésultatdelaquestion1.
c.
EXERCICE 3 5points
(communàtouslescandidats)
Lacourbe(C),donnéeenannexe1,estlareprésentationgraphique,dansunrepère
orthonormal

O,
− →
ı ,
− →

dupland’unefonction f définieetdérivablesurR.Ladroite
(T) est la tangente cette courbe au point de coordonnées (0; 2). On appelle α la
valeur dela variable x pour laquelle f admet un maximum noté M : M= f(α) (la
valeurdeαn’estpasdemandée).
Onpréciseque f(−1), f(0), f(2), f

(0)sontdesnombresentiers.
LespartiesAetBsontindépendantes
PartieA
1. f

désignelafonctiondérivéede f surR.Déterminergraphiquement f (0), f

(0)
etlesignede f(x)suivantlesvaleursduréelx surl’intervalle[−6; 2].
AmériqueduSud 14 novembre2005BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
2. Soit g la fonction définiepour tout x del’intervalle [0; 2[ par g(x)=ln

f(x)

etg

safonctiondérivée.
a. En utilisant notamment des résultats obtenus par lecture graphique de
lacourbe(C),dresserletableaudevariationsdegetdéterminerlalimite
deg en2.
b. Déterminer g

(0).
PartieB
SoitF uneprimitivede f surR, F

désigneladérivéedeF surR.
1. Déterminer l’aidedugraphiqueF

(−1)etF

(2).
2. Onadmetqu’ilestpossibledetrouverdeuxnombresréelsaetbtelsque,pour
toutréelx, F(x)=

ax
2
+bx−1

e
x
.
a. ExprimerF

(x)enfonctiondex etdea etb.
b. Enutilisantlesrésultatstrouvés laquestion1delapartieB,démontrer
quepourtoutx deR, F(x)=

−x
2
+3x−1

e
x
.
c. CalculerF(2)−F(−1).Interprétergraphiquementcerésultat.
EXERCICE 4 5points
(communàtouslescandidats)
Le tableau ci-dessous donne l’évolution dunombrede personnes âgéesdeplus de
85ans,enFrancemétropolitaine,de1950 2000.
OnnoteX
i
l’année.L’indicei variede1â11.Parcommoditéonposex
i =X
i−1950.
y
i désigne,enmilliers, lenombredepersonnes âgéesde85ansouplus, au1
er
jan-
vierdel’année X
i
.
X
i
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
x
i
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
y
i
201 231 290 361 423 498 567 684 874 1079 1267
Source:Insee,bilandémographique.Champ:FrancemétropoIitaine.
1. Estimationàl’aided’ungraphiquesemi-logarithmique
a. Compléter le nuage depoints M
i

x
i
; y
i

associé cette série statistique
danslerepèresemi-logarithmiquefournienannexe2.
b. Construire sur ce graphique la droitepassant par les points M
1
(0 ; 201)
et M
11
(50 ; 1267) et justifier que l’ajustement du nuage l’aide de cette
droiteestsatisfaisant.
c. Ensupposantquecetajustement affinerestepertinent,déterminergra-
phiquement partir de quelle année le nombre de personnes âgées de
plusde85ansdépassera2millions.
2. La formedunuageobtenuavec la représentation logarithmique invite cher-
cherunajustementexponentiel.Onposez=lny.
a. Compléter la dernière ligne du tableau fourni en annexe. Arrondir les
résultatsaumillième.
b. Enutilisantlacalculatrice,déterminerparlaméthodedesmoindrescar-
rés une équation de la droite d’ajustement de z en x. Les coefficients
serontarrondisaumillième.
c. Endéduireunemodélisationde y enfonctiondex souslaforme
y=Ae
Bx
.(Leréel A seraarrondi l’unitéetleréelB aumillième)
3. Onadmetquelafonction f définiesurl’intervalle[0;70]par: f (x)=200e
0,037x
modélisedefaçonsatisfaisantel’évolutiondecettepopulation.
a. Résoudrel’inéquation f(x)>2000etinterprétercerésultat.
b. Calculerlavaleurdécimaleapprochéearrondieaumillièmede
1
50

50
0
f(x)dx.
Quereprésentecerésultatpourlapopulationétudiée?
AmériqueduSud 15 novembre2005BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
Annexe1–Exercice3(àremettreaveclacopie)
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 -6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
O − →
ı
− →

(C)
(T)
AmériqueduSud 16 novembre2005BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
Annexe2–Exercice4(àremettreaveclacopie)
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
0 10 20 30 40 50 60 70
M
1
M
11


X
i
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
x
i
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
y
i
201 231 290 361 423 498 567 684 874 1079 1267
z
i =lny
i
AmériqueduSud 17 novembre2005[BaccalauréatESNouvelle-Calédonie\
novembre2005
EXERCICE 1 6points
Communàtouslescandidats
On considère la fonction f défi-
niesurl’intervalle[0; 6]par:
f(x)=
3
4
x
2
−3x+6
La courbe (C
f
) ci-contre est re-
présentative de la fonction f
dans un repère orthonormal du
pland’origineO.
La partie hachurée ci-contre est
limitée par la courbe (C
f
), l’axe
des abscisses, l’axe des ordonn
éesetladroited’équation x=6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
15
-1
1 2 3 4 5 6 -1
O
1. Calculer,enunitésd’aire,l’aireS delapartiehachurée.
2. OnconsidèreunpointM appartenantàlacourbe(C
f
)d’abscissexavecx∈[0; 6].
Laparallèleàl’axedesordonnéespassantparM coupel’axedesabscissesen
unpointH.
Laparallèleàl’axedesabscissespassantparM coupel’axedesordonnéesen
unpointK.
OnappelleR(x)l’aire,enunitésd’aire,durectangleOHMK.
Prouverque,pourtoutxappartenantàl’intervalle[0; 6],R(x)=0,75x
3
−3x
2
+6x.
3. On se propose de rechercher toutes les valeurs possibles de x de l’intervalle
[0; 6]tellesquel’aireR(x)durectangleOHMK soitégaleàl’airehachuréeS.
a. Montrerqueleproblèmeprécédentrevientàrésoudrel’équationg(x)=0
oùg estlafonctiondéfiniesurl’intervalle[0; 6]par:
g(x)=0,75x
3
−3x
2
+6x−36.BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
b. Étudier les variations de g sur l’intervalle [0 ; 6] et dresser le tableau de
variationde g.Endéduirequel’équation g(x)=0admetsurl’intervalle
[0; 6]unesolutionuniqueα.
Donnerunevaleurapprochéedeαaucentième.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialité
Dansuneville,deuxfournisseursd’accèsauréseauinternetsontenconcurrence.
Pourétudier l’évolution dunombred’abonnésà cesdeuxfournisseurs A etB, ona
reportédansletableausuivant,àlafindechaqueannée,lenombretotald’abonnés
déclaréparchacundesdeuxfournisseurs.
Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Rang x
i del’année 1 2 3 4 5 6
Nombretotal y
i
d’abonnéspar 975 1443 2049 2930 4220 5850
lefournisseur A
Nombretotalt
i
d’abonnéspar 4012 4813 5872 7281 8664 10432
lefournisseurB
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
000
2 3 4 5 6 7
11
1
FournisseurB
FournisseurA
1. Recopierlesdeuxdernièreslignesdutableausuivantenlescomplétant.
Ondétaillera chacundesquatrecalculsetonarrondiralesrésultats àl’entier
leplusproche.
Augmentation du
nombre d’abonnés
entre1999et2004
Pourcentage d’aug-
mentation du nombre
d’abonnés entre 1999
et2004
Pourcentage annuel
moyen d’augmentation
du nombre d’abonn és
entre1999et2004
FournisseurA ... 500% ...%
FournisseurB 6 420 ...% ...%
2. a. L’allure dunuagedepoints associé à la sériestatistique (x
i
; y
i
) permet
d’envisagerunajustementexponentiel.OnposeY
i =ln(y
i
).
Écrire une équation de la droite (d) d’ajustement de Y en x par la mé-
thodedesmoindrescarrés.
Lescalculsserontfaitsaveclacalculatrice(sansjustification)etlesrésul-
tatsfinauxserontarrondisaumillième.
Nouvelle-Calédonie 19 novembre2004BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
b. En utilisant cet ajustement, donner une estimation dunombre d’abon-
nésaufournisseur A en2006.
3. L’alluredunuagedepointsassociéàlasériestatistique(x
i
; t
i
)permetd’en-
visagerunajustementexponentiel.
En posant T
i = ln(t
i
), on obtient, par la méthode des moindre carrés, une
équationdeladroite(Δ)d’ajustementdeT enxsouslaforme:T =0,193x+8,102
(cerésultatestadmis).
Enutilisant cetajustement, donner uneestimation dunombred’abonnésau
fournisseurB en2006.
4. En supposant que les ajustements pr éc édents restent pertinents, pr éciser
l’annéeàpartirdelaquellelenombred’abonnésaufournisseur Adépassera
lenombred’abonnésaufournisseurB.
Justifier.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantchoisil’enseignementdespécialité
Le b én éfice B d’une entreprise dépend à la fois des investissements et de la pro-
duction.
Onappellex lemontantdesinvestissementsenmillionsd’eurosety laquantitépro-
duite enmilliers d’unités. Onadmetque le bénéficeB decette entreprise, exprimé
enmillionsd’euros,estmodéliséparlafonctionB définieparB(x ; y)=x
2
ye
−x
.
Voiciunevuedelasurface(S)d’équationz=x
2
ye
−x
,avecx élémentdel’intervalle
[0; 5]et y élémentdel’intervalle[0; 10],dansunrepèreorthogonaldel’espace.
x
y
z
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

A

E
1. Déterminerparlecturegraphiquelemontantdesinvestissements etlavaleur
Nouvelle-Calédonie 20 novembre2004BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
delaproductionquipermettentd’obtenirunbénéficemaximalquandx ap-
partient à l’intervalle [0 ; 5] et y appartient à l’intervalle [0 ; 10]. Calculer la
valeurcorrespondantedecebénéfice.
2. a. Surlafigureci-dessus,onaplacélepoint A appartenantàlasurface(S),
ayantpourabscissexA=1etpourordonnéeyA=8.Calculerlatroisième
coordonnéezA dupoint A.
b. Surlafigureci-dessus,onaplacélepointE appartenantàlasurface(S),
ayantpourabscissexE =2etpourtroisièmecoordonnéezE=zA
.Calcu-
lerlavaleurexacte yE del’ordonnéedupointE.
3. Quelle estla naturedel’intersection dela surface(S)avec le pland’équation
x=1?Justifier.
Tracercetteintersection dansunplanmunid’unrepèreorthonormald’unité
graphique1cm,y appartenantàl’intervalle[0; 10].Déterminer,àl’europrès,
le montant en euros du bénéfice maximal réalisé par l’entreprise quand le
montantdesinvestissements estfixéà1milliond’euros.
4. D éterminer une équation de la courbe d’intersection de la surface (S) avec
lepland’équation y=10.Expliquer alorscommentretrouverlerésultatdela
question1.
EXERCICE 3 9points
Communàtouslescandidats
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle]2;+∞[par: f(x)=ln(2x−4).
Onappelle(C
f
)lacourbetracéeci-dessous,représentativede f dansunrepèreor-
thonormal.
1. a. Déterminer lim
x→+∞
f(x)etlim
x→2
f(x).Quepeut-onendéduirepourlacourbe
(C
f
)?
b. Étudier le sens de variation de f sur l’intervalle ]2 ; +∞[ et dresser son
tableaudevariations.
c. La courbe (C
f
) coupe l’axe des abscisses au point A. Quelles sont les
coordonnéesexactesde A?
d. Détermineruneéquationdeladroite(T)tangenteenAàlacourbe(C
f
).
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5
A
A

D
(T)
(T

)
C
g
C
f
2. Surlafigureci-dessus,onatracélacourbe(C
f
),lepoint A,ladroite(T)etla
droite(D)d’équation y=x.Parlasymétrieaxialed’axe(D),lacourbe(C
f
)se
Nouvelle-Calédonie 21 novembre2004BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
transforme enunecourbe(C
g
)représentative d’unefonction g définiedans
R.Onadmetque,pourtoutx réel, g(x)s’écritsouslaformeg(x)=a+be
x

a et b sont deux nombres réels. La courbe (C
g
) ainsi construite passe par le
point A

imagede A parlasymétried’axe(D).Deplus, lacourbe(C
g
)admet
au point A

une tangente (T

) qui est l’image dela droite(T) par la sym étrie
d’axe(D).
a. Donner,sansjustification,lecoefficientdirecteurdeladroite(T

).
b. Calculer a etb enjustifiantsoigneusementlescalculs.
c. Calculer l’ordonnéeexactedupointE appartenantà(C
g
)etayantpour
abscisse2.
d. Quelles sont les coordonnées du point E

image de E par la symétrie
d’axe(D)?
3. a. Calculerlavaleurexactede

2
0

2+
1
2
e
x

dx.
b. En déduire l’aireA, en unités d’aire, du domaine hachuré défini par la
courbe (C
g
), l’axe des ordonnées et la droite parallèle à l’axe des abs-
cissespassantparE.Ondemandelavaleurexactedurésultat.
c. Expliquer comment on peut en déduire, sans faire de calculs, la valeur
exactede

2+
1
2
e
2
5
2
f(x)dx.
Nouvelle-Calédonie 22 novembre2004[ BaccalauréatESPondichéry3avril2006\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
La courbe ci-contreC
f
est la repré-
sentation graphique d’une fonction
f définie, continue et dérivable sur

−∞;
5
2

.
Onnote f

sa fonctiondérivéeetF la
primitivede f quivérifie:F(1)=2e.
Onprécise:
• lim
x→−∞
f(x)=0etpourtout
x<0, f(x)>0.
• La tangente à la courbe au point
A(2;0)passeparlepointB

1; e
2

.
•F(−3)=
6
e
3
.
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6
C
f
A
B exp(2)
Pourchacunedeshuitaffirmations,précisezsurvotrecopiesielleestvraieoufausse
(aucunejustificationn’estdemandéeetiln’estpasnécessairederecopierl’énoncé).
Barème: Àchaque questionestattribué 0,5 point. Uneréponseinexacte enlève 0,25
point Une question sans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total est
négatifilestramenéàzéro.
Affirmation1 Affirmation5
Pourtoutx∈]−∞; 2], f

(x)>0.

