Mathématiques options BCDE 2000 S.T.I (Génie Mécanique) Baccalauréat technologique

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Examen du Secondaire Baccalauréat technologique. Sujet de Mathématiques options BCDE 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques options BCDE 2000 sur Bankexam.fr.

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• 2000

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 06 juin 2007
• Nombre de lectures: 56
• Langue: Français

Extrait

Baccalauréat STI France juin 2000 Génie mécanique (B, C, D, E), des matériaux

Durée : 4 heures

Coefficient : 4

E XERCICE 15 points 1.Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation suivante : 2 z−2z+4=0. On appelleraz 1 la solution dont la partie imaginaire est positive etz 2 l’autre solution.   −→−→ 2.Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormalO,u,vd’unité graphique 2 cm. On appelle A 0 , A 1 et A 2 les points d’affixes respectives

z 0 =3+i 3;z 1 =1+i 3;z 2 =1−i 3. a.Placer les points A 0 , A 1 et A 2 dans le plan complexe. b.Démontrer que le triangle A 0 A 1 A 2 est rectangle. c.En déduire le centre et le rayon du cercleΓpassant par A 0 , A 1 et A 2 .

E XERCICE 25 points Pour imiter la Française des jeux, un particulier crée un jeu de loterie instantanée pour lequel 500 tickets ont été imprimés. Les tickets gagnants se répartissent de la manière suivante :

Nombre de tickets 1 4 5 90

Somme en francs gagnée par ces tickets 1 000 200 100 10

1.Calculer la probabilité qu’un ticket tiré au hasard soit un ticket gagnant. 2.Le prix de vente du ticket est de 10 francs. On appelleXla variable aléatoire qui, à chaque ticket, associe son gain (en tenant compte des 10 francs d’achat : à chaque ticket gagnant 100 F,Xassocie ainsi 90 F).

a.Déterminer toutes les valeurs prises parX. b.Calculer la probabilité de l’évènementX= −10. c.Déterminer la loi de probabilité associée àX. d.Calculer et interpréter l’espérance deX.

P ROBLÈME

Partie A  Étude d’une fonction auxiliaire

10 points

Baccalauréat STI juin 2000

Soitgla fonction numérique de la variable réelle x définie sur ]1 ;+ ∞[ par

x−1 g(x)=1−. x e 1.Déterminer la valeur exacte deg(2). 2.Calculer la limite de la fonctiongen 1. 3. a.En remarquant que :

x1 g(x)=1− +, x x e e calculer la limite de la fonctiongen+∞. b.Déduire de3. a.que la courbe représentative de la fonctiongadmet une asymptote horizontale en+∞, dont on précisera une équation.   4. a.On notegla fonction dérivée de la fonctiong. Calculerg(x).  b.Étudier le signe deg(x) sur ]1 ;+ ∞[. c.Dresser le tableau de variations deg. d.En déduire le signe deg(x) sur ]1 ;+ ∞[. (On ne demande pas de tracer la courbe représentative de la fonctiong).

Partie B  Étude d’une fonction et tracé de sa courbe représentative Soitfla fonction numérique de la variable réellexdéfinie sur ]1 ;+ ∞[ par :

1 1 f(x)+= −ln(x−1). x2 e e On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthonormal   −→−→ O,ı,, d’unité graphique 5 cm. 1. a.Calculer la limite de la fonctionfen 1. En déduire l’existence d’une asymptoteΔà la courbeC, dont on préci sera une équation. b.Calculer la limite defen+∞.   2. a.On notefla fonction dérivée de la fonctionf. Calculerf(x). g(x)  b.Montrer quef(x)=. x−1 c.En déduire le sens de variations defsur ]1 ;+ ∞[. Dresser le tableau de variations def. 3. a.Calculerf(2). b.Tracer la droiteΔet la courbeCdans le repère défini précédemment.

Partie C  Calcul d’aire On considère la fonction numériqueFde la variable réellexdéfinie sur ]1 ;+ ∞[ par :   1 1 F(x)= −+(x−1) ln(x−1)−1+x. x2 e e

1.Montrer queFest une primitive defsur ]1 ;+ ∞[. 2 2. a.On désigne parAl’aire en cmde la partie de plan limitée par la courbe C, l’axe des abscisses, les droites d’équationsx=2 etx=3. Déterminer la valeur exacte deA. 2−2 b.Donner une valeur deAen cmprès.à 10

Génie mécanique (B, C, D, E), des matériaux 2