Sujet du bac ES 2003: Mathématique Obligatoire

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Fonctions, QCM
Sujet du bac 2003, Terminale ES, Polynésie

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2003
• Nombre de lectures: 54
• Langue: Français

Extrait

[ BaccalauréatESPolynésiejuin2003\
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
Évolutiondel’indiceIMVP
L’indiceIMVP(internationalmotorvéhiculeprogram)estunindicateurderéférence
élaboréparleMassachussetsInstituteofTechnologyquimesureenheuresletemps
demontagemoyend’unvéhicule.
Dansuneentreprisedeconstructionautomobile,onaobtenuletableausuivant:
année rangdel’année x tempsenheures yi i
1995 5 26,2
1996 6 23,7
1997 7 21,4
1998 8 18,5
1999 9 16,8
2000 10 15,4
2001 11 14,6
(sourceRenault)
PartieA
Lenuagedepoints M associéàlasériestatistique(x ; y )dansunplanrapportéài i i
unrepèreorthonormalestdonnéenannexe.
Lesrésultatsserontarrondissinécessaireaucentième.
1. Calculerlescoordonnéesdupointmoyenetleplacersurlegraphique.
2. Lenuagedepointsmontrequ’unajustementaffinesemblejustifié.Àl’aidede
lacalculatrice,donneruneéquationdeladroiteDd’ajustementaffinedey en
x,obtenueparlaméthodedesmoindrescarrés.
ReprésenterDsurlegraphique.
3. Endéduiregraphiquementpuisparlecalcullesprévisionsdutempsdemon-
tagemoyenpourl’année2005puisl’année2007,ensupposantquelemodèle
restevalablejusqu’en2007.
4. Calculer la variation en pourcentage de ce temps de l’année 2000 à l’année
2001.
PartieB
p
Ondécided’approchercenuageparunarcdeparabole;pourcelaonposez = y.
1. Donnerletableaudesvaleurs(x ; z ).Lesvaleursz serontarrondiesaumil-i i i
lième.
Onsupposequ’unajustementaffinedez enx estjustifié.
2. Donneruneéquationdeladroited’ajustementaffineobtenueparlaméthode
desmoindrescarrés(lescoefficientsserontarrondisaumillième).
3. En déduire l’expression de y en fonction de x, puis le temps de montage en
2005eten2007arrondisaudixième.
4. Cestempssont-ilsplusplausiblesqueceuxobtenusdanslapartieA?
Expliquer.BaccalauréatESjuin2003
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpusuivil’enseignementdespécialité
Chaquequestioncomportetroisaffirmationsrepéréesparleslettres a,b,c.
Vousdevezindiquerpourchacuned’ellessielleestvraieoufaussesansjustification.
Lesréponsesseronttranscritesdansletableaufigurantenannexe.
Soit f une fonction impaire définie et dérivable sur [−5 ; 5]; on désigne par F
uneprimitivede f surcetintervalle. ³ ´→− →−
Surlesgraphiquesci-dessous,lerepère O, ı ,  estunrepèreorthogonal.
LacourbeC estlareprésentationgraphiquedelafonction f. ¡ p ¢
LepointAapourcoordonnées(−2; 8),lepointBapourcoordonnées −2 3; 0 et¡ p ¢
lepointCapourcoordonnées 2 3; 0 .
Ladroite(OA)estlatangenteenOàC. 22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
1.a.C estlacourbereprésentativede 9′ A 8F .
′ 7b. f (0)=−2. 6
c. f estnégativeounullesur[−1; 1]. 5
4
3 →−2
1
0
2. a. Soit S l’aire , exprimée en uni- -1 →−-5 -4B-3 -2 -1O 0 1 2 3 C 4 5-2 ıtés d’aire, de la portion de plan déli-³ ´ -3→−