2
0
f

(x)dx=−2
Affirmation2 Affirmation6
Lenombredérivéen2delafonction f estégalàe
2
. Lafonction
1
f
estdéfiniesur]−∞; 2].
Affirmation3 Affirmation7
LafonctionF présenteunmaximumen2. Lalimitedelafonction
1
f
en−∞est+∞.
Affirmation4 Affirmation8
L’airedelapartieduplancompriseentreC
f
,l’axe Lacourbereprésentativedelafonction
1
f
desabscisses,lesdroitesd’équationsx=−3etx=1 présenteuneasymptoted’équationx=2.
estégale(enunitéd’aire)à
2e
4
−6
e
3
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Pourpasserletemps,ChloéetMargauxinventent unjeuavecleurpaquetde32
cartesàjoueretunpaquetdebonbons.
Onrappelle que, dans un jeu de32 cartes, ontrouve quatrecouleurs (pique, trèfle,
cour, carreau) et, dans chaque couleur, on a une série de 8 cartes (7, 8, 9, 10, valet,
dame,roi,as).BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
Margauxproposelarèglesuivante:
• On tire une carte, on regarde si c’est un roi. Sans remettre la carte dans le
paquet,ontireunesecondecarteetonregardesic’estunroi.
• Si, sur les deux cartes, on a tiré exactement un roi, on gagne 10 bonbons; si
onatirédeuxrois,ongagne20bonbons;sinon,onaperdu!
Onnote:
R
1
l’évènement «tirerunroiaupremiertirage»etR
1
sonévènementcontraire,
R
2
l’évènement«tirerunroiaudeuxièmetirage»etR
2
sonévènementcontraire.
1. Justifierlesvaleursdesprobabilitéssuivantes:
P(R
1
)=
1
8
PR1
(R
2
)=
3
31
P
R1
(R
2
)=
4
31
.
2. On traduit le jeu par un arbrepondéré. Reproduirel’arbreci-dessous en ins-
crivantlesprobabilités,enécriturefractionnairesurchaquebranche.
R
1
R
2
R
2
R
1
R
2
R
2
Dans cequisuit,lesprobabilitésserontdonnéessousformedécimalearrondie
aumillième.
3. Calculerlaprobabilitédesévènements:
A«tirerunroiaupremiertirageetaudeuxièmetirage»;
B«tirerunroiàunseuldesdeuxtirages»
4. Ons’intéresseaunombreX debonbonsgagnésaprèsdeuxtirages.
RecopieretcompléterletableausuivantquidonnelaloideprobabilitédeX.
Nombredebonbonsx
i
0 10 20
P(X=x
i
) 0,226
5. Calculerl’espérancemathématiqueEdecetteloi,arrondieaudixième.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Pendant la saison estivale, deux sociétés de transport maritime ont l’exclusi-
vité de l’acheminement des touristes entre deux îles du Pacifique. On admet que
lenombredetouristestransportéspendantchaquesaisoneststable.
La société «Alizés» a établi une enquête statistique sur les années 2001 à 2005 afin
deprévoirl’évolutiondelacapacitéd’accueildesesnavires.
L’analyse desrésultats a conduit aumodèlesuivant :d’uneannée sur l’autre, la so-
ciété«Alizés»,notéeA,conserve80%desaclientèleetrécupère15%desclientsde
lasociétéconcurrente,notéeB.
Pourtoutentiernatureln,onnotepourlasaison(2005+n) :
• an
laprobabilitéqu’untouristeaitchoisilasociétéAlizés(A),
• bn
laprobabilitéqu’untouristeaitchoisil’autresociétédetransport(B),
Pondichéry 24 3avril2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
• Pn=(an bn
),lamatricetraduisantl’étatprobabiliste,avecan+bn=1.
Lesrésultatspourlesprobabilitésserontarrondiesà10
−4
.
1. a. Modéliserlechangementdesituationparungrapheprobabilistedesom-
metsnommésAetB.
b. Onnote M la matricedetransition decegraphe.Recopier etcompléter
surlacopielamatricesuivante:M=

0,8 ...
0,15 ...

c. En 2005, la société «Alizés» a transporté 45% des touristes. On a donc
a
0=0,45.
i. Calculer la probabilité qu’un touriste choisisse la société «Alizés»
en2006.
ii. DéterminerlamatriceP
2 etinterprétercesrésultats.
d. SoitP=(a b)aveca etb deuxréelspositifstelsquea+b=1.
i. Déterminer a etb telsqueP=P×M.
ii. Endéduire lim
n→+∞
an
.
iii. Interprétercerésultat.
e. On admet qu’en 2015, la probabilité qu’un touriste choisisse la société
A est
3
7
. On interroge quatre touristes choisis au hasard; les choix des
touristessontindépendantslesunsdesautres.
Determinerlaprobabilitéqu’aumoinsundesquatretouristeschoisisse
lasociété«Alizés»poursesvacancesen2015.
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
L’objectifdecetexerciceestdedémontrerlapropriétéalgébriquefondamen-
taledelafonctionlogarithmenépériennotéeIn.
Propriétéfondamentale:
Pourtousréelsstrictementpositifs a et b, ln(ab)=lna+lnb.
Rappels
On rappelle les résultats de cours suivants, auxquels le candidat fera claire-
mentréférencepourjustifierchacunedesesaffirmationsaucoursdesétapes
deladémonstration(onpourraenrappelerlenuméro).
Théorème 1 : Sur un intervalle I, deux primitives d’une même fonction dif-
fèrentd’uneconstante.
Théorème2:Soituunefonctiondéfinie,dérivableetstrictementpositivesur
unintervalleI,lafonctioncomposéedéfinieparxln[u(x)]estdérivablesur
I,defonctiondérivéex
u

(x)
u(x)
.
Théorème3: La somme f de deux fonctions dérivables u et v sur un même
intervalleIestdérivablesurIet f

=u

+v

.
Définitionln1=0.
Énoncédel’exercice
Soita unréelconstantstrictementpositif.
Onconsidèrelesfonctions f etg,delavariablex,définiessur0 ;+∞[par:
f(x)=ln(ax) et g(x)=lna+lnx.
Partie1
Danslecasoùa=2,donnerlesfonctionsdérivéesde f : xln(2x)et
g : xln2+lnx.
Partie2:démonstrationdelapropriété
Pondichéry 25 3avril2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
a. Calculer et comparer les dérivées de f et de g dans le cas général où a
estunréelconstantstrictementpositif.
b. Pourquoipeut-onaffirmerqu’ilexisteunréelk telque,pourtout
x∈]0;+∞[, f(x)=g(x)+k?
c. Enposant x=1,déterminerlavaleurdek.
d. Justifier la propriété fondamentale de la fonction ln énoncée en début
d’exercice.
EXERCICE 4 7points
Communàtouslescandidats
Partie1
Soientlesfonctions f etg définiessur[0;9]par
f(x)=
10
1+x
−1 et g(x)=
x
2
.
1. Résoudrealgébriquementl’équation: f(x)=g(x).
2. Calculerl’intégrale:I=

9
3
f(x)dx;ondonneralavaleurexactedeI.
Partie2
Un produit conditionné en
boite est mis sur le mar-
ché. On désigne par x le prix
d’une boîte de ce produit en
dizainesd’euros.
On admet que la quantité
achetée par les consomma-
teurs, en fonction du prix x
appliqué sur le marché, est
donnéepar f (x)encentaines
deboîtes.
On admet que la quantité
proposée sur le marché par
les producteurs, en fonction
duprix devente x auquel les
producteurs sont disposés à
vendre, est donnée par g(x)
encentainesdeboîtes.
Sur le graphique ci-contre,
sont tracées dans un repère
orthonormal les courbes re-
présentativesdesfonctions f
etg.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
E
y= f(x) y=g(x)
prix
quantités
1. On pourra utiliser le graphique pour conjecturer les réponses aux questions
suivantes,puisonlesjustifieraalgébriquement.
a. Combien de boîtes seront achetées par les consommateurs si le prix de
venteestde40euroslaboite?
b. Lorsquel’offreestégaleàlademande,lemarchéaatteintsonéquilibre.
Donner le prix d’équilibre, en euros, et le nombre de boîtes correspon-
dant.
Pondichéry 26 3avril2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
2. a. D’aprèslegraphique,lesproducteursétaientdisposésàvendrelesboîtes
à un prix inférieur au prix d’équilibre. On appelle surplus des produc-
teurs le gain réalisé en vendant les boîtes au prix d’équilibre. Ce gain
est donné en milliers d’euros par l’aire du triangle OAE (1 unité d’aire
=1millierd’euros).Calculercesurpluseneuros.
b. Le surplus des consommateurs est l’économie réalisée par les consom-
mateursquiétaientprêtsàpayerpluscherqueleprixd’équilibre.Cesur-
plus est donné, en milliers d’euros, par l’aire de la partie grisée du plan
surlegraphique(36x69).Préciserquelleintégralepermetdecalculer
cesurplusetendonnerl’arrondiàl’euro.
Pondichéry 27 3avril2006[BaccalauréatESAmériqueduNord31mai2006\
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
Questionnaireàchoixmultiples
Pourchaquequestion,uneseuledestroisréponsesestexacte.Ondemanded’indiquer
laréponseexacteencochantsansjustificationlagrilleréponsejointeenannexe.Pour
chaquequestion,uneréponseexacterapporte0,5point;uneréponseinexacteenlève
0,25 point; l’absence de réponse donne 0 point. Si le total des points de l’exercice est
négatif,lanoteestramenéeà0.
Questions Réponses
Q1 Sia∈]0; 1[alors
lim
x→+∞
a
x
estégaleà: 0 +∞ −∞
UneprimitivesurRde
Q2 lafonction xe
x
2
x2e
x
2
x
1
2
e
x
2
xxe
x
2
est:
Ladérivéesur]0 ;+∞[
Q3 delafonction x
1
x
xlnx xlnx+1
xxlnx est:
Q4 e
−2ln5
estégalà:
1
25
−25
5
2
Q5 L’équatione
x
=
16
e
x
admetsurR Aucunesolution Unesolution Deuxsolutions
L’ensembledes
Q6 solutionsde
l’inéquation

5
ln0,2
; 0

−∞;
5
ln0,2

5
ln0,2
;+∞

xln(0,2)−5>0est:
Dansles questions 7, 8, 9 et 10, A et B sont deux évènements d’un univers tels que
P(A)=0,4, P(B)=0,3etP(A∩B)=0,2.
Q7 P(A∪B)= 0,1 0,5 0,7
Q8 P

