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Mathématiques Spécialité 2004 Scientifique Baccalauréat général

3 pages
Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques Spécialité 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques Spécialité 2004 sur Bankexam.fr.
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Durée : 4 heures
Baccalauréat S AntillesGuyane juin 2004
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
EXERCICE14 points Commun à tous les candidats 1 an+1=(2an+bn) 3 On définit les suites (an) et (bn) para0=1,b0=7 et 1 bn+1=(an+2bn) 3   −→ Soit D une droite munie d’un repèreO ;ı. Pour toutnN, on considère les points AnetBnd’abscisses respectivesanetbn.
1.Placez les points A0, B0, A1, B1, A2et B2. 2.Soit (un) la suite définie parun=bnanpour toutnN. Démontrez que (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Exprimezunen fonction den. 3.Comparezanetbn. Étudiez le sens de variation des suites (an) et (bn). Inter prétez géométriquement ces résultats. 4.Démontrez que les suites (an) et (bn) sont adjacentes. 5.Soit (vn) la suite définie parv=an+bnpour toutnN. Démontrez que (vn) est une suite constante. En déduire que les segments [AnBn] ont tous le même milieu I. 6.Justifiez que les suites (an) et (bn) sont convergentes et calculez leur limite. Interprétez géométriquement ce résultat.
EXERCICE27 points Commun à tous les candidats But de l’exercice :approcher ln(1+a) par un polynôme de degré 5 lorsqueaappar tient à l’intervalle [0 ;+ ∞[. Soita[0 ;+ ∞[.  k a a 1 (ta) On noteI0(a)=dtet pourkN, on poseIk(a)=dt. k+1 01+t0(1+t) 1.CalculezI0(a) en fonction dea. 2.À l’aide d’une intégration par parties, exprimezI1(a) en fonction dea 3.À l’aide d’une intégration par parties, démontrez que
k+1k+1 (1)a Ik+1(a)= +Ik(atout) pourkN. k+1 1 1 1 1 5 4 3 2 4.SoitPle polynôme défini surRparP(x)=xx+xx+x. 5 4 3 2 Démontrez en calculantI2(a),I3(a) etI4(a), queI5(a)=ln(1+a)P(a). a 5 5.SoitJ(a)=(ta) dt. CalculezJ(a). 0
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5 (ta) 5 6. a.Démontrez que pour toutt[0 ;a],(ta) . 6 (1+t) b.Démontrez que pour touta[0 ;+ ∞[,J(a)I5(a)0. 6 a 7.En déduire que pour touta[0 ;+ ∞[,|ln(1+a)P(a)|. 6 8.Déterminez, en justifiant votre réponse, un intervalle sur lequelP(a) est une 3 valeur approchée de ln(1+après.) à 10
EXERCICE34 points Commun à tous les candidats Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Chaque réponse juste rapporte 1point. Une absence de réponse n’est pas sanctionnée. Il sera retiré0,5point par ré-ponse fausse. On ne demande pas de justifier. La note finale de l’exercice ne peut être inférieure à zéro. On posez= −2+2+i 22. 2 1.La forme algébrique dezest :
  A : 22B: 22C : 22i 2+2+i 22D2: 2+2i 2 2 2.zs’écrit sous forme exponentielle : π π3π3π ii ii 4 44 4 A :4e B: 4eC :4e D: 4e 3.zs’écrit sous forme exponentielle : 7π π5π3π i ii i 8 8 88 A :2e B: 2eC :2e D: 2e 2+2 22 4.les cosinus et sinus de :et sont 2 2 7π5π3π π A :B :C :D : 8 8 88
EXERCICE45 points Pour les candidats n ’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité On considère le tétraèdre ABCD; on note I milieu du segment [AB] et J celui de [CD].
1. a.Soit G1le barycentre du système de points pondérés {(A, 1) ; (B, 1) ; (C,1) ;(D, 1)}. −−→Exprimez IG1en fonction de CD . Placez I, J et G1sur la figure (voir feuille annexe). b.Soit G2le barycentre du système de points pondérés {(A(, 1) ;B(, 1) ;D, 2)}. Démontrez que G2est le milieu du segment [ID]. Placez G2. c.Démontrez que IG1DJ est un parallélogramme. En déduire la position de G2par rapport aux points G1et J. 2.Soitmun réel. On noteGmle barycentre du système de points pondérés {(A(, 1) ;B, 1) ;(C,m2) ; (D,m)}.
a.Précisez l’ensembleEdes valeurs dempour lesquelles le barycentreGm existe. Dans les questions qui suivent, on suppose que le réelmappartient à l’ensembleE.
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b.Démontrez queGm, appartient au plan (ICD). −→ c.Démontrez que le vecteurmJGmest constant. d.En déduire l’ensembleFdes pointsGmlorsquemdécrit l’ensembleE.
EXERCICE45 points Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O. SoitPun point du segment [BC] distinct de B. On noteQl’intersection de (AP) avec (CD). La perpendiculaireδà (AP) passant par A coupe (BC) enRet (CD) enS.
1.Faire une figure. π 2.Soitr.la rotation de centre A et d’angle 2 a.Précisez, en justifiant votre réponse, l’image de la droite (BC) par la rota tionr. b.Déterminez les images deRet dePparr. c.Quelle est la nature de chacun des triangles ARQet AP S.
3.On noteNle milieu du segment [P S] etMcelui du segment [Q R]. Soitsla π1 similitude de centre A, d’angleet de rapport. 4 2 a.Déterminez les images respectives deRet dePpars. b.Quel est le lieu géométrique du pointNquandPdécrit le segment [BC] privé de B? c.Démontrez que les pointsM, B,Net D sont alignés.
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