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Mathématiques Spécialité 2001 Scientifique Baccalauréat général

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Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques Spécialité 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques Spécialité 2001 sur Bankexam.fr.
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Baccalauréat S Pondichéry mai 2001
EXERCICE14 points 1.On pose, pour tout entier naturelnnon nul, 1 1 nx In=(1x) ed x. n!0 a.À l’aide d’une intégration par parties, calculer I1. b.Prouver que, pour tout entier naturelnnon nul, 1 1 x 0Ined x. n!0 En déduirelimIn. n→+∞ c.Montrer, en utilisant une intégration par parties que pour tout entier na turelnnon nul, on a : 1 In+1= −In (n+1)! 2.On considère la suite réelle (an), définie surNpara1=0 et, pour tout entier naturelnnon nul, n+1 (1) an+1=an+. (n+1)! a.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturelnnon nul, 1 n an= +(1)In. e b.limEn déduirean. n→+∞
EXERCICE24 points On considère l’applicationfqui à tout nombre complexezdifférent de 1, asso cie le nombre complexe 2iz f(z)=. 1z L’exercice étudie quelques propriétés def.   Le plan est rapporté à un repère orthonormal directO,u,vd’unité graphique 2 cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions1.et2.. A est le point d’affixe 1 et B celui d’affixe2i. 1.On posez=x+iyavecxetyréels. Écriref(z) sous forme algébrique. En déduire l’ensemble des pointsMd’affixe ztels quef(z) soit un réel et représenter cet ensemble. 2.On posez=f(z). a.Vérifier que i n’a pas d’antécédent parfet exprimer, pourzdifférent de i,zen fonction dez.  b.Mest le point d’affixez(zdifférent de 1) etMcelui d’affixez(zdiffé rent de i). MC Montrer que OM=où C et D sontles points d’affixes respectives 2 MD et i.
Baccalauréat S mai 2001
c.Montrer que, lorsque le pointMdécrit le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point A, son imageMappartient à une droite fixe que l’on définira géométriquement. d.Montrer que, siMest un point de l’axe des réels, différent de O et de A, alorsMappartient à la droite (CD).
EXERCICE2 (SPÉCIALITÉ) 2 1.On considère l’équation (1) d’inconnue (n,m) élément deZ:
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11n24m=1. a.Justifier, à l’aide de l’énoncé d’un théorème, que cette équation admet au moins une solution. b.En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer une solution particulière de l’équation (1). c.Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation (1). 11 24 2.recherche du P.G.C.D. de 101 et 101. 11 24 a.Justifier que 9 divise 101 et 101. b.(n,m) désignant un couple quelconque d’entiers naturels solutions de (1), montrer que l’on peut écrire    11n24m 10110 101=9. 11 11n c.Montrer que 101 divise 101.   n n1n2 0 (on rappelle l’égalitéa1=(a1)a+a+ ∙ ∙ ∙ +a, valable pour tout entier naturelnnon nul). Déduire de la question précédente l’existence de deux entiersNetMtels que :    11 24 101N101M=9. 24 11 d.Montrer que tout diviseur commun à 101 et 101 divise 9. 24 11 e.Déduire des questions précédentes le P.G.C.D. de 101 et 101.
PROBLÈME12 points Dans tout le problème, (C) désigne la courbe d’équationy=lnxreprésentant la fonction logarithme népérien dans le plan rapporté à un repère orthonormal d’ori gine O et d’unité graphique 4 cm. Question préliminaire: Tracer avec soin mais sans étude de la fonction, la courbe (C) et la droite (D) d’équationy=x.
Partie A 1. a.Déterminer une équation de la tangente (Δ) à (C) au point I d’abscisse 1. b.Étudier les variations de la fonctionfdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par
f(x)=x1lnx.
c.En déduire la position de (C) par rapport àΔ.
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2. a.Déduire de la question précédente la valeur minimale prise parxlnx sur l’intervalle ]0 ;+∞[. b.MetNsont les points de même abscissexdes courbes (C) et (D) res pectivement. Déterminer la plus petite valeur (exprimée en cm) prise par la distance M Nlorsquexdécrit l’intervalle ]0 ;+∞[.
Partie B 1.SoitMle point d’abscissexde la courbe (C). Exprimer la distance OMde l’origine àMen fonction dex. 2 2.Étude de la fonction auxiliaire u définie sur]0 ;+∞[par u(x)=x+lnx. a.Justifier les limites deu(x) en 0 et en+∞ainsi que le sens de variations deu. b.Montrer qu’il existe un réelαet un seul tel queu(α)=0. Montrer queαest compris entre 0,5 et 1 puis donner un encadrement de 2 α.d’amplitude 10 c.Déterminer le signe deu(x) suivant la valeur dex. 2 2 3.Étude de la fonction gdéfinie sur]0 ;+∞[par g(x)=x+(lnx) . 2   Calculerg(x) et vérifier queg(x)=u(x). x En déduire le tableau de variations deg. 4.Déduire des questions précédentes la valeur exacte de la plus courtedistance de l’origine aux points de la courbe (C) et en donner une valeur approchée (exprimée en cm) en utilisant pourαla valeur centrale de l’encadrement trouvé à la question2. b.. 5.A étant le point d’abscisseαde (C), démontrer que la tangente en A est per pendiculaire à la droite (OA).
Partie C Étude d’une suite 1.Montrer que le réelαdéfini dansla partie Best solution de l’équationh(x)= x, oùhest la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par   1 2. a.Calculerh(x.; 1) et étudier son signe sur l’intervalle 2    1 1 b.Prouver queh; 1.; 1 2 2   1 c.Calculerh(x.; 1) et étudier son signe sur l’intervalle 2   1 d.En déduire que, pour toutx; 1, on aappartenant à l’intervalle 2 0h(x)0, 3. 3.On définit la suite (un) par :u0=1 et, pour tout entier natureln, un+1=h(un). 1 a.Montrer que, pour tout entier natureln,un1, et que la suite (un) 2 est décroissante. b.Attention, cette question n’est plus au nouveau programme du bacca lauréat S. En utilisant l’inégalité des accroissements finis, montrer que l’on a pour 1n tout entier natureln,|un+1α|0, 3|unα|puis que|unα|(0, 3). 2 c.En déduire que la suite (un) converge versα. d.Déterminer un entiern0tel queunsoit une valeur approchée deαà 0 5 10 prèset indiquer la valeur deundonnée par la calculatrice (avec 5 0 décimales).
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