A∩B

= 0,1 0,2 0,4
Q9 P

A∩B

= 0,3 0,5 0,8
Q10 PA
(B)=
2
3
1
2
3
4
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsnesuivantpasl’enseignementdespécialité
Touslesrésultatsdecetexerciceserontarrondisà10
−2
près.
Unsite touristique dontle billet d’entrée coûte 4 €propose deuxpossibilités devi-
site, une visite à pied sans frais supplémentaire ou une visite en car avec frais sup-
plémentairesde3€parpersonne.
Unebuvetteestinstalléesurlesite.Onyvendunseultypedeboissonauprixde2€
l’unité.
Onsupposequ’àlabuvetteuntouristeachèteauplusuneboisson.
Untouristevisitelesite.Onaétablique:BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
• laprobabilitépourqu’ilvisiteàpiedest0,3;
• laprobabilitéqu’ilvisiteàpiedetachèteuneboissonest0,18;
• laprobabilitéqu’ilachèteuneboissonsachantqu’ilvisiteencarest0,8.
Onnote:
• Cl’évènement:«letouristevisiteencar»;
• l’évènement :«letouristeachèteuneboisson».
1. Donner p

C∩B

etp

C

.
2. Letouristevisiteàpied.Quelleestlaprobabilitéqu’ilachèteuneboisson?
3. a. Montrerquep(B)=0,74.
b. Endéduirelarecettemoyenneprévisibledelabuvettelorsd’unejournée
où1 000touristessontattendussurlesite.
4. Onappelled ladépense(entrée,transportéventuel,boissonéventuelle)asso-
ciéeàlavisitedutouriste.
a. Quellessontlesvaleurspossiblesded ?
b. Établir la loi de probabilité de d. On présentera le résultat dans un ta-
bleau.
c. Calculer l’espérance mathématique de cette loi. Quelle interprétation
peut-onendonner?
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatssuivantl’enseignementdespécialité
Dansuneentreprise,lorsd’unmouvement social,lepersonnelestamené àsepro-
noncerchaquejoursurl’opportunitéounondudéclenchementd’unegrève.
Lepremierjour,15%dupersonnelsouhaiteledéclenchementd’unegrève.Àpartir
decejour-là:
• parmiceuxquisouhaitent(edéclenchementd’unegrèveuncertainjour,35%
changentd’avislelendemain.
• parmi ceux qui ne souhaitent pas le déclenchement d’une grève un certain
jour,33%changentd’avislelendemain.
Onnote:
• gn
laprobabilitéqu’unmembredupersonnelsouhaiteledéclenchementd’une
grèvelejourn,
• tn
la probabilité qu’un membre du personnel ne souhaite pas le déclenche-
mentd’unegrèvelejourn,
• Pn=

gn
tn

,lamatricequitraduitl’étatprobabilisteaun-ièmejour.
1. Déterminerl’étatinitialP
1
.
2. a. Tracerungrapheprobabilistetraduisantlesdonnéesdel’énoncé.
b. DonnerlamatricedetransitionMassociéeàcegraphe.
3. Calculerlepourcentagedepersonnesfavorablesàlagrèvele3
er
jour.
4. SoitP=(x y)l’étatprobabilistestable(onrappellequex+y=1).
a. Montrerquex et y vérifientl’équation x=0,65x+0,33y.
b. Déterminer x et y (onarrondiralesrésultatsà10
−3
près).
c. Interpréterlerésultat.
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
Touslesrésultatsnumériquesserontarrondisàl’unitéprèssaufindicationcontraire.
AmériqueduNord 29 31mai2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
Unemachineestachetée3 000euros.
Leprixdereventey,expriméeneuros,estdonnéenfonctiondunombrex d’années
d’utilisationparletableausuivant:
x
i
0 1 2 3 4 5
y
i
3 000 2 400 1 920 1 536 1 229 983
AAjustementaffine
1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (x
i
; y
i
) dans un
repèreorthogonalduplan.Lesunitésgraphiquesserontde2cmpourunean-
néesurl’axedesabscissesetde1cmpour200eurossurl’axedesordonnées.
2. Calculerlepourcentagededépréciationduprixdereventeaprèslestroispre-
mièresannéesd’utilisation.
3. Danscette question, lescalculs effectués àla calculatriceneserontpas justi-
fiés.Donneruneéquationdeladroitederégressionde y en x obtenueparla
méthodedesmoindrescarrés.
Représenterladroitedanslerepèreprécédent.
BAjustementnonaffine
Onpose z=ln(y)etonadmetqu’uneéquation deladroitederégressionde z en x
estdonnéepar:z=−0,22x+8,01.
1. Détermineruneexpressionde y enfonctiondex delaforme y= A
x
×B où A
estunréelarrondiaucentièmeprèsetB estunréelarrondiàl’unitéprès.
2. Enadmettantquey=0,80
x
×3 011,détermineraprèscombiend’annéesd’uti-
lisationleprixdereventedevientinférieurouégalà500euros.
CComparaisondesajustements
Après6 années d’utilisation leprixderevented’une machine est de780 euros.Des
deux ajustements précédents, quel est celui qui semble le mieux estimer le prix de
reventeaprès6annéesd’utilisation? Onargumenteralaréponse.
EXERCICE 4 5points
Communàtouslescandidats
Soitunefonctionr définiesur[0;12]parr(x)=(900x)e
−0,1(x−2)
.
AÉtuded’unefonction f
1. Onconsidèrelafonction f définiesur]0;12]par f(x)=ln[r(x)].
Démontrerque f(x)=ln(900)+lnx−0,1(x−2).
2. Onnote f lafonctiondérivéede f ;démontrerque f

(x)=
10−x
10x
.
3. Étudierlesignede f

(x)pourtoutx de]0;12]puisdresserletableaudevaria-
tionsde fsur]0;12].
4. Ondésigneparr

lafonctiondérivéeder ;exprimer f

enfonctionder

etde
r puisjustifierquer

(x)et f

(x)ontlemêmesignepourtoutx de]0;12].
5. Endéduirelesvariationsder sur]0;12].
6. Déterminerpourquellevaleurx
0
lafonctionr atteintunmaximumetcalculer
x
0 arrondiàl’unitéprès.
BCalculdelavaleurmoyenne
1. Démontrer que la fonction R définie par R(x)=−9 000(x+10)e
−0,1(x−2)
est
uneprimitivedelafonctionr sur[0;12].
AmériqueduNord 30 31mai2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
2. Calculerlavaleurmoyennerm delafonctionr sur[0;12]définiepar
rm=
1
12

12
0
r(x)dx.
On donnera d’abord la valeur exacte et ensuite une valeur arrondie à 10
−2
près.
AmériqueduNord 31 31mai2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
Annexe-Documentréponseàrendreaveclacopie
Exercice1:questionnaireàchoixmultiples
Questions Réponses
Q1 Sia∈]0; 1[alors 0 +∞ −∞
lim
x→+∞
a
x
estégaleà:
UneprimitivesurRde
Q2 lafonction xe
x
2
x2e
x
2
x
1
2
e
x
2
xxe
x
2
est:
Ladérivéesur]0 ;+∞[
Q3 delafonction x
1
x
xlnx xlnx+1
xxlnx est:
Q4 e
−2ln5
estégalà:
1
25
−25
5
2

Q5 L’équatione
x
=
16
e
x
Aucunesolution Unesolution Deuxsolutions
admetsurR
L’ensembledes
Q6 solutionsde
l’inéquation

5
ln0,2
; 0

−∞;
5
ln0,2

5
ln0,2
;+∞

xln(0,2)−5>0est:
Danslesquestions7,8,9et10,AetBsontdeuxévènements d’ununiverstelsque
P(A)=0,4, P(B)=0,3etP(AC∩B)=0,2.
Q7 P(A∪B)= 0,1 0,5 0,7

Q8 P

A∩B

= 0,1 0,2 0,4

Q9 P

A∩B

= 0,3 0,5 0,8

Q10 PA
(B)=
2
3
1
2
3
4

AmériqueduNord 32 31mai2006[BaccalauréatESLibanmai2006\
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
LacourbeC donnéeci-dessousestlareprésentationgraphique,dansunrepère
orthonormal, d’une fonction f définie et dérivable sur ]−1 ; +∞[. On sait que la
fonction f estcroissantesur]−1; 1]etsur[3;+∞[etqueladroiteD estasymptote
àC en+∞.
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-2
-1
0
1
2
3
1
2
-1
-2
1 2 3 4 -1 -2
C
D
I.Étudegraphiquedelafonction f
Chaque question comporte trois affirmations, une seule des trois est exacte. In-
diquer sur votre copie le numéro de la question et recopier l’affirmation exacte sans
justifier votre choix. Une bonne réponse rapporte 0,5 point; une mauvaise réponse
retire0,25point;l’absencederéponsedonne0point.
1. UneasymptoteàC estladroited’équation:
• y=−1 • x=1 • x=−1
2. LadroiteD apouréquation:
• y=
5
2
x−10 • y=
5
2
x−9 • y=3x−10
3. Lenombredérivéde f en0est:
• 1 • 3 • −3
4. Lenombredesolutionsdel’équation f(x)=0sur]−1;+∞[est:
• 2 • 1 • 3
II.Étuded?unefonction g
Onnoteg lafonctiondéfiniesur]−1;+∞[parg(x)=exp[f(x)].
1. Déterminer lim
x→+∞
g(x),puis lim
x→−1
g(x).BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
2. Étudierlesvariationsdeg sur]−1;+∞[etendresserletableaudevariations.
3. Déterminer g

(1)etg

(0).
4. Déterminer, avec la précision permise par legraphique, l’ensemble dessolu-
tionssur]−1;+∞[del’inéquation g(x)6e
2
.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsnesuivantpasl’enseignementdespécialité
Laquestion6peutêtretraitéeindépendammentdes5autres.
Touslesrésultatsserontarrondisà10
−3
près.
Un pépiniériste conditionne un mélange de 400 bulbes de fleurs composé de trois
variétés:
• 100bulbesd’Anémones
• 180bulbesdeBégonias
• 120bulbesdeCrocus.
Onconviendraqu’unbulbegermes’ildonnenaissanceàuneplantequifleurit.
Aprèsavoirplantétouslesbulbesetobservéleurfloraison,onconstateque:
83%desbulbesgerment.
50%desbulbesd’Anémonesgerment.
90%desbulbesdeBégoniasgerment.
Onnotelesévènementssuivants:
– A:«lebulbeplantéestunbulbed’Anémone.»
– B:«lebulbeplantéestunbulbedeBégonias.»
– C:«lebulbeplantéestunbulbedeCrocus.»
– G:«lebulbeplantégerme.»
1. DonnerlesprobabilitésconditionnellesPA
(G),PB
(G)etlaprobabilitéP(G).
2. Quelleestlaprobabilitéqu’unbulbeplantésoitunbulbed’Anémonequigerme?
3. Quelle est la probabilité que le bulbe planté soit un bulbe qui germe ou soit
unbulbedeBégonias?
4. a. CalculerlaprobabilitéconditionnellePC
(G).
b. Quepeut-onendéduire?
5. On considère un bulbe ayant germé. Quelle est la probabilité que ce soit un
bulbedeCrocus?
6. Onconsidèreàprésentquelepépiniéristedisposed’untrèsgrandnombrede
bulbesetquelaprobabilitéqu’unbulbegermeestde0,83.IIprélèveauhasard
successivementtroisbulbesdecestock.Quelleestlaprobabilitéqu’aumoins
undestroisbulbeschoisisgerme?
Remarques:
1. Onpourras’aiderd’unarbredeprobabilité.
2. Onrappellelaformuledesprobabilitéstotales:siA
11,A
2
,...An
,formentune
partition de l’univers, alors la probabilité d’un évènement quelconque E est
donnéepar:p(E)=p(A
1∩E)+p(A
2∩E)+...+p(An∩E).
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
1. Dansunparc,ilyacinqbancsreliésentreeuxpardesallées.
Onmodéliselesbancsparlessommets A,B,C,D,Eetlesalléesparlesarêtes
dugrapheGci-dessous:
Liban 34 mai2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
A
B
C
D
E
GrapheG
a. Ondésirepeindrelesbancsdefaçonquedeuxbancsreliésparuneallée
soienttoujoursdecouleursdifférentes.
Donnerunencadrementdunombreminimaldecouleursnécessaireset
justifier.
Déterminercenombre.
b. Est-il possible deparcourirtoutes les allées deceparc sanspasser deux
foisparlamêmeallée?
2. Uneexpositionestorganiséedansleparc.Lafréquentationdevenanttropim-
portante, on décide d’instaurer un plan de circulation : certaines allées de-
viennent à sens unique, d’autres restent à double sens. Par exemple la circu-
lationdansl’alléesituéeentrelesbancsBetCpourrasefairedeBversCetde
C vers B, alors que la circulation dans l’allée située entre les bancs A et B ne
pourra se faire que de A vers B. Le graphe G

