Mathématiques 2009 Scientifique Baccalauréat général

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Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques 2009. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2009 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 23 juin 2009
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• Langue: Français

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D. PINEL, Site Mathemitec :http://mathemitec.free.fr/index.php Pondichéry, Avril 2009de Bac Sujets

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Pondichéry, Bac Avril 2009 - Corrigé 1. Exercice 1 2 1x 2 %x2 A1a. Onaf(x)1xe1 ´ 2 . Or, limx#¥ d’après les résultats de croissances comparées, on sait que et x|#¥ x e 2 X x lim 0. Ainsi, par compositionlim 2 0. X x X|#¥ x|#¥ e e De plus, comme la fonction inverse tend vers 0 en l’infinie, on a par produitlimf(x) 0. x|#¥ A1b.le tableau de variations de la fonction dérivable f (produit de fonctions dérivables) sur son Dressons domaine [0;¥[ . 2 22 2 %x2%x%x2x% On a'(x)11e%2x e1e1%2x1e1%2x1#2x. Comme une exponentielle est toujours positive, f’ est du signe du trinôme1-2x² de racines 1 21 2 1et% 1%(hors du domaine). 2 22 2 On obtient alors x 0+ ¥ 2 2 f ’(x)0 +0 - 1 2 2 e f (x) 2 ց ր 1 0 1 2 2 2 f admet bien pour maximumeen . 2 2 A2. Comme;a], l’aire du domaine cherchée est donnée parla fonction est continue et positive sur [0 2 %a a 1 %x 1 %x 1%e a a 2 2   F(a)1f(x)dx%1 %2xe dx1 %e1u.a. ∫ 0 ∫ 0     0 2 u 2 2 u'e 1 Ainsi,limF(a). a|#¥ 2 n#1 B.Posonsu1f(x)dx. ∫ n n 2 B1a.D’après la partie A, f décroit sur[1;¥[Ì[ ;#¥[donc par définitionn£x£n#1⇒f(n#1)£f(x)£f(n). 2 n#1n#1 En passant cet encadrement à l’intégrale, on obtient(n#1)dx£u£f(n)dxÛf(n#1)£u£f(n)  ∫ n  ∫ n n n indep.de x indep.de x b puisque pour tout réel k indépendant de x, on a :kdx k ( b%a ! . ∫ a B1b.le calcul précédent, D’aprèsf(n2)£u£f(n#1) donc(n#2)£u£f(n#1)£u£f(n): la suite est n#1n#1n donc décroissante. B1c.Commeuest l’intégrale d’une fonction positive sur [n;n1] , elle est positive (minorée par 0). Comme en n plus elle est décroissante, elle converge vers un réel L positif. On sait que0£u£f(n): commelimf(n) 0, d’après le théorème des gendarmes, la suite tend vers 0. n n|#¥

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n#1#¥ Attention : l’argumentlimnlimn#1 donclimf(x)dx f(x)dx10 estfaux (contre exemple avec f(x) = ∫ ∫ n|¥ |¥n n|#¥ n#¥ x). chasles n%1 1 2n n B2a.On au1u#u#..#u1f#f#..f1fet on reconnaît bien F(n). ∑ 0 ∫ 1 ∫ n%1 ∫ 0 k0 1n k10 1 B2b.A2, on a trouvé que EnlimF(a): ce tableau le confirme et il semble que F(n) soit proche (attention a|#¥ 2 aux précisions du tableur) de sa limite dès n supérieur à 5. 2. Exercice 2 (non spé) Soient A(3-i), B(1-3i) et C(-1-i). c%b%2#2i2%2#i 1b.On a, avec les notations habituelles :1 1i. a%b2#2i i(2%2i)    c%b  p c%b BC Par conséquentargBA,BC1arg(i)1 et1|i|11: le triangle ABC est donc rectangle   ( !  a%b  2a%b AB isocèle en B. 1c.On aOA1| 3%i|110etOB1| 1%3i|110donc A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon10. p p i 2 2a.La rotation de centre M(m) et d’anglea pour écriture complexe'%m1e ( z%m ! cad'1m#i z%m. 2 2b.Comme N(n) est l’image de A(a-i), on an m#i3%i%mÛn11#3i#m%im. %i# % z A #z N 1 1m 4 2i 1i m 3.Soit Q(q) le milieu de [AN] : on aq1 ( 3%i#1#3i#m%im ! 1 #1 #2#i. 2 22 22 4a.Supposons que9cad queOM110. Comme OM est le module de m, par définition de l’écriture exponentielle, en notant q son argument on obtient i q m110e. 1%i m ( 1%i ! m ( 1%i ! 10 i q 4b.a vu que Onq#2#i doncq%2%i1 1e etpar conséquent on trouve 2 22 1%i10 2 i q q%2%i1e11015 . 2  2 1 Lorsque M décrit, Q décrira le cercle de centre D(2+i) et de rayon5. 3. Exercice 2 (spé) Dans la semaine… si si !! 4. Exercice 3 Soient A(1 ;1 ;0), B(2 ;0 ;3), C(0 ;-2 ;5) et D(1 ;-5 ;5). Proposition 1 :FAUX. L’ensemble des points M(x ;y ;z) tels que 2x-y+4 = 0 est un plan, pas une droite.    Proposition 2 :FAUX. Par définition du barycentre, pour tout point M du plan on aA#MB#2MC14MG. 5 D. PINEL, Site Mathemitec :http://mathemitec.free.fr/index.php Terminale SPondichéry, Avril 2009de Bac Sujets

