EXERCICE14 points Commun à tous les candidats Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches. Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 2. On répètenfois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puisla remettre dans l’urne ; on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées et que les tirages sont indépendants. On notepn, la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors desn−1 pre miers tirages et une boule blanche lors dunième tirage.
1.Calculer les probabilitésp2,p3etp4. 2.On considère les évènements suivants : Bn: « On tire une boule blanche lors dunième tirage », Un: « On tire une boule blanche et une seule lors desn−1 premiers tirages ».
a.Calculer la probabilité de l’évènementBn. b.Exprimer la probabilité de l’évènementUnen fonction den. c.En déduire l’expression depnen fonction denet vérifier l’égalité : n n−1 2 pn= ×. 4 3
3.On pose :Sn=p2+p3+ ∙ ∙ ∙ +pn.
a.Démontrer par récurrence que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2, on a : n n2 Sn=1− +1×. 2 3
b.Déterminer la limite de la suite (Sn).
EXERCICE2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
1.Résoudre dansCl’équation :
5 points
2 4z−12z+153=0. −→−→ 2.O,Dans le plan rapporté à un repère orthonorméu,v, d’unité graphique 3 1 cm on considère les points A, B, C, P d’affixes respectives:zA= +6i,zB= 2 3 15 −→ −→ −6i ;zC= −3−i,zP=3+2i et le vecteurwd’affixez= −1+i. w 2 42 a.Déterminer l’affixezQdu point Q, image du point B dans la translationt −→ de vecteurw. b.Déterminer l’affixezRdu point R, image du point P par l’homothétieh 1 de centre C et de rapport−. 3
Baccalauréat S juin 2003
c.Déterminer l’affixezSdu point S, image du point P par la rotationrde π centre A et d’angle−. 2 Placer les points P, Q, R et S.
3. a.Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme. zR−zQ b.Calculer . zP−zQ En déduire la nature précise du parallélogramme PQRS. c.Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent à un même cercle, noté C. On calculera l’affixe de son centreΩet son rayonρ. 4.La droite (AP) estelle tangente au cercleC?
Exercice 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
5 points
Les suites d’entiers naturels (xn) et (yn) sont définies surNpar : x0=3 etxn+1=2xn−1 y0=1 etyn+1=2yn+3. n+1 1.Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln,xn=2+1. 2. a.Calculer le pgcd dex8etx9, puis celui dex2002etx2003. Que peuton en déduire pourx8etx9d’une part, pourx2002etx2003?d’autre part b.xnetxn+1sontils premiers entre eux pour tout entier natureln? 3. a.Démontrer que pour tout entier natureln, 2xn−yn=5. b.Exprimerynen fonction den. c.En utilisant les congruences modulo 5, étudier suivant les valeurs de p l’entier naturelppar 5.le reste de la division euclidienne de 2 d.On notednle pgcd dexnetynpour tout entier natureln. Démontrer que l’on adn=1 oudn=5 ; en déduire l’ensemble des entiers naturelsntels quexnetynsoient premiers entre eux.
PROBLÈME Commun à tous les candidats
Partie A Étude d’une fonction auxiliaireg x La fonctiongest définie surRparg(x)=2e+2x−7.
11 points
1.Étudier les limites degen−∞et en+∞. 2.Étudier le sens de variation de la fonctiongsurRet dresser son tableau de variations. 3.Justifier que l’équationg(x)=0 admet dansRune solution uniqueαtelle que :
4.Étudier le signe degsurR.
0,94<α<0,941.
Partie B Étude d’une fonction La fonctionfest définie surRpar
Liban
2
−x f(x)=(2x−5) 1−e .
Baccalauréat S juin 2003
On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthonormal −→−→ O,ı,.
1.Étudier le signe defsurR. 2.Étudier les limites defen−∞et+∞. 3.Calculerf(x), oufdésigne la fonction dérivée defet vérifier quef(x) et g(x) ont le même signe. Dresser le tableau de variations def. 2 (2α−5) 4. a.Démontrer l’égalité :f(α)=. 2α−7 2 (2x−5) b.Étudier le sens de variations de la fonctionh:x→sur l’inter 2x−7 5 valle−∞; . 2 En déduire, à partir de l’encadrement deαobtenu dans lapartie A, un −2 encadrement d’amplitude 10def(α). 5.Démontrer que la droiteD, d’équationy=2x−5, est asymptote àCen+∞. Préciser la position deCpar rapport àD. −→−→ 6.Tracer la droiteDet la courbeCdans le repèreO,ı,(unité graphique 2 cm).
Partie C Calcul d’aires 2 À l’aide d’une intégration par parties, calculer en cml’aireAde la portion de plan délimitée par la courbeC, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite 5 d’équationx=. 2
Partie D Étude d’une suite de rapports de distances Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 3, on considère les pointsAn,Bn, etCnd’abscissen, appartenant respectivement à l’axe des abscisses,la droiteDet la courbeC; soitunle réel défini par : CnBn un=. AnBn 1.Démontrer que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 3, on a : 2n−5−f(n) un=. 2n−5 2. a.Quelle est la nature de la suite (un) ? b.Calculer la limite de la suite (un?). Pouvaiton prévoir ce résultat