ci-dessous modélise cette nou-
vellesituation:
A
B
C
D
E
GrapheG

a. DonnerlamatriceMassociéeaugrapheG

.(Onordonneralessommets
parordrealphabétique).
b. OndonneM
5
=






1 6 9 6 10
4 5 7 11 5
4 6 6 11 5
1 5 10 6 10
6 5 5 14 2






Combien y a-t-il de chemins de longueur 5 permettant de se rendredu
sommetDausommetB?
Lesdonnertous.
Liban 35 mai2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
c. Montrer qu’il existe un seul cycle de longueur 5 passant par le sommet
A.
Quelestcecycle?
Enest-ildemêmepourlesommetB?
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
Saufindicationcontraire,onarrondiralesrésultatsà10
−2
près.
Letauxdepénétrationdutéléphonemobiledanslapopulationfrançaiseindiquele
pourcentage de personnes équipées d’un téléphone mobile par rapport à la popu-
lationtotale.
Le tableau ci-dessous donne, entre 1998 et 2004, l’évolution de la population fran-
çaiseetdutauxdepénétration.
Année 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Rang x
i del’année 1 2 3 4 5 6 7
Populationfrançaise
enmillions 60,05 60,32 60,67 61,04 61,43 61,80 62,18
Tauxdepénétration y
i
18,7 34,2 48,9 60,6 62,8 67,5 71,6
(Source:sitedel’INSEE)
1. a. Calculer le nombre,en millions, depersonnes équipées d’un téléphone
mobileen1999eten2004.
b. Entre ces deux années quel est le pourcentage d’augmentation du taux
depénétration?
2. Placerdansunrepèreorthogonallenuagedepointsdecoordonnées

x
i
; y
i

:
les unités graphiques sont de 2 cm pour une année sur l’axe des abscisses et
de1cmpour10%surl’axedesordonnées.
3. L’allure du nuage suggère de chercher un ajustement de y en x de la forme :
y=aln(x)+b oùa etb sontdesréels.Onposepourcelaz=ln(x).
a. Recopieretcompléterletableau:
x
i
1 2 3 4 5 6 7
z
i
0
Tauxdepénétration
y
i
18,7 34,2 48,9 60,6 62,8 67,5 71,6
b. Endéterminantavecla calculatriceuneéquation deladroitederégres-
sion de y en z, obtenue par la méthode des moindres carrés, donner la
valeurapprochéedécimaleà10
−2
prèspardéfautdescoefficientsaetb.
4. Enadmettantquecetajustementrestefiableàmoyenterme:
a. Déterminerletauxdepénétrationen2006quel’onpeutalorsenvisager.
b. À partir de quelle année peut-on penser que le taux de pénétration dé-
passera85%?
EXERCICE 4 5points
Communàtouslescandidats
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle[4;20]parf(x)=(x−4)e
−0,25x+5
.
Lacourbe(C)ci-dessousreprésentecettefonctiondansunrepèreorthogonal.
Liban 36 mai2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
60
65
70
75
80
85
90
95
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
(C)
PartieA:
1. Montrerque,pourtoutx del’intervalle[4;20], f

(x)=(−0,25x+2)e
−0,25x+5
.
2. Endéduirelesensdevariationde f etdresserletableaudevariationsde f sur
l’intervalle[4;20].
3. a. MontrerquelafonctionF définieparF(x)=−4xe
−0,25x+5
estuneprimi-
tivede f surl’intervalle[4;20].
b. Calculerl’intégrale

20
4
f(x)dx.
PartieB:
Uneentreprisecommercialisedescentralesd’aspiration.
Leprixderevientd’unecentraleestde400€.
Onsupposequelenombred’acheteursd’unecentraleestdonnépar N=e
−0,25x+5
,
oùx estleprixdevented’unecentraleexpriméencentainesd’euros.
1. Montrerquelafonction f dela partieAdonnelebénéficeréaliséparl’entre-
prise,encentainesd’euros.
2. Àquelprixl’entreprisedoit-ellevendreunecentralepourréaliserunbénéfice
maximal? Quelestcebénéficemaximalàl’europrès?Donneruninterpréta-
tiongraphiquedecesrésultats.
3. Calculer le bénéfice moyen réalisé pour x∈[4 ; 20]. On donnera le résultat à
l’europrès.
Liban 37 mai2006[BaccalauréatESAntilles–Guyanejuin2006\
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
Leconservatoiredulittoral crééen1976 acquiertdesterrainssurlelittoralfrançais
(métropole, Antilles-Guyane). Voici les superficies en milliers d’hectares du patri-
moinecumulédepuissacréation:
Année 1976 1981 1986 1991 1996 2001
Rang x
i
1 2 3 4 5 6
Superficie y
i
(enmilliersd’hectares) 2 16 28 38 50 65
1. Calculerlepourcentaged’augmentationdelasuperficiepossédéeparleconser-
vatoiredulittoralentre1991et2001.Ondonneralerésultatarrondiàl’unité.
2. Représenter le nuage de points associé à la série

x
i
; y
i

dans un repère or-
thogonal:
– Surl’axedesabscisses,onprendra2cmpourunité;
– Surl’axedesordonnées,onprendra1cmpour5milliersd’hectares.
3. Danscettequestion,lescalculseffectuésàlacalculatriceneserontpasjustifiés.
Lenuagedepointspermetdepenserqu’unajustementaffineestjustifié.
a. DonneruneéquationdeladroitederégressionDdey enx,obtenuepar
laméthodedesmoindrescarrés(arrondirlescoefficientsaudixième)
b. Représentercettedroitedanslerepèreprécédent.
4. Aveccetajustement,calculerl’estimationdelasuperficiedupatrimoinepos-
sédéparleconservatoiredulittoralen2006(enmilliersd’hectares).
5. a. Le conservatoire du littoral a pour objectif de posséder une superficie
de 200 milliers d’hectares. En quelle année ce chiffre sera-t-il atteint en
utilisantcetajustement?
b. Sachant que 200 milliers d’hectares représentent 22% de bande côtière
française, quelle est la superficie totale, en hectares de la bande côtière
française.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Touslesrésultatsserontarrondisaumillièmesinécessaire
Dans une auto-école, il y a deux filières possibles : l’apprentissage anticipé de la
conduite(AAC)etlafilièretraditionnelle.
Afind’inciterlescandidatsàpréparerl’examendupermisdeconduireaveclafilière
«apprentissage anticipé dela conduite» (AAC),uneauto-école fournit lesrésultats
suivantsauxfuturscandidats:
– Ilya40%descandidatsquichoisissentlaformuleAAC;
– UncandidatpréparantsonpermislafilièreAACobtientsonpermislorsdela
premièreprésentationdans79%descas;
– Un candidat préparant son permis avec la filière traditionnelle obtient son
permislorsdelapremièreprésentationdans49%descas.
On interroge au hasard un candidat aprèsl’obtentiondu résultat de sa première-
présentation.
OnnoteAl’évènement:«lecandidatapréparésonexamenaveclafilièreAAC».
OnnoteSl’évènement :«lecandidataobtenusonpermisdeconduire».BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
1. Traduirelesdonnéesparunarbrepondéré.
2. a. Calculer laprobabilitédel’évènement :«lecandidataobtenulepermis
lorsdelapremièreprésentationetill’apréparéaveclafilièreAAC».
b. Calculer la probabilité d’obtenir le permis de conduire lors de la pre-
mièreprésentation.
3. Lecandidatinterrogéaéchouélorsdelapremièreprésentation. Quelleestla
probabilitéqu’ilaitpréparél’examenaveclafilièreAAC?
4. On interroge au hasard et de façon indépendante trois candidats après l’ob-
tentiondurésultatdeleurpremièreprésentation.
Calculerlaprobabilitéd’interrogeraumoinsuncandidatayantéchoué.
5. Cetteauto-écolepratiquelestarifssuivants:
– 1 200€leforfait20heuresaveclafilièreAAC;
– 1 050€leforfait20heuresaveclafilièretraditionnelle.
Sachantquelenombred’inscritsestde200candidatspourl’année,quelestle
chiffred’affairesannueldecetteauto-écolepourl’année2006?
EXERCICE 2 5points
Pourlesélèvesayantsuivilaspécialitémathématique
Unjardinier doitdécorerun jardinprivatif enrépartissant 10 variétésdefleurs no-
tées V
1 à V
10 dans différents parterres. Certaines de ces variétés ne peuvent pas
être plantées ensemble pour des raisons diverses (tailles, couleurs, conditions cli-
matiques,...)etcesincompatibilitéssontrésuméesdansletableauci-dessous(une
croixindiquequ’ilyaincompatibilitéentredeuxvariétés).
Fleur V
1 V
2 V
3 V
4 V
5 V
6 V
7 V
8 V
9 V
10
V
1 × × ×
V
2 × × × ×
V
3 × × × ×
V
4 × × × × ×
V
5 × × × ×
V
6 × × ×
V
7 × ×
V
8 × × ×
V
9 × ×
V
10 × ×
1. ReprésenterparsongrapheGlasituation
2. a. Trouverunsous-graphecompletd’ordre4etledessiner.
b. Quepeut-onendéduirepourlacolorationdugrapheG?
Quelestlenombreminimumdeparterresquelejardinierdoitdécorer?
3. a. ClasserlessommetsdeGparordrededegrédécroissant.
b. EndéduireunencadrementdeC,nombrechromatiquedeG.
4. a. ProcéderàlacolorationdugrapheG.
b. Quepeut-onendéduirepourlenombreC ?Justifieravecsoin.
c. Proposerunensembledeparterresavecunerépartitionadaptéedesva-
riétésdefleurs.
Antilles-Guyane 39 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des huit ques-
tions,troisréponsessontproposées,uneseuledecesréponsesconvient.
Indiquersurvotrecopielenumérodelaquestionetrecopierlaréponsequevous
jugezconvenir,sansjustifiervotrechoix
Barème : Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25
point. Unequestion sans réponsene rapporteni n’enlève aucunpoint. Sile total des
pointsestnégatiflanoteattribuéeàl’exerciceestramenéeà 0.
Antilles-Guyane 40 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
Question Réponse
1. Parmi les propositions suivantes,
quelleestcellequipermetd’affirmerque
la fonction exponentielle admet pour
asymptoteladroited’équation y=0?
• lim
x→+∞
e
x
=+∞
• lim
x→−∞
e
x
=0
• lim
x→+∞
e
x
x
=+∞
2. Parmi les propositions suivantes,
quelleestcellequipermetd’affirmerque
l’inéquation ln(2x+1)> ln(x+3) admet
l’intervalle [2;+∞[commeensemble de
solution?
• lafonctionlnestpositivesur[1;+∞[
• lim
x→+∞
lnx=+∞
• la fonction ln est croissante sur
]0;+∞[
3.Parmilespropositionssuivantesquelle
est celle qui permet d’affirmer qu’une
primitive de la fonction f définie sur
R par x (x + 1)e
x
est la fonction
g : x x e
x
?
• pourtoutréelx, f

(x)=g(x)
• pourtoutréelx, g

(x)= f(x)
• pourtoutréelx, g(x)= f

(x)+k, k réel
quelconque.
4.L’équation2e
2x
−3e
x
+1=0admetpour
ensemblesolution

1
2
; 1

0; ln
1
2

• {0; ln2}
5.Pourtoutn∈N,
• lim
x→+∞
e
x
x
n
=1
• lim
x→+∞
e
x
x
n
=+∞
• lim
x→+∞
e
x
x
n
=0
6. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[
parf(x)=2lnx−3x+4. Dans un repère,
une équation de la tangente à la courbe
représentative de f au point d’abscisse 1
est:
• y=−x+2
• y=x+2
• y=−x−2
7.Lavaleurmoyennesur[1;3]delafonc-
tion f définiepar: f(x)=x
2
+2x est: •
50
3

25
3
• 6
8.exp(lnx)=x pourtoutx appartenantà
• R
• ]0;+∞[
• [0 ;+∞[
EXERCICE 4 6points
Communàtouslescandidats
Une nouvelle console dejeux est mise sur le marché. Soit x le prixunitaire en cen-
taines d’euros de cette console. La fonction d’offre des fournisseurs (en milliers de
console)estlafonction f définiesur]0;6]par
f(x)=0,7e
0,5x+2
Antilles-Guyane 41 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
où f(x)estlaquantitéproposéeparlesfournisseurspourunprixunitairedex.
Lafonctiondedemandedesconsommateurs(enmilliersdeconsole)estlafonction
g définiesur]0;6]par
g(x)=10ln

20
x

où g(x) est la quantité demandée par les consommateurs pour un prix unitaire de
x.
1. LescourbesreprésentativesC
f
etC
g desfonctions f etg sonttracéesdansle
repère

