Sujet du bac ES 2005: Mathématique Obligatoire

Education Nationale

Description

Fonctions, Probabilités
Sujet du bac 2005, Terminale ES, Liban

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2005
• Nombre de lectures: 86
• Langue: Français

Extrait

[ BaccalauréatESLiban6juin2005\
EXERCICE1 5points
Communàtouslescandidats ³ ´
→− →−
Dansunrepèreorthonormalduplan O, ı ,  d’unitésgraphiques2cm,lacourbe
(Γ), tracée ci-dessous, est la représentation graphique d’une fonction g définie et
dérivablesurl’intervalle[0;3,5].
−→ →− −→ →−
• IetJsontlespointsduplantelsqueOI = ı etOJ =  ;d• Cestlepointde(Γ)situésurlabissectricedel’angleIOJ;
• (OA)estlatangenteenOà(Γ);
• S estlasurfacehachuréesurlafigureci-dessous:
B2 A
C
(Γ)
1
J
0
O 0 1 2 3 4I
1. Parlecturegraphique,répondreauxquestionssuivantes:
a. Quelestletableaudevariationsdeg sur[0;3,5]?
′ ′b. Quellessontlesvaleursdeg (0)etdeg (1)?
c. QuellessontlescoordonnéesdupointC?
d. Résoudrel’inéquation g(x)>x sur[0;3,5].
2. Définir la surfaceS par un système d’inéquations et déterminer graphique-
2mentunencadrementdel’airedeS d’amplitude2cm .
(B+b)×h
Rappel : l’aire d’un trapèze est donnée par la formule :A = où B
2
et b sontlesbasesdutrapèzeet h sahauteur.
3. On suppose que l’une des trois courbes ci-dessous est la représentation gra-
phique de la primitive de la fonction g s’annulant en 0. En justifiant l’élimi-
nationdedeuxdescourbes,indiquercellequiestlareprésentationgraphique
decetteprimitive.
3 3 3
o o oCourben 1 Courben 2 Courben 3
2 2 2
1 1 1J J J
0 0 0
O 0 1 2 3 4O 0 1 2 3 O4 0 1 2 3 4I I IBaccalauréatES6juin2005
EXERCICE2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Un fournisseur d’accès à internet, souhaite faire une prévision du nombre de ses
abonnéspourl’année2005; ilétablitunrelevédunombredesabonnésdesannées
2000à2004.
Ilaffectel’indice100àl’année2000pourétablirlastatistiquedesabonnésetconsigne
lesdonnéessurletableauetlegraphiqueci-dessous:
Année 2000 2001 2002 20003 2004
Rangx 1 2 3 4 5i
Indicey 100 112 130 160 200i
250
200
150
100
1 2 3 4 5 6
PartieA
1. Lenombred’abonnésétaitde2040pourl’année2000,decombienest-ilpour
l’année2004?
2. Quel est le pourcentage d’augmentation dunombre d’abonnés entre 2003 et
2004?
3. Quelle est l’équation dela droitede régression de y en x par la méthode des
moindrescarrés?
4. Quelles prévisions du nombre d’abonnés peut-on faire pour les années 2005
et2010?
Onarrondiraàl’entierleplusproche.
PartieB
Le fournisseur décide d’utiliser un changement de variable pour obtenir un autre
ajustement,ilcréeunnouveautableauenposantY =ln(y).
−21. Recopieretcompléterletableau.Ondonneradesvaleursapprochéesà 10 .
x 1 2 3 4 5i
Y =lnyi i
2. Dansleplanmunid’unrepère,construirelenuagedepointsdecoordonnées
(x ; Y )etladroitederégressiondeY enx donnéeparl’équation:i i
Y =0,17x+4,39.
3. Exprimerlenombred’abonnésn enfonctiondurangx del’année.i i
4. Endéduireunenouvelleprévisiondunombred’abonnéspourlesannées2005
et2010.
Liban 2BaccalauréatES6juin2005
EXERCICE2 5points
Pourlescandidatsayantsuivilaspécialitémathématique
UtiliserleDOCUMENTRÉPONSEDONNÉENANNEXE
³ ´
→− →− →−
Dansl’espacemunid’unrepèreorthonormal O, ı ,  , k ,ondésigneparS l’en-
semble des points M(x ; y ; z) de l’espace tel que z=3xy. On ditS est la surface
d’équation z=3xy.
Une courbedeniveau decote z est l’intersection d’un plan d’équation z=z , pa-0 0
rallèleauplan(xOy)aveclasurfaceS .Ondéfinitdefaçonidentiqueunecourbede
niveaud’abscissex etunecourbedeniveaud’ordonnée y .0 0
3
1. Soientlescourbesdeniveaud’abscisse1,d’abscisse etd’abscisse2.
2
Tracer les projections orthogonales de ces courbes de niveau dans le plan
(yOz)surlafigure1dudocumentréponse.
2. a. Quelleestlanaturedescourbesdeniveaud’abscisseconstante?
b. Montrerquelescourbesdeniveaudecoteconstantenonnullesontdes
hyperboles.
3. Sur la figure 2 sont représentées trois courbesC , C etC représentant les1 2 3
projections orthogonales dans le plan (xOy) de trois courbes de niveau de
coteconstantek.
Préciser,enlejustifiant,lavaleurdek associéeàchaquecourbe.
