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Mathématiques Spécialité 2003 Scientifique Baccalauréat général

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Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques Spécialité 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques Spécialité 2003 sur Bankexam.fr.
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Baccalauréat série S Liban mai 2003
EXERCICE14 points Commun à tous les candidats Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches. Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 2. On répètenfois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puisla remettre dans l’urne ; on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées et que les tirages sont indépendants. On notepn, la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors desn1 pre miers tirages et une boule blanche lors dunième tirage.
1.Calculer les probabilitésp2,p3etp4. 2.On considère les évènements suivants : Bn: « On tire une boule blanche lors dunième tirage », Un: « On tire une boule blanche et une seule lors desn1 premiers tirages ».
a.Calculer la probabilité de l’évènementBn. b.Exprimer la probabilité de l’évènementUnen fonction den. c.En déduire l’expression depnen fonction denet vérifier l’égalité :   n n1 2 pn= ×. 4 3
3.On pose :Sn=p2+p3+ ∙ ∙ ∙ +pn.
a.Démontrer par récurrence que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2, on a :    n n2 Sn=1− +1×. 2 3
b.Déterminer la limite de la suite (Sn).
EXERCICE2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
1.Résoudre dansCl’équation :
5 points
2 4z12z+153=0.   2.O,Dans le plan rapporté à un repère orthonorméu,v, d’unité graphique 3 1 cm on considère les points A, B, C, P d’affixes respectives:zA= +6i,zB= 2 3 15 −→ −→ 6i ;zC= −3i,zP=3+2i et le vecteurwd’affixez= −1+i. w 2 42 a.Déterminer l’affixezQdu point Q, image du point B dans la translationt −→ de vecteurw. b.Déterminer l’affixezRdu point R, image du point P par l’homothétieh 1 de centre C et de rapport. 3
Baccalauréat S juin 2003
c.Déterminer l’affixezSdu point S, image du point P par la rotationrde π centre A et d’angle. 2 Placer les points P, Q, R et S.
3. a.Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme. zRzQ b.Calculer . zPzQ En déduire la nature précise du parallélogramme PQRS. c.Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent à un même cercle, noté C. On calculera l’affixe de son centreΩet son rayonρ. 4.La droite (AP) estelle tangente au cercleC?
Exercice 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
5 points
Les suites d’entiers naturels (xn) et (yn) sont définies surNpar : x0=3 etxn+1=2xn1 y0=1 etyn+1=2yn+3. n+1 1.Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln,xn=2+1. 2. a.Calculer le pgcd dex8etx9, puis celui dex2002etx2003. Que peuton en déduire pourx8etx9d’une part, pourx2002etx2003?d’autre part b.xnetxn+1sontils premiers entre eux pour tout entier natureln? 3. a.Démontrer que pour tout entier natureln, 2xnyn=5. b.Exprimerynen fonction den. c.En utilisant les congruences modulo 5, étudier suivant les valeurs de p l’entier naturelppar 5.le reste de la division euclidienne de 2 d.On notednle pgcd dexnetynpour tout entier natureln. Démontrer que l’on adn=1 oudn=5 ; en déduire l’ensemble des entiers naturelsntels quexnetynsoient premiers entre eux.
PROBLÈME Commun à tous les candidats
Partie A Étude d’une fonction auxiliaireg x La fonctiongest définie surRparg(x)=2e+2x7.
11 points
1.Étudier les limites degen−∞et en+∞. 2.Étudier le sens de variation de la fonctiongsurRet dresser son tableau de variations. 3.Justifier que l’équationg(x)=0 admet dansRune solution uniqueαtelle que :
4.Étudier le signe degsurR.
0,94<α<0,941.
Partie B Étude d’une fonction La fonctionfest définie surRpar
Liban
2
  x f(x)=(2x5) 1e .
Baccalauréat S juin 2003
On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthonormal   O,ı,.
1.Étudier le signe defsurR. 2.Étudier les limites defen−∞et+∞.  3.Calculerf(x), oufdésigne la fonction dérivée defet vérifier quef(x) et g(x) ont le même signe. Dresser le tableau de variations def. 2 (2α5) 4. a.Démontrer l’égalité :f(α)=. 2α7 2 (2x5) b.Étudier le sens de variations de la fonctionh:x→sur l’inter 2x7   5 valle−∞; . 2 En déduire, à partir de l’encadrement deαobtenu dans lapartie A, un 2 encadrement d’amplitude 10def(α). 5.Démontrer que la droiteD, d’équationy=2x5, est asymptote àCen+∞. Préciser la position deCpar rapport àD.   6.Tracer la droiteDet la courbeCdans le repèreO,ı,(unité graphique 2 cm).
Partie C  Calcul d’aires 2 À l’aide d’une intégration par parties, calculer en cml’aireAde la portion de plan délimitée par la courbeC, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite 5 d’équationx=. 2
Partie D  Étude d’une suite de rapports de distances Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 3, on considère les pointsAn,Bn, etCnd’abscissen, appartenant respectivement à l’axe des abscisses,la droiteDet la courbeC; soitunle réel défini par : CnBn un=. AnBn 1.Démontrer que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 3, on a : 2n5f(n) un=. 2n5 2. a.Quelle est la nature de la suite (un) ? b.Calculer la limite de la suite (un?). Pouvaiton prévoir ce résultat
Liban
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