O,
− →
ı ,
− →

orthogonalfournienannexe.
a. IdentifierlescourbesC
f
etC
g
surlafeuilleannexe.Expliquezvotrechoix.
b. QuereprésentelepointAd’unpointdevueéconomique?Liresescoor-
données

xA
; yA

surlegraphique.
2. Pour déterminer les coordonnées de A de façon précise, on est amené à ré-
soudrel’équation f(x)=g(x).
Onpose,pourtoutx appartenantà]0;6],h(x)= f(x)−g(x).
a. Montrerqueh

(x)=0,35e
0,5x+2

10
x
.
b. Étudierlesignedeladérivéeh

etendéduirelesensdevariationsdeh.
c. Démontrer que l’équation h(x)= 0 admet une solution unique x
1
sur
l’intervalle[2; 3].
Détermineralorslavaleurarrondieaudixièmedex
1 àl’aidedelacalcu-
latrice.
d. En déduire le prix unitaire d’équilibre de cette console en euros et le
nombredeconsolesdisponiblesàceprix(arrondiràlacentaine).
Laquestion3estindépendantedelaquestion2.
3. Surplusdesfournisseurs
Onprendradanscettequestion xA=2,7et yA=20.
a. DétermineruneprimitiveF de f surl’intervalle]0;6].
b. OnappellesurplusdesfournisseurslenombreS=xAyA−

xA
0
f(x)dx.
Cenombrereprésenteuneaire.
Représentercetteairesurlegraphiquedelafeuilleannexe.
CalculerS.
Antilles-Guyane 42 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
Annexeàagraferaveclacopie
Exercice4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 1 2 3 4 5
A
x
y
Antilles-Guyane 43 juin2006SujetdubacTES Asie
Exercice1 3points Communàtouslescandidats
Soit f lafonctiondéfiniesurRpar:
f(x)=e
−x
−1
La courbe (C) donnée est la représentation graphique de la fonction f dans le
planmunid’unrepèreorthonormal.
Onnote f

lafonctiondérivéedelafonction f surR.
OnnoteF laprimitivedelafonction f surRtellequeF(0)=0.
Pourchacunedesaffirmationssuivantes,indiquersil’affirmationestvraieoufausse.
Aucunejustificationn’estdemandée.
Unebonneréponserapporte0,5point.Unemauvaiseréponseenlève0,25point.L’ab-
sencederéponsenerapportenin’enlèveaucunpoint.
Siletotaldespointsestnégatiflanoteglobaleattribuéeàl’exerciceest 0.
a. f(ln(2))=−3.
b. lim
x→+∞
f(x)=−1.
c. Pourtoutnombreréelx,ona f

(x)=e
−x
.
d.

0
−1
f(x)dx>1.
e. LafonctionF estcroissantesurl’intervalle[−1; 0].
f. Pourtoutnombreréelx,onaF(x)=1−e
−x
−x.
Exercice 2 5 points (pour les candidats n’ayant pas choisi l’enseigne-
mentdespécialité)
Le tableau suivant donne l’évolution du profit annuel d’une entreprise de l’an-
née1999àl’année2005.
Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Rangdel’année(x
i
) 1 2 3 4 5 6 7
Profitannuelen 1,26 1,98 2,28 2,62 2,84 3,00 3,20
millionsd’euros(y
i
)
1. Construire lenuage depoints associé à la série(x
i
; y
i
) danslerepèreortho-
gonalreprésentéci-dessous.BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
Rangdel’année
Profitannuelenmillionsd’euros.
2. La forme du nuage suggère un ajustement logarithmique. On décide donc
d’étudier la série (x
i
; z
i
), où z
i = e
y
i
. Recopier et compléter le tableau ci-
dessousparlesvaleursdécimalesarrondiesaucentième.
x
i
1 2 3 4 5 6 7
z
i =e
y
i
3,53 13,74 17,12 20,09 24,53
3. Donnerl’équationdeladroitederégressiondez enxobtenueparlaméthode
desmoindrescarrés.Lesrésultatsobtenusàlacalculatriceserontarrondisau
centième(aveccesarrondis,onobtientuneéquationdelaformez=ax).
4. En déduire que la courbe d’équation y = ln(x)+1,23 approche le nuage de
points.
5. Onsupposequel’évolutionduprofitannuelsepoursuitsuivantcemodèle.
a. Calculerleprofitannuel,expriméenmillionsd’euros,attendupourl’an-
née2008(donnerlavaleurdécimalearrondieaucentième).
b. Déterminer à partir de quelle année le profit annuel initial (c’est à dire
celuidel’année1999)auraaumoinstriplé.
Exercice2 5points (pourlescandidatsayantchoisil’enseignementde
spécialité)
L’espaceestrapportéàunrepèreorthogonal.
x
z
y
O
Onareprésentéci-dessouslasurface(S)d’équation z=3(x
2
+y),avecx appar-
tenantàl’intervalle[0; 1,5],et y appartenantàl’intervalle[0;1,5].
Asie 45 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
x
y
z
0
2
4
6
8
10
12
0
0,5
1
1,5
0
0,5
1
1,5
PartieA-Exploitationdugraphique.
Onconsidèreleplan(P)d’équation z=6.
1. Surlafiguredonnée,placerlepoint A decoordonnées(1;1;6).
2. Surlignez en couleur la partie visible de l’intersection de la surface (S) et du
plan(P)surlafiguredonnée.
PartieB-Recherched’uncoûtminimum.
Une entreprise fabrique des unités centrales pour ordinateurs dont les compo-
santssontessentiellement descartesmèresetdesmicroprocesseurs.
Onappellex lenombre(expriméenmilliers)demicroprocesseursproduitschaque
moiset y lenombre(expriméenmilliers)decartesmèresproduiteschaquemois.
Lecoûtmensueldeproduction,expriméenmilliersd’euros,estdonnépar:
C(x ; y)=3

x
2
+y

On se propose de trouver les quantités de microprocesseurs et de cartes mères
quel’entreprisedoitproduireparmoispourminimisercecoût.
1. Laproductionmensuelletotaleestdedeuxmilliersdecomposants.Onadonc
x+y=2.
ExprimerC(x ; y)enfonctiondelaseulevariablex.
Onnote f lafonctionainsiobtenue.
Vérifierque f(x)=3x
2
−3x+6.
Asie 46 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
2. Montrerquesurl’intervalle[0; 1,5],lafonction f admetunminimumatteint
pour x=0,5.
3. Quelles quantités de microprocesseurs et de cartes mères, l’entreprise doit-
elle produire chaque mois pour minimiser le coût mensuel de production?
Quelestcecoût?
4. PlacersurlafiguredonnéelepointK correspondantaucoûtminimum.
Exercice3 5points Communàtouslescandidats
UnerouedeloteriecomportetroissecteursnotésA,betC.
Onlancelaroue,elletournepuiss’arrêtedevantunrepèrefixe.
Lemécanismeestconçudetellesorteque,àl’arrêtdelaroue,lerepèrefixesetrouve
toujoursdevantl’undestroissecteurs,quiestalorsdéclaré«secteursrepéré».
Onnotep
1
laprobabilitéquelesecteurAsoitrepéré.Ondonnep
1=0,2.
Onnotep
2
laprobabilitéquelesecteurBsoitrepéré.Ondonnep
2=0,3.
1. Calculerlaprobabilité,notéep
3
,quelesecteurC soitrepéré.
Une partie consiste à lancer la route de fois successivement. On s’intéresse
auxcouplesdesecteursrepérésobtenusàlasuitedesdeuxlancerssuccessifs.
Onadmetqueleslancersderouessuccessifssontindépendants.
2. Justifier que la probabilité d’obtenir le couple de secteurs repérés (A, B) est
égaleà0,06.
3. Compléterletableausuivantparlesprobabilitésd’obtenirlesdifférentscouples
desecteursrepéréspossibles.
Certainesprobabilitéssontdéjàindiquées,ainsilaprobabilitédetenirlecouple
(C,C)estégaleà0,25.
Secteurrepéréaupremierlancer A B C
A 0,04
B 0,06
C 0,25
4. Montrerquelaprobabilitédeteniruncoupledesecteursrepérésnecompor-
tantpaslesecteurCestégaleà0,25.
5. De l’argent est mis en jeu dans cette partie. Le gain dépend du nombre de
secteursCrepérés:
• obtenirdeuxfoislesecteurCfaitgagnerhuiteuros;
• obtenirexactementunefoislesecteurCfaitgagneruneuro;
• d’obteniraucunsecteurCfaitperdredixeuros.
a. Recopiersurlacopieetcompléterletableausuivant:
Gain(eneuros) -10 1 8
Probabilité 0,25
b. Calculerlecasmoyenquel’onpeutespéreràcejeu.Interprétercerésul-
tat.
Exercice4 7points Communàtouslescandidats
Onconsidèrelesfonctions f etg définitionintervalle[0;+∞[par:
f(x)=e
x
−1 et g(x)=
3
e
x
+1
Lesfonctions f etg sontdérivablessurl’intervalle[0;+∞[.
Leplanestrapportéunrepèreorthonormal

O,
− →
ı ,
− →

.
1. Lafonction f estreprésentéeparlacourbeC figurantci-dessous.
Asie 47 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
-1 0 1 2 3 4
-1
0
1
2
3
4
5
x
y
y=e
x
−1
C
a. Donner une équation de la tangente T cette courbe au point O origine
durepère.
b. TracerladroiteTdanslerepèredonné
2. étudedelafonctiong
a. Calculer g(0).
b. Déterminerlalimitedelafonction g en+∞.Endonneruneinterpréta-
tiongraphique.
c. Étudier les variations de la fonction gestion sur l’intervalle [0 ; +∞[ et
dressersontableaudevariations.
d. Tracerlareprésentationgraphiquedelafonctiong danslerepèredonné.
3. La lecture graphique montre que l’équation f(x)= g(x) admet dans l’inter-
valle[0;+∞[uniquesolution,notéem.
a. Fairefigurersurlegraphiquelepointdecoordonnées(m ; f(m)).
b. Prouver,parlecalcul,quem=ln(2).
4. Onconsidèrelenombresuivant:
A =

ln(2)
0
g(x)dx
a. Surlegraphiqueprécédent,hachurerledomainedontl’aire,enenunités
d’aires,estégaleàA.
Asie 48 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
b. SoitlafonctionvéritableG définiesurl’intervalle[0;+∞[par:
G(x)=3x−3ln

e
x
+1

Montrer que la fonctionG est une primitive dela fonction g sur l’inter-
valle[0;+∞[.
c. CalculerA.
Asie 49 juin2006[BaccalauréatESCentresétrangersjuin2006\
EXERCICE 1 3points
Communàtouslescandidats
Questionnaireàchoixmultiples
Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. On demanda d’indi-
quer la ppnse exacte en cochant sans justification la grille réponse jointe en annexe
àrendreaveclacopie.Unebonneréponserapporté 0,5point;unemauvaiseréponse
enlève0,25point;l’absencederéponsedonne0point.Siletotaldespointsestnégatif,
lanoteglobaleattribuéeest 0.
Soit f unefonctiondéfinieetdérivablesurl’intervalle]−5;+∞[dontletableaude
variationsestdonnéci-dessous:
x −5 −1 0 2 +∞
f(x)
−∞
−3
−5
4
−4.5
OndésigneparC lacourbereprésentativede f.
1. Surl’intervalle]−5;+∞[,l’équation f(x)=−2
• admetuneseulesolution
• admetdeuxsolutions
• admetquatresolutions.
2. Surl’intervalle]−5;+∞[lacourbeC :
• admetuneseuleasymptoteladroited’équation x=−5
• admetexactementdeuxasymptotes,lesdroitesd’équations x=−4,5et
y=−5
• admetexactementdeuxasymptotes,lesdroitesd’équations y=−4,5et
x=−5.
3. Onsaitque f

(2)=0.L’équationdelatangenteàC aupointd’abscisse2est:
• y=4
• y=4(x−2)
• x=4.
4. On sait que l’équation de la tangente àC au point de coordonnées (1; 2) est
y=3x−1.Ona:
• f(2)=1
• f