′4. Le point A représenté sur la courbeC de la figure2 est la projection ortho-2
gonaledansleplan(xOy)d’unpointA(x ; y ; z),delasurfaceS .³ ´
→− →− →−
a. DéterminerlescoordonnéesdupointAdanslerepère O, ı ,  , k .
′′b. Préciser les coordonnées du point A , projeté orthogonal de A dans le
′′plan(yOz),puisplacercepointA surlafigure1.
5. SoitP lepland’équation3x+6y−z−6=0.
a. MontrerquelepointAappartientauplanP.
b. MontrerqueleplanP contientlacourbedeniveaud’abscisse2.
c. Démontrerquel’intersectiondelasurfaceS etduplanP estlaréunion
dedeuxdroites:lacourbedeniveaud’abscisse2etuneautredroiteque
l’ondétermineraparunsystèmed’équationscartésiennes.
Onpourrautiliserlafactorisationx+2y−xy−2=(x−2)(1−y).
EXERCICE3 5points
Communàtouslescandidats
oTableaud’informationsn 1.
1
x −∞ −1 2 2 +∞
Signedeu(x) + +0 − − 0
′Signedeu (x) − − 0 + +
Liban 3BaccalauréatES6juin2005
oLe tableau d’informations n 1 ci-dessus fournit des informations sur une fonction
u définieetdérivablesurR.
1. Établiruntableaudesvariationsdelafonctionu.
On considère maintenant les fonctions f et g définies par f(x)=ln[u(x)] et
u(x)g(x)=e oùu désignelafonctiondelaquestionprécédente.
2. a. Unedesdeuxaffirmationssuivantesestfausse,laquelle?Justifierenpré-
cisantlebonensemblededéfinition:
Affirmation1:«Lafonction f estdéfiniesurR»;
Affirmation2:«Lafonction g estdéfiniesurR».
b. Donnerlesvariationsdesfonctions f etg.Énoncerle(s)théorème(s)uti-
lisé(s).
c. Déterminer,enjustifiantavecsoin,limf(x)
x→2
x>2
d. RésoudredansRl’équation g(x)=1.
′3. Voicid’autresinformationsrelativesàlafonctionu etàsadérivéeu .
oTableaud’informationsn 2.
1
x −2 0 2 3
2
9
u(x) 4 −2 − 0 4
4
′u (x) −5 1 0 3 5
Terminer chacune des deux phrases a. et b. par la réponse qui vous semble
exacte, parmi celles proposées dans les cadres ci-dessous, en justifiant votre
choix.
a. La tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d’abs-
cisse2estparallèle:
• àl’axedesabscisses • àladroited’équation • àladroited’équation
y=x y=3x
′b. Lenombre f (−2):
4 5 5
• n’existepas • vaut−20 • vaut− • vaut− • vaut
5 4 4
EXERCICE4 6points
Communàtouslescandidats
On propose aux élèves, Quentin, Nicolas et Lucien de répondre à un Q.C.M. com-
portantquatrequestionsdontvoicilebarèmeetlesinstructions:
Pourchaquequestion,uneseuledesquatrepropositionsA,B,CouDestexacte.
L’élèverecopiesursafeuilleunegrillederéponsesprésentéecommeci-dessous:
Question Réponse:
A,B,C,D
1
2
3
4
Unebonneréponserapporte1point;unemauvaiseréponseenlève0,5point.
L’absencederéponsen’apportenin’enlèveaucunpoint.
Siletotaldepointsestnégatif,lanoteglobaleattribuéeàl’exerciceest0.
Lestroiscandidatsrépondentcorrectementàlapremièrequestion.
Liban 4BaccalauréatES6juin2005
o1. Quentinchoisitdenepasrépondreàlaquestion 2etdedonneruneréponse
àchacunedesdeuxdernièresquestions, enchoisissantauhasardetdefaçon
équiprobable,l’unedesquatreréponsesproposées.
a. Quellesnotespeut-ilobteniràceQ.C.M.?
b. Combiendegrillesdifférentespeut-ilremplir?
c. Quelleprobabilitéa-t-ildenefaireaucunefaute?
d. Quelleprobabilitéa-t-ildefairedeuxfautes?
e. Construireuntableauquiassocie,àchaquetotaldepoints,saprobabi-
lité.Endéduirel’espérancemathématiquedelanoteobtenue.
2. Nicolas adopte la stratégie de donner une réponse à chacune des trois der-
nières questions en choisissant auhasardetdefaçonéquiprobablel’une des
quatreréponsesproposées.
a. Quellesnotespeut-ilobteniràceQ.C.M.?
b. Combiendegrillesdifférentespeut-ilremplir?
c. Quelleprobabilitéa-t-ildenefaireaucunefaute?
d. Quelleprobabilitéa-t-ildefairetroisfautes?
e. Construireuntableauquiassocie,àchaquetotaldepoints,saprobabi-
lité.Endéduirel’espérancemathématiquedelanoteobtenue.
3. Lucienchoisitdenerépondreàaucunedestroisdernièresquestions.
ClasserlesstratégiesdeQuentin,NicolasetLucien.
Liban 5BaccalauréatES6juin2005
ANNEXE
DOCUMENTRÉPONSEÀRENDREAVECLACOPIE
(Exercice2spécialité)
8 Figure1y
7
6
5
4
3
2
1
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x10O 1
Figure2y
4
3
2
′A1
1 C3
C2
C1
0
O 0 1 2 3 4 5 6x1
Liban 6