-4mitée puC, l’axe O ; ı et la droite
-5d’équation x=−2. C -6
Ona:0?S?2. -7Z2 -8
b. f(x)dx=0. -9
−2 -10
c.F(2)−F(0)<0. -11
-12
-13
-14
-15
-16
-17
-18
-19
-20
-21
-22
′3.ParmilescourbesC etC l’unereprésente f etl’autrereprésenteF.1 2
2a.UneéquationdeC est y=x −2.1
′b.C estlacourbereprésentativede f .2pZ2 3
c. f(x)dx=−10.
0
Polynésie 2 juin2003BaccalauréatESjuin2003
22
21
20 C est la représentation graphique219
d’unefonctiondérivable.18 p
17 LepointDapourabscisse−2 3.p16 LepointEapou3rabscisse2 3.15 →−214 113
012 -1 →−11 -5 -4 -3 -2O 0 1 2 3 4 5-2 ı10 -3C29
-48 -57
-66 -7C1 5
-84 -93
-10→−2 -111 -120 -13
-1 D E→−-5 -4 -3 -2O 0 1 2 3 4 5-2 ı
-3
-4
-5
PROBLÈME 10points
Communàtouslescandidats
Soient f etg lesfonctionsdéfiniessur[0;+∞[par:
4
f(t)=2ln(t+1)+1 et g(t)= .−t1+e
1. Étudedelafonction f
a. Étudierlalimitede f en+∞.
b. Étudierlesensdevariationde f.
Dresserletableaudevariationsde f.
2. Étudedelafonction g
a. Étudierlalimitedeg en+∞.
b. Étudierlesensdevariationdeg.
Dresserletableaudevariationsdeg.
3. Étudegraphique
Sur la feuille donnée en annexe, la courbeC est la représentation graphique³ ´→− →−
de f dansunrepèreorthogonal O, ı ,  .OnappelleΓla courbereprésen-
tativedelafonction g danscerepère.
a. Une des deux courbes admet une asymptote. Préciser laquelle et tracer³ ´→− →−
cetteasymptotedanslerepère O, ı ,  .
b. TracerlacourbeΓ.
c. Àl’aidedugraphique, donnerunevaleurapprochéeà0,1 prèsdel’abs-
cisse α dupoint d’intersection des courbesC etΓ,puis étudier graphi-
quementlesignedeg(t)−f(t)suivantlesvaleursdet.
4. Calculdeprimitives
t4e
a. Montrerqueg(t)= pourtoutt de[0;+∞[.
te +1
Endéduireuneprimitivedeg sur[0;+∞[.
Polynésie 3 juin2003BaccalauréatESjuin2003
b. SoitH lafonctiondéfiniesur[0;+∞[par
H(t)=(t+1)ln(1+t)−t.
DéterminerladérivéedeH etendéduireuneprimitivede f sur[0;+∞[.
5. Applicationéconomique
Un plan derestructuration dans une industrie est établi sur cinq ans.Onad-
met que f(t) modélise le nombre d’emplois créés, en milliers d’emplois, et
que g(t) représente le nombred’emplois supprimés, en milliers d’emplois, t
représentantletempsenannées.
Onadmetque,surcinqans,lavariationdunombred’emploisestdonnéepar:
Z5
I= [f(t)−g(t)]dt.
0
a. Calculer Ietdonnerlavariationdunombred’emplois surlescinqansà
ladizained’emploisprès.
Interprétercerésultat.
b. Déterminer, à l’aide de la question 3, le temps nécessaire, exprimé en
mois,pourquelenombred’emploiscrééssoitsupérieuraunombred’em-
ploissupprimés.
Polynésie 4 juin2003b
b
b
b
b
b
b
BaccalauréatESjuin2003
Annexeàrendreaveclacopie
Exercice1
30
30
29
28
28
27
26
26
25
24
24
23
22
22
21
20
20
19
18
18
17
16
16
15
14
14
13
12
12
11
10
10
9
88
7
6
6
5
4
4
3
2
2
1
00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 200 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Polynésie 5 juin2003BaccalauréatESjuin2003
Exercice2
Question1 VraiouFaux
a
b
c
Question2 VraiouFaux
a
b
c
Question3 VraiouFaux
a
b
c
Problème
5
C
4
3
2
1
→−

0
→−0 1 2 3 4 5
ı
Polynésie 6 juin2003