(1)=−1
• f

(1)=3.
5. Surl’intervalle]2;+∞[,lafonctiong définiepar g(x)=e
−f(x)
• estcroissante
• estdécroissante
• n’estpasmonotone.
6. Onposeh(x)=ln

f(x)+5

.Alorslafonctionh :
• estdécroissantesur]2;+∞[;
• estpositivesur]2;+∞[
• n’estpasdéfiniesur]2;+∞[.BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsnesuivantpasl’enseignementdespécialité
Lesrésultatsserontarrondisâ10
−3
près.
Unmuséetrèsfréquentéproposeàlaventetroissortesdebillets:
– auprixde5€unbilletpourvisiteruniquementlefondspermanentdescollec-
tions;
– auprixde3€unbilletpourvisiteruniquementuneexpositiontemporaire;
– auprixde6 €un billet pour visiter lefonds permanent et l’exposition tempo-
raire.
Onsaitque:
– 85%desvisiteursvisitentlefondspermanent
– 35%desvisiteursvisitentl’expositiontemporaire.
Unvisiteurseprésenteàl’entréedumuséeetachèteunbilletOnconsidèrelesévè-
nements suivants :F:«Levisiteur achète unbillet à 5 €» E:«Le visiteur achèteun
billetà3€»M:«Levisiteurachèteunbilletà6€».
1. a. Établirquep(M)=0,2; p(F)=0,65etp(E)=0,15.
b. Calculerleprixdeventemoyend’unbillet.
Lemuséeproposeàlaventeuncataloguesurl’expositiontemporaire.
Onsaitque:
– 35% despersonnes qui ne visitent que l’exposition temporaire achètent le
catalogue.
– 25% despersonnes qui visitent le fonds permanent et l’exposition tempo-
raireachètentlecatalogue.
– 97%desvisiteursduseulfondspermanentn’achètentpaslecatalogue.
Onconsidèrel’évènement C:«Levisiteurachètelecatalogue»
2. Démontrerquep(C)=0,122(onpourras’aiderd’unarbre).
3. Unvisiteur aachetélecatalogue.Quelleestlaprobabilitéqu’iln’aitpasvisité
l’exposition temporaire?
4. Quelle est la probabilité que, parmi trois visiteurs du musée venus indépen-
dammentlesunsdesautres,aumoinsunn’aitpasachetélecatalogue?
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatssuivantl’enseignementdespécialité
Lesquestions1et2peuventêtretraitéesdefaçonindépendante.
1. Dansunerégion,onconsidèretroistypesdetemps:beau,variable,pluvieux.
Onsaitque:
– S’ilfaitbeauunjourdonné,laprobabilitéqu’ilfassebeaulelendemainest
1
3
etlaprobabilitéqu’ilpleuveest
1
6
– Siletemps est variable,la probabilitéqu’ilsoitvariablelelendemain est
1
4
etlaprobabilitéqu’ilpleuveest
1
2
– S’ilpleut,laprobabilitéqu’ilpleuvelelendemainest
1
4
etlaprobabilitéqu’il
fassebeauest
1
2
Onnote
– B:«letempsestbeau»;
– V:«letempsestvariable»;
– P:«letempsestpluvieux».
a. Représenterlasituationparungrapheprobabiliste.
b. Donnerlamatricedetransitiondecegraphe.LessommetsB,V,Pseront
rangésdanscetordre.
Centresétrangers 51 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
c. Pour tout entier naturel n, l’état probabiliste dans n jours est défini par
la matrice ligne Pn =

bn vn pn

où bn désigne la probabilité qu’il fasse
beau dans n jours, vn
la probabilité que le temps soit variable dans n
joursetpn
laprobabilitéqu’ilpleuvedansn jours.
Aujourd’huiilfaitbeau,onadoncP
0
(100)matricelignedécrivantl’état
initial.
Déterminerlaprobabilitédechaquetypedetempsdans2jours.
2. Dansuneautrerégion,onnoteB:«ilfaitbeau»B:«ilnefaitpasbeau».
Lesvariationsdutempssontreprésentéesparlegraphesuivant:
B B
2
3
3
4
1
3
1
4
a. DonnerlamatricedetransitionT decegraphe.
b. SoitQ=(x y)avecx+y=1.
Déterminer x et y telsqueQ=QT etinterpréterlerésultat.
EXERCICE 3 6points
Communàtouslescandidats
Ondésignepar f lafonctiondéfiniesur[0;5]par
f(x)=1−x+2lnx.
LacourbeC donnéeci-dessousestlareprésentationgraphiquede f dansunrepère
orthogonal(unites:2cmsurl’axedesabscisseset5cmsurl’axedesordonnées).
1. Calculerlalimitede f en0.
2. Calculer f

(x)etétudierlesvariationsde f.
Dresserletableaudesvariationsde f.
3. a. Calculer f(1).
b. Justifier que l’équation f(x)=0 admet sur [3; 4] une solution unique α
puisdonnerunevaleurapprochéeà10
−2
prèspardéfautdeα.
c. Endéduirelesignede f(x)suivantlesvaleursdex.
4. Onappelle g lafonctiondéfiniesur]0;5]par
g(x)=x


1
2
x+2lnx−1

.
a. Montrerqueg estuneprimitivede f sur]0;5].
b. Surlegraphiqueci-dessous,onconsidèreledomainelimitéparl’axedes
abscissesetlapartiedelacourbeC situéeau-dessusdecetaxe.Montrer
quel’airedecedomaineestégaleenunitésd’aire,àg(α)−g(1).
c. Calculerunevaleurapprochéedel’aireA expriméeencm
2
.Onutilisera
lavaleurapprochéedeαtrouvéeau3.b.
Centresétrangers 52 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
-1
1 2 3 4 5
x
y
C
O
EXERCICE 4 5points
Communàtouslescandidats
Lesrésultatsserontarrondisà10
−2
près
Letableauci-dessousdonnelePIBdelaChine.enmilliardsdedollars,entre1982et
2002.
Année 1982 1986 1990 1994 1998 2002
Rangx
i del’année 0 4 8 12 16 20
PIB y
i
280 300 384 546 945 1232
(LeMondedu26/01/2004)
1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique

x
i
; y
i

dans un
repère orthogonal du plan. Les unités graphiques seront de 1 cm pour deux
annéessurl’axedesabscissesetde1cmpour100milliardsdedollarssurl’axe
desordonnées.
2. a. Déterminerl’équationdeladroited’ajustementaffinedey enxobtenue
parlaméthodedesmoindrescarrés.
b. Tracercettedroitesurlegraphique.
c. Aveccetajustement, estimer graphiquement etparlecalcullePIBdela
Chineen2004.Commenterlerésultatobtenu.
3. Onenvisagedansceltequestionunajustementexponentiel.
Enposantz=lny onobtientunedroited’ajustementdez enx d’équation
z=0,08x+5,46.
a. Onseproposededétermineralors y enfonctiondex souslaforme
y=αe
βx
oùαetβsontdeuxréels.
Montrerque y=235,10e
0,08x
.
b. Tracersurlegraphiquelacourbed’équation y=235,10e
0,08x
,pour
x∈[0 ; 24].
c. Aveccetajustement,estimergraphiquementetparlecalcul,lePIBdela
Chineen2004.
4. LePIBdela Chinepour 2004 étaitde1 650 milliardsdedollars(Sourceinter-
net).
Calculer en pourcentage par rapport à la valeur réelle, les erreurs commises
enprenantcommePIBlesestimationsobtenuesauxquestions2et3.
Centresétrangers 53 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
Annexe–Documentréponseàrendreaveclacopie
Exercice1-Communàtouslescandidats
Necocherqu’uneseuleréponseparquestion
1. Surl’intervalle]−5;+∞[,l’équation f(x)=−2
admetuneseulesolution
admetdeuxsolutions
admetquatresolutions.
2. Surl’intervalle]−5;+∞[lacourbeC :
admetuneseuleasymptoteladroited’équation x=−5
admet exactement deux asymptotes, les droites d’équations x =−4,5 et
y=−5
admet exactement deux asymptotes, les droites d’équations y =−4,5 et
x=−5.
3. Onsaitque f

(2)=0.L’équationdelatangenteàC aupointd’abscisse2est:
y=4
y=4(x−2)
x=4.
4. On sait que l’équation de la tangente àC au point de coordonnées (1; 2) est
y=3x−1.Ona:
f(2)=1
f

(1)=−1
f

(1)=3.
5. Surl’intervalle]2;+∞[,lafonctiong définiepar g(x)=e
−f(x)
estcroissante
estdécroissante
n’estpasmonotone.
6. Onposeh(x)=[f (x)+5].Alorslafonctionh :
estdécroissantesur]2;+∞[;
estpositivesur]2;+∞[;
n’estpasdéfiniesur]2;+∞[.
Centresétrangers 54 juin2006[BaccalauréatESFrance15juin2006\
EXERCICE 1 3points
Commun touslescandidats
Soit f unefonctiondéfinieetdérivablesur l’intervalle [−3; +∞[,croissantesurles
intervalles[−3;−1]et[2;+∞[etdécroissantesurl’intervalle[−1; 2].
Onnote f

safonctiondérivéesurl’intervalle[−3;+∞[.
La courbe Γ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans un repère
orthogonal

O,
− →
ı ,
− →

.
Elle passe par le point A(−3 ; 0) et admet pour asymptote la droite Δ d’équation
y=2x−5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A
B
C
x
y
O
Δ
Γ
Pourchacunedesaffirmationsci-dessous,cocherlacaseV(l’affirmationestvraie)
oulacaseF(l’affirmationestfausse)surl’ANNEXE,àrendreaveclacopie.
Lesréponsesneserontpasjustifiées.
NOTATION:uneréponseexacterapporte0,5point;uneréponseinexacteenlève0,25
point l’absence de réponse ne rapporte aucun point et n’en enlève aucun. Si le total
despointsestnégatif,lanoteglobaleattribuéeàl’exerciceest 0.
a.L’équation f(x)=4admetexactementdeuxsolutionsdansl’intervalle
[−3;+∞[.
b. lim
x→+∞
f(x)=+∞.
c. lim
x→+∞
[f(x)−(2x−5)]=+∞.
d.f

(0)=−1.
e. f

(x)>0pourtoutnombreréelx appartenantàl’intervalle[−2; 1].BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
f.

1
−1
f(x)dx>7.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
La médiathèque d’une université possède des DVD de deux provenances, les DVD
reçusendotationetlesDVDachetés.Parailleurs,ondistinguelesDVDquisontde
productioneuropéenneetlesautres.
OnchoisitauhasardundecesDVD.Onnote:
Dl’évènement «leDVDaétéreçuendotation»etDl’évènement contraire,
Ul’évènement«leDVDestdeproductioneuropéenne»etUl’évènementcontraire.
On modélise cette situation aléatoire par l’arbre incomplet suivant dans lequel fi-
gurentquelques probabilitésparexemple, laprobabilitéqueleDVDaitétéreçuen
dotationestp(D)=0,25.
D
0,25
U
0,65
U
D
U
U
Ondonne,deplus,laprobabilitédel’évènementU:p(U)=0,762 5.
LespartiesAetBsontindépendantes
PARTIEA
1. a. DonnerlaprobabilitédeUsachantD.
b. Calculer p(D).
2. a. Calculer la probabilitéque le DVD choisi ait été reçuendotation et soit
deproductioneuropéenne(donnerlavaleurexacte).
b. Montrer que la probabilité que le DVD choisi ait été acheté et soit de
productioneuropéenneestégaleà0,6.
3. Sachant que le DVD choisi a été acheté, calculer la probabilité qu’il soit de
productioneuropéenne.
PARTIEB
OnchoisittroisDVDauhasard.OnadmetquelenombredeDVDestsuffisamment
grand pour que ce choix soit assimilé à trois tirages successifs indépendants avec
remise.Onrappelle quelaprobabilitédechoisirunDVDreçuendotationestégale
à0,25.
Déterminerlaprobabilitédel’évènement :«exactementdeuxdestroisDVDchoisis
ontétéreçusendotation».(Donnerlavaleurdécimalearrondieaumillième).
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190
milliers d’habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se dé-
placentseulsdansleurvoiture,lesautrespratiquentleco-voiturage.Onadmetque:
– si une année un habitant pratique le co-voiturage, l’année suivante il se dé-
placeseuldanssavoitureavecuneprobabilitéégaleà0,6;
France 56 15juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
– si une année un habitant se déplace seul dans sa voiture, l’année suivante il
pratiqueleco-voiturageavecuneprobabilitéégaleà0,35.
Premièrepartie
On note C l’état «pratiquer le co-voiturage» et V l’état «se déplacer seul dans sa
voiture».
1. Dessiner un grapheprobabilistedesommets CetVqui modélise la situation
aléatoiredécrite.
2. En considérant C et V dans cet ordre,en ligne, la matrice de transition asso-
ciée à ce ( graphe est M=