  Ainsi, M’ est défini parM'14MG: on vient donc de définir une homothétie…    En effet, d’après la relation de Chasles, on aG#GM'14MGÛGM'1 %3GM: homothétie de centre G et de rapport -3. Proposition 3 :FAUX. Ces points sont coplanaires s’ils appartiennent tous à un même plan d’équation ax + by + cz + d = 0 donc s’ils existent a, b c et d non tous nuls tels que :  1a#1b#0c#d10  a#b#d10  a#b#d10     2a#0b#3c#d10  2a#3c#d10  L2L:%2b#3c%d10 2 1 Û Û   0a%2b#5c#d10 2b#5c#d10 2b#5c#d10     1a%5b#5c#d10a%5b#5c#d10L%L: 6%b5#c10    4 1 .  a#b#d10  a#b#d10  a10     %2b#3c%d10  %2b#3c%d10  b10 Û ÛÛ   L#L: 8c10 c10c10   3 2   L%3L:%4c#3d10 d10d10  4 2   # 6#6# 15 0 3 Proposition 4 :au plan P : 2x + 2y + z + 3 = 0 :VRAI. Déterminons la distance ded1 15, 4#4# 1 3 rayon de la sphère… 5. Exercice 4 1a.La répétition de 3 épreuves identiques et indépendantes donne un schéma de Bernoulli. Comme X compte le  1  nombre d’apparitions de la face 6 (succès), X suit une loiB3,(dé bien équilibré).    6  1 1b.D’après le cours, E(X) =3´ 10.5. 6 2 1  3   1   5  15 1c.Toujours d’après le cours, on ap ( X12 ! 1 1.      3  2   6   6  6 2a. 1 15 > D’après le calcul précédent, on ap ( D∩A ! 1p ( D ! p ( A ! 1p ( X12 ! 1. D 3 2 26  1  > Si Y désigne la v.a. qui compte le nombre de 6, sur 3 lancés, avec le dé truqué, Y suit une loi binomialeB3,    3  2 1  3   1   2  1 16 2 doncp ( Y2 ! 11 1. Par conséquent,D A1 121.      3 p ( ∩ ! p ( D ! p D ( A ! p ( Y ! 2 3 3 39 2 9      2b.formant une partition de l’univers, d’après la formule des probabilités totales on aD et 1 157 p A1p A∩D#p A∩D1 #1...1. ( !( ! ( ! 3 9 2´6 48 p D∩A 1/ 948 16 2c.On cherche cette fois cip D1 11 1. A ( ! p ( A ! 7 / 4863 21 n  5  3a.; avec leà ne faire aucun 6 : avec le dé équilibré, en n jets la probabilité est deL’évènement consiste n    6  n  2  truqué elle est de.    3  6 D. PINEL, Site Mathemitec :http://mathemitec.free.fr/index.php Terminale SPondichéry, Avril 2009de Bac Sujets