0,40 0,60
0,35 0,65

. Vérifier que l’état stable du système
correspondàlamatriceligne(70 120).
Endonneruneinterprétation.
Deuxièmepartie
En 2000, 60 milliers d’habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d’habi-
tantssedéplaçaientseulsdansleurvoiture.
Onappelle Xn
(n entiernaturel)lenombredemilliersd’habitantsquipratiquentle
co-voituragedurantl’année2000+n.OnadoncX
0=60.
Onadmetquepourtoutentiernatureln, Xn+1=0,05Xn+66,5.
Onconsidèrelasuite(un
)
n∈N
,définiepourtoutentiernatureln parUn=Xn−70.
1. Prouver que la suite (un
)
n∈N
est une suite géométrique. Préciser sa raison et
sonpremierterme.
2. Montrerquepourtoutentiernatureln, Xn=70−10×0,05
n
.
Est-ilpossibleque,durantuneannée,lenombred’habitantspratiquantleco-
voiturageatteignelamoitiédelapopulationdecetterégion?
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
Lesdeuxpartiesdel’exercicesontindépendantes
Letableauci-dessousdonnelaconsommationmédicale(expriméeenmilliardsd’eu-
ros)delapopulationd’unpays:
Année 1990 1995 2000 2001 2002 2003
Rangdel’année x
i
0 5 10 11 12 13
Consommation y
i
38 49,1 51,81 57 62,7 68,97
D’aprèsINSEE
PARTIEA
Lebutdecettepartieestdemettreenoeuvredeuxmodélisationsdecetteconsom-
mationmédicale.
1. Premiermodèle
a. Onutiliseunajustementaffine.Donner,àl’aidedelacalculatrice,l’équa-
tion de la droite de régression de y en x, obtenue par la méthode des
moindres carrés. Pour chacun des coefficients, donner la valeur déci-
malearrondieaucentième.
b. En supposant que l’évolution se poursuive selon cemodèle, en déduire
uneestimation delaconsommationmédicaleenmilliardsd’eurospour
l’année2008(donnerlavaleurdécimalearrondieaucentième).
2. Deuxièmemodèle
France 57 15juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
a. Calculerl’accroissementrelatifdelaconsommationmédicaledel’année
2000àl’année2001,puisdel’année2001àl’année2002(donnerlavaleur
décimalearrondieaudixième).
b. Àpartirdel’année2000,onmodéliselaconsommationmédicalepar:
y = 51,81×1,1
n
pour l’année 2000+n avec n entier naturel. En utili-
sant ce deuxième modèle, en déduire une estimation de la consomma-
tion médicale en milliards d’euros pour l’année 2008 (donner la valeur
décimalearrondieaucentième).
PARTIEB:Réductiondesdépenses
Pour l’année 2005, la consommation médicale réelle s’est élevée à 83,44 milliards
d’euros.Ilaétédécidéderéduirelesdépensesetdelesrameneren2006à69,79mil-
liardsd’euros.
De quel pourcentage (arrondi à 1%) la consommation médicale doit-elle baisser
pouratteindrecetobjectif?
Rappeldedéfinitions
Ondésignepara
1 eta
2 desnombresréelsstrictementpositifs a
2>a
1
.
L’accroissementabsoludea
1 àa
2 estégalàa
2−a
1
.
L’accroissementrelatifdea
1 àa
2 estégal
a
2−a
1
a
1
.
EXERCICE 4 7points
Communàtouslescandidats
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle[0;+∞[par
f(x)=e
x−3

1
x+4
PARTIEA
1. La fonction f est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[, on note f

sa fonction
dérivée.
Calculer f

(x)pourtoutnombreréelx appartenantàl’intervalle[0;+∞[.
2. Endéduirequelafonction f eststrictementcroissantesurl’intervalle[0;+∞[
3. Déterminer lim
x→+∞
f(x).
4. a. Dresserletableaudevariationsdelafonction f surl’intervalle[0;+∞[.
b. Onadmetqu’ilexisteununiquenombreréelpositifαtelque f(α)=0.
Donnerlesignedelafonction f surl’intervalle[0;+∞[.
5. a. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant (donner les va-
leursdécimalesarrondiesaudix-millième)
x 1,32 1,325 1,33
f(x)
b. En déduire la valeur décimale, arrondie au centième, du nombre α tel
que f(α)=0.
PARTIEB
1. Soitg lafonctiondéfiniesurl’intervalle[0;+∞[par
g(x)=e
x−3
−ln(x+4)
France 58 15juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
a. La fonction g est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[. On note g

sa fonc-
tion dérivée. Calculer g

(x) pour tout nombre réel x appartenant à l’in-
tervalle[0;+∞[
b. Étudier lesensdevariationsdela fonction g surl’intervalle [0; +∞[en
utilisantlesrésultatsdelaPARTIEA.
2. Calculerl’intégraleI=

3
0
f(x)dx.
(Donnerlavaleurexacte,puislavaleurdécimalearrondieaucentième).
France 59 15juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
ANNEXE
EXERCICE1
Communàtouslescandidats
Àrendreaveclacopie
Pourchacunedesaffirmationsci-dessous,cocherlacaseV(l’affirmationestvraie)
oulacaseF(l’affirmationestfausse)surl’ANNEXE,àrendreaveclacopie.
Lesréponsesneserontpasjustifiées.
NOTATION:uneréponseexacterapporte0,5point;uneréponseinexacteenlève0,25
point l’absence de réponse ne rapporte aucun point et n’en enlève aucun. Si le total
despointsestnégatif,lanoteglobaleattribuéeàl’exerciceest 0.
AFFIRMATIONS V F
a.L’équation f(x)=4admetexactementdeuxsolutions
dansl’intervalle[−3;+∞[.
b. lim
x→+∞
f(x)=+∞.
c. lim
x→+∞
[f(x)−(2x−5)]=+∞.
d.f

(0)=−1.
e. f

(x)>0pourtoutnombreréelx appartenantà
l’intervalle[−2; 1].
f.

1
−1
f(x)dx>7.
France 60 15juin2006[BaccalauréatESLaRéunionjuin2006\
EXERCICE 1 4points
Commun touslescandidats
Le tableau suivant donne l’évolution de la vente de pots de plantes vertes en
milliersdepotsenFrance,de1999à2004.
Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Rangx
i del’année 1 2 3 4 5 6
Nombre
i depotsdeplantes 5 702 5 490 5 400 5 319 5 200 5 180
(enmilliersdepots)
5100
5200
5300
5400
00
5600
5700
5800
0 1 2 3 4 5 6 7
Ventedepotsdeplantes
année
Pour ce nuage de points, un ajustement affine ne semble pas adapté. On cherche
alorsunajustementexponentiel.
1. Onpose z
i =lny
i
.
a. Calculerlesvaleursz
i
,dutableauassociéesauxrangsx
i
,enarrondissant
au centième et pour i variant de 1 à 6. On portera ces valeurs dans le
tableausituésurl’annexe1.
b. Construire,surunefeuilledepapiermillimétré,lenuagedepointsN
i
(x
i
; z
i
),
danslerepèreorthogonaldéfinidelamanièresuivante:
– sur l’axe des abscisses, on place O à l’origine et on prend 2 cm pour
représenter1année
– surl’axedesordonnées,onplace8,50àl’origineetonprend1cmpour
représenter0,01.
2. a. Àl’aidedelacalculatrice,détermineruneéquationdeladroited d’ajus-
tement de z en x, obtenue par la méthode des moindres carrés (on ne
demande pas le détail des calculs). Les coefficients seront arrondis au
centième.
b. Tracerladroited danslerepèreprécédemmentdéfini.BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
c. Determiner la relation entre y et z, sous la forme y= Ae
Bx
, qui traduit
l’équationdeladroited’ajustementd.Lenombre A estarrondiàl’unité
etlenombreB arrondiaucentième,
3. a. On suppose que l’évolution de la vente reste conforme à l’ajustement
calculéàlaquestion2.
Donneralorsuneestimationdunombredepotsqu’onpeutespérervendre
en2006,expriméenmilliersdepots(résultatarrondiàl’unité).
b. Une étude concurrente donne une estimation pour 2006 de 5 085 mil-
liersdepotsvendus.
Calculerladifférenceentrelesdeuxestimations.Quelpourcentagecette
différence représente-t-elle par rapport à la premiere estimation? (on
donneraunevaleurapprochéearrondieaucentièmedecerésultat).
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Onconsidèrelasuitenumérique(un
)définiepar:

u
1 = 12et
un+1 =
1
3
un+5pourtoutentiernatureln>1
1. Utiliser les droites d’équations y=x et y=
1
3
x+5 pour construire les quatre
premierstermesdelasuite(un
).
(Cette constructionestàfaire sur le graphique del’annexe 3 -exercice 2 -Spé-
cialité)
Quepeut-onconjectureràproposdelalimitedelasuite(un
)?
2. Soitlasuite(vn
)définie,pourtoutentiernatureln>1,par:vn=un−
15
2
.
a. Démontrerquelasuite(vn
)estunesuitegéométriquederaison
1
3
.
b. Exprimeralorsvn enfonctionden.
c. Déterminer la limite dela suite (vn
) puis endéduirela limite dela suite
(un
).
3. Est-ilpossiblededéterminern desorteque:
a. un−
15
2
610
−6
?
b. un−
15
2
>10
6
?
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Uneentreprisedetransportsroutiersdisposede16camionsdont:
• 9sontconsidéréscomme«anciens»
• 4sontconsidéréscomme«récents»
• 3sontconsidéréscomme«neufs».
PartieA
L’entreprise décide d’observer l’état des 16 camions pendant une période donnée.
Onsaitdeplusque,pendantcettepériode,laprobabilitéque:
• uncamion«ancien»aitunepanne,estégaleà0,08
• uncamion«récent»aitunepanne,estégaleà0,05
• uncamion«neuf»aitunepanne,estégaleà0,002 5.
LaRéunion 62 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
Onchoisitauhasarduncamionparmiles16.Onnotelesévènementssuivants:
A:«lecamionestancien»
R:«lecamionestrécent»
N:«lecamionestneuf»
D:«lecamionaunepanne».
1. Construireunarbrepondérédécrivantleséventualitésassociéesauchoixd’un
camion.
2. Calculer la probabilité que le camion choisi soit récent et ait une panne (on
donnera, pour cette question et les deux suivantes, à chaque fois une valeur
approchéedurésultatarrondieà10
−4
près)
3. Calculerlaprobabilitéquelecamionchoisiaitunepanne.
4. Calculerlaprobabilitéquelecamionsoitneufsachantqu’iln’apasdepanne.
PartieB
Danscettepartie,ons’intéresseseulementauxcamions«neufs».
(ondonnera,pourchacunedesquestionssuivantes,unevaleurapprochéedurésultat
arrondieaumillième).
Un camion peut être indisponible pour des raisons de matériel ou de personnel.
Chaque camion neuf a defaçon indépendante une probabilitéd’indisponibilité de
0,01.
Déterminerlaprobabilitépourqu’unjourdonné:
1. touslescamions«neufs»soientindisponibles(évènementT)
2. uncamion«neuf»aumoinssoitindisponible(évènementM)
3. deuxcamions«neufs»exactementsoientdisponibles(évènementS).
EXERCICE 3 6points
Communàtouslescandidats
Onareprésentéci-dessous,dansunrepèreorthonormal,lacourbereprésentativeΓ
d’unefonction g définieetdérivablesurR.LacourbeΓpasseparlespointsO(0;0)
etA(2;2).
Ladroite(AB)estlatangenteenAàlacourbeΓ.LatangenteàΓaupointCd’abscisse
1estparallèleàl’axedesabscisses.
LaRéunion 63 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4 5 6 7 -1 -2
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
A
B
C
1. Déterminergraphiquementlesvaleursdeg(0), g(2), g

(1), g

(2).
2. Une des représentations graphiques présentées sur l’annexe 2, représente la
fonctiondérivéeg

deg etuneautrereprésenteuneprimitiveG deg surR.
Déterminerlacourbeassociéeàlafonctiong

etcelleassociéeàG;vousjusti-
fierezvotrechoixàl’aided’argumentsbaséssurl’examendesreprésentations
graphiques.
3. Onsuppose quelafonction g estdelaforme: g(x)=(x+a)e
bx+c
où a, b etc
sontdesnombresréels.
a. Démontrerquea=0etquec=−2b.
b. Déterminer g

(x)enfonctiondeb etdex.
c. Calculeralorslesvaleursdeb etdec.
4. DémontrerquelafonctionG définieparG(x)=−(x+1)e
2−x
estuneprimitive
deg surR.
5. Calculer l’aireK , exprimée en unités d’aire, de la partie du plan comprise
entrel’axedesabscisses,lacourbeΓetlesdroitesd’équations x=2etx=3.
EXERCICE 4 5points
Communàtouslescandidats
CetexerciceestunQ.C.M. (QuestionnaireàChoixMultiples). Chaquequestionad-
met une seule réponse exacte. On portera la réponse dans le tableau prévu en an-
nexe(Annexe1).
Barème : une bonne réponse rapporte 0,5 point; une mauvaise réponse enlève 0,25
point.L’absencederéponsen’apporte,nin’enlèvedepoint.Siletotaldepointestné-
gatif,lanoteglobaleattribuéeàl’exerciceestramenéeà0.
1. L’expression f(x)=x(1+e
−x
)+1peutaussis’exprimerainsi:
a. f(x)=lne+e
−x
(x+xe
x
)
LaRéunion 64 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
b. f(x)=xe
−x
c. f(x)=xe
−x
+1+e
x
2. Deuxfonctionsu etg sontconnuesparleurstableauxdevariations.
x −∞ −1 3 +∞
u(x)
4
2
−2
+∞
x −∞ −2 2 +∞
g(x)
−∞
0
−1
+∞
Onaalors:
a. g[u(−1)]=−1
b. g[u(−2)]=−2
c. g[u(−1)]=−2
3. Enconsidérantlesfonctionsu etg précédentes,ona:
a. lim
x→+∞
g[u(x)]=4
b. lim
x→+∞
g[u(x)]=−∞
c. lim
x→+∞
g[u(x)]=+∞
4. Enconsidérantlafonction g delaquestion2,l’équation g(x)=3admet:
a. exactementunesolutionsur[−4; 2]
b. exactementunesolutionsur[−3;+[
c. exactementunesolutionsur]−∞;−2]
5. Direqueladroited’équationy=x−1estasymptoteobliqueen+∞àlacourbe
représentatived’unefonction f dansunrepèreduplan,revientàdireque:
a. lim
x→+∞
f(x)=−1
b. lim
x→0
[f(x)−(x−1)]=+∞
c. lim
x→+∞
[f(x)−(x−1)]=0
6. Lafonctiong définiesurRparg(x)=e
−x
2
+1
est:
a. uneprimitivedelafonctionquiàx associe:−xe
−x
2
+1
b. uneprimitivedelafonctionquiàx associe:−2xe
1−x
2
c. ladérivéedelafonctionquiàx associe:−2xe
1−x
2
7. Unefonction f estconnueparsontableaudevariations:
LaRéunion 65 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
x −∞ 3 5 +∞
f

(x)
+ 0 − 0 +
f(x)
−∞
1+e
1
+∞
SoitF uneprimitivedelafonction f surR.Onpeutaffirmerque:
a. F estcroissantesur]−∞; 3]
b. F

estpositivesurR
c. F estcroissantesur[3;5]
8. Lafonction f définiesurR−{4}par: f(x)=
x
2
−3x+1
x−4
apourreprésentation
graphiquelacourbeC,dansunrepèredonné.Onpeutdirealorsque:
a. ladroited’équation y=x+1estasymptoteobliqueàC en+∞.
b. ladroited’équation x=−4estasymptoteverticaleàC
c. ladroited’équation x=4estasymptotehorizontaleàC en+∞.
9. Pour toute fonction f continue et positive sur [−1 ; 1] siC
f
est la courbe re-
présentativede f dansunrepèredonnéduplan,alors

1
−1
f(x)dx est:
a. lavaleurmoyennede f sur[−1; 1].
b. l’aire, en unités d’aire, du domaine sous la courbeC
f
, entre les droites
d’équations x=−1etx=1.
c. égaleà f(1)−f(−1).
10. a etb étantdeuxnombresréelsstrictementpositifs,ln(a+b)estégaleà:
a. (lna)×(lnb).
b. lna+ln

1
a
+
1
b

+lnb.
c. lna+lnb.
LaRéunion 66 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
ANNEXE1àrendreaveclacopie
Exercice1(question1a)
Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Rangx
i
1 2 3 4 5 6
Nombrey
i de
potsdeplantes 5 702 5 490 5 400 5 319 5 200 5 180
z
i =lny
i
Exercice4
PourchaquequestionduQ.C.M.,cocherlacasecorrespondantàlabonneréponse
Questions Réponsea. Réponseb. Réponsec.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
LaRéunion 67 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
ANNEXE2:cettefeuillen’estpasàrendreaveclacopie
Courbesdel’exercice3-question1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1 2 3 4 5 6 -1 -2
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
O
Courbe1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
1 2 3 4 5 6 7 -1
O -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Courbe2
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4 5 6 -1
O -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Courbe3
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
1 2 3 4 5 6 -1 -2
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
O
Courbe4
LaRéunion 68 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
ANNEXE3:Exercice2-Spécialité
Àrendreaveclacopie
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
y=x
y=
1
3
x+5
LaRéunion 69 juin2006[ BaccalauréatESPolynésiejuin2006\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
Pour chacune des quatre questions de ce Q.C.M., une seule des trois propositions
est exacte.Le candidatrecopiera sur sa copie le numéro dela question et la bonne
affirmation.Aucunejustificationn’estdemandée.
Uneréponseexacterapporte1point.Uneréponseinexacteenlève0,5point.L’absence
deréponsen’apportenin’enlèveaucunpoint.Siletotalestnégatif,lanotedel’exercice
estramenéeà0.
1. Si la fonction f est strictement croissante surR alors l’équation f(x)=0 ad-
met:
• Aumoinsunesolution.
• Auplusunesolution.
• Exactementunesolution.
2. Silafonction f estcontinuesur[a ; b]etsi f (a)et f(b)sontdesignescontraires,
alorsl’équation f(x)=0admet:
• Aumoinsunesolution.
• Auplusunesolution.
• Exactementunesolution.
3. Silafonction f estcontinueetpositivesur[a ; b]etC
f
sacourbereprésenta-
tivedansunrepèreorthogonal.Enunitésd’aire,l’aireA dudomainedélimité
parC
f
,l’axedesabscissesetlesdroitesd’équations x=a et x=b estdonnée
parlaformule:
• A

a
b
f(x)dx.
• A

b
a
f(x)dx.
• A = f(b)−f(a).
4. Un produit coûte initialement 500 euros. Son prix augmente de 20%. Si l’on
veutrevenirauprixinitial,ilfaut:
• Diminuerleprixde20%.
• Diminuerleprixde
1
20
%.
• Diminuerleprixde100euros.
EXERCICE 2 5points
OnsaitquelacourbeC
f
d’unefonctionnumérique f définiesur]−2;+∞[,passe
parlespointsO(0;0)etA(−1; 0),quelatangenteàC
f
enOapourcoefficientdirec-
teurln(2)etlatangenteàC
f
enAapouréquation y=x+1.
1. a. À l’aide des données ci-dessus, donner la valeur de f(0), de f

(0), de
f(−1)etde f

(−1).
b. DonneruneéquationdelatangenteenOàC
f
.
2. Noussavonsqu’ilexistedesréelsa, b etc telsquepourtoutx>−2:
f(x)=

ax
2
+bx+c

ln(x+2).
a. Exprimer f(0)àl’aidedea, b etc.
b. Exprimer f

(x)àl’aidedea, b etc.
c. Endéduire f

(0)et f

(−1)àl’aidedea, b etc.BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
d. Endéduirelesvaleursdea, b etc.
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Unecompagnieaérienneproposedesvolsdirectsentrecertainesvilles,notéesA,B,
C,D,E,FetG.CelaconduitaugrapheG suivant,dontlessommetssontlesvilleset
lesarêtesreprésententlesliaisonsaériennes:
A
B
C
D
E
F
G
1. LegrapheG est-ilcomplet?Quelestl’ordredeG ?
2. a. Sur les cartes d’embarquement, la compagnie attribue à chaque aéro-
portunecouleur,desortequedeuxaéroportsliésparunvoldirectaient
descouleursdifférentes.
Proposeruncoloriageadaptéâcettecondition.
b. Quepeut-onendéduiresurlenombrechromatiquedeG ?
3. a. QuelleestlanaturedusousgrapheforméparlessommetsA,B,CetD?
b. Quel est le nombre minimal de couleurs que la compagnie doit utiliser
pour pouvoir attribuer unecouleur à chaqueaéroportenrespectantles
conditionsdu2.?
4. a. Enconsidérantlessommetsdansl’ordrealphabétique,construirelama-
triceM associéeàG.
b. Ondonne:
M
8
=











6945 9924 8764 8764 9358 3766 5786
9924 14345 12636 12636 13390 5486 8310
8764 12636 11178 11177 11807 4829 7369
8764 12636 11177 11178 11807 4829 7369
9358 13390 11807 11807 12634 5095 7807
3766 5486 4829 4829 5095 2116 3181
5786 8310 7369 7369 7807 3181 4890











Combienya-t-ildecheminsdelongueurs8quirelientBàD?
5. a. Pourquoiest-il impossible pour unvoyageur deconstruireunitinéraire
quiutilisechaqueliaisonaérienneuneetuneseulefois?
b. Montrerqu’ilestpossibledeconstruireuntelitinéraireenajoutantune
seuleliaisonquin’existepasdéjàetquel’onprécisera.
EXERCICE 3 5points
Une enquête est réalisée auprès des clients d’une compagnie aérienne. Elle révèle
que 40% des clients utilisent la compagnie pour des raisons professionnelles, que
35%desclientsutilisentlacompagniepourdesraisonstouristiquesetlerestepour
diverses autres raisons. Sur l’ensemble de la clientèle, 40% choisit de voyager en
première classe et le reste en seconde classe. En fait, 60% des clients pour raisons
professionnelles voyagentenpremière classe,alors queseulement 20% des clients
Polynésie 71 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
pourraisontouristiquesvoyagentenpremièreclasse.
Onchoisitauhasardunclientdecettecompagnie.Onsupposequechaqueclientà
lamêmeprobabilitéd’êtrechoisi.Onnote:
Al’évènement «leclientinterrogévoyagepourdesraisonsprofessionnelles»
Tl’évènement «leclientinterrogévoyagepourdesraisonstouristiques»
D l’évènement « le client interrogé voyage pour des raisons autres que profession-
nellesoutouristiques»
Vl’évènement «leclientinterrogévoyageenpremièreclasse».
SiEetFsontdeuxévènements,onnotep(E)laprobabilitéqueEsoitréalisé,etp
F
(E)
la probabilité que E soit réalisé sachant que F est réalisé. D’autrepart, on notera E
l’évènement contrairedeE.
1. Déterminer:p(A),p(T),p(V),pA
(V)etpT
(V).
2. a. Determinerlaprobabilitéqueleclientinterrogévoyageenpremièreclasse
etpourdesraisonsprofessionnelles.
b. Déteiminerlaprobabilitéqueleclientinterrogévoyageenpremièreclasse
etpourdesmisonstostiques.
c. Endéduirelaprobabilitéqueleclientinterrogévoyageenpremièreclasse
etpourdesraisonsautresqueprofessionnelles outouristiques.
3. Déterminerlaprobabilitéqueleclientinterrogévoyagepourdesraisonspro-
fessionnelles sachantqu’ilachoisilapremièreclasse.
4. Soitunentiern supérieurouégalà2.Onchoisitn clientsdecettecompagnie
aérienned’unefaçonindépendante.
On note pn
la probabilité qu’au moins un de ces clients voyage en seconde
classe.
a. Prouverque:pn=1−0,4
n
.
b. Déterminerlepluspetitentiern pourlequel pn>0,9999.
EXERCICE 4 6points
Onconsidèrelafonction f définiepourtoutx∈Rpar:
f(x)=

x
2
+x+1

e
x
.
Dans le repère orthonormal

O,
− →
ı ,
− →

d’unité graphique 2 cm sur chaque axe, on
noteC
f
sareprésentationgraphiqueetC
exp
lareprésentationgraphiquedelafonc-
tionexponentielle.
1. a. Déterminerlalimitede f en+∞.
b. Donnerlesvaleursde lim
x→−∞
x
2
e
x
etde lim
x→−∞
xe
x
.
c. Endéduireque lim
x→−∞
f(x)=0.Quepeut-onendéduiregraphiquement?
2. a. Onnote f

lafonctiondérivéede f surR,montrerque
f

(x)=(x+1)(x+2)e
x
.
b. Étudierlesignede f

(x)surR.
c. Endéduireletableaudevariationsdelafonction f.
3. Déterminerlesignede f surR.
4. a. PréciserlespositionsrelativesdeC
f
etdeC
exp
.
b. Construirecesdeuxcourbesdanslerepère

O,
− →
ı ,
− →

.
Polynésie 72 juin2006BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
5. SoitF lafonctiondéfiniepourtoutx∈Rpar:F(x)=

x
2
−x+2

e
x
.
ProuverqueF estuneprimitivede f surR.
6. a. Déterminerlavaleurexactedel’aireencm
2
dudomaineD délimitépar
lacourbeC
f
,l’axedesabscissesetlesdroitesd’équationsx=−1etx=0.
b. Déterminerlavaleurexactedel’aireencm
2
dudomaineD

délimitépar
lesD etC
exp
,etlesdroitesd’équations x=−1etx=0.
Polynésie 73 juin2006