Sujet du bac ES 2006: Mathématique Obligatoire

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Probabilités, Etudes de Courbes, Suites
Sujet du bac 2006, Terminale ES, Métropole

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatESFrance15juin2006\
EXERCICE 1 3points
Commun touslescandidats
Soit f unefonctiondéfinieetdérivablesur l’intervalle [−3; +∞[,croissantesurles
intervalles[−3;−1]et[2;+∞[etdécroissantesurl’intervalle[−1; 2].
′Onnote f safonctiondérivéesurl’intervalle[−3;+∞[.
La courbe Γ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans un repère³ ´
→− →−
orthogonal O, ı ,  .
Elle passe par le point A(−3 ; 0) et admet pour asymptote la droite Δ d’équation
y=2x−5.
15
y14
14
13
13
12
12
Γ
11
11
Δ10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
55
4
4
3
3
2
2
1
1
xA 0
-3 -2 -1 0O 1 2 C 3 4 5 6 7 8 9 10-1−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
-2
−2
-3
−3
-4
−4
-5
−5
B-6
−6
Pourchacunedesaffirmationsci-dessous,cocherlacaseV(l’affirmationestvraie)
oulacaseF(l’affirmationestfausse)surl’ANNEXE,àrendreaveclacopie.
Lesréponsesneserontpasjustifiées.
NOTATION:uneréponseexacterapporte0,5 point;uneréponseinexacteenlève0,25
point l’absence de réponse ne rapporte aucun point et n’en enlève aucun. Si le total
despoints estnégatif,la noteglobaleattribuéeà l’exerciceest 0.
a.L’équation f(x)=4admetexactementdeuxsolutionsdansl’intervalle
[−3;+∞[.
b. lim f(x)=+∞.
x→+∞
c. lim [f(x)−(2x−5)]=+∞.
x→+∞
′d.f (0)=−1.
′e. f (x)>0pourtoutnombreréel x appartenantàl’intervalle[−2; 1].BaccalauréatES
Z1
f. f(x)dx>7.
−1
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
La médiathèque d’une université possède des DVD de deux provenances, les DVD
reçusendotationetlesDVDachetés.Parailleurs,ondistinguelesDVDquisontde
productioneuropéenneetlesautres.
OnchoisitauhasardundecesDVD.Onnote:
Dl’évènement «leDVDaétéreçuendotation»etDl’évènement contraire,
Ul’évènement«leDVDestdeproductioneuropéenne»etUl’évènementcontraire.
On modélise cette situation aléatoire par l’arbre incomplet suivant dans lequel fi-
gurentquelques probabilitésparexemple, laprobabilitéqueleDVDaitétéreçuen
dotationest p(D)=0,25.
0,65 UD
0,25
U
U
D U
Ondonne,deplus,laprobabilitédel’évènementU: p(U)=0,762 5.
LespartiesAetBsontindépendantes
PARTIEA
1. a. DonnerlaprobabilitédeUsachantD.
b. Calculer p(D).
2. a. Calculer la probabilitéque le DVD choisi ait été reçuendotation et soit
deproductioneuropéenne(donnerlavaleurexacte).
b. Montrer que la probabilité que le DVD choisi ait été acheté et soit de
productioneuropéenneestégaleà0,6.
3. Sachant que le DVD choisi a été acheté, calculer la probabilité qu’il soit de
productioneuropéenne.
PARTIEB
OnchoisittroisDVDauhasard.OnadmetquelenombredeDVDestsuffisamment
grand pour que ce choix soit assimilé à trois tirages successifs indépendants avec
remise.Onrappelle quelaprobabilitédechoisirunDVDreçuendotationestégale
à0,25.
Déterminerlaprobabilitédel’évènement :«exactementdeuxdestroisDVDchoisis
ontétéreçusendotation».(Donnerlavaleurdécimalearrondieaumillième).
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190
milliers d’habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se dé-
placentseulsdansleurvoiture,lesautrespratiquentleco-voiturage.Onadmetque:
– si une année un habitant pratique le co-voiturage, l’année suivante il se dé-
placeseuldanssavoitureavecuneprobabilitéégaleà0,6;
France 2 15juin2006
bbbbbbbBaccalauréatES
– si une année un habitant se déplace seul dans sa voiture, l’année suivante il
pratiqueleco-voiturageavecuneprobabilitéégaleà0,35.
Premièrepartie
On note C l’état «pratiquer le co-voiturage» et V l’état «se déplacer seul dans sa
voiture».
1. Dessiner un grapheprobabilistedesommets CetVqui modélise la situation
aléatoiredécrite.
2. En considérant C et V dans cet ordre,en ligne, la matrice de transition asso-µ ¶
0,40 0,60
ciée à ce ( graphe est M= . Vérifier que l’état stable du système
0,35 0,65
correspondàlamatriceligne(70 120).
Endonneruneinterprétation.
Deuxièmepartie
En 2000, 60 milliers d’habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d’habi-
tantssedéplaçaientseulsdansleurvoiture.
Onappelle X (n entiernaturel)lenombredemilliersd’habitantsquipratiquentlen
co-voituragedurantl’année2000+n.Onadonc X =60.0
Onadmetquepourtoutentiernatureln, X =0,05X +66,5.n+1 n
Onconsidèrelasuite u ,définiepourtoutentiernatureln parU =X −70.( )n n∈N n n
1. Prouver que la suite (u ) est une suite géométrique. Préciser sa raison etn n∈N
sonpremierterme.
n2. Montrerquepourtoutentiernatureln, X =70−10×0,05 .n
Est-ilpossibleque,durantuneannée,lenombred’habitantspratiquantleco-
voiturageatteignelamoitiédelapopulationdecetterégion?
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
Lesdeuxpartiesdel’exercicesontindépendantes
Letableauci-dessousdonnelaconsommationmédicale(expriméeenmilliardsd’eu-
ros)delapopulationd’unpays:
Année 1990 1995 2000 2001 2002 2003
Rangdel’année x 0 5 10 11 12 13i
Consommation y 38 49,1 51,81 57 62,7 68,97i
D’aprèsINSEE
PARTIEA
Lebutdecettepartieestdemettreenoeuvredeuxmodélisationsdecetteconsom-
mationmédicale.
1. Premiermodèle
a. Onutiliseunajustementaffine.Donner,àl’aidedelacalculatrice,l’équa-
tion de la droite de régression de y en x, obtenue par la méthode des
moindres carrés. Pour chacun des coefficients, donner la valeur déci-
malearrondieaucentième.
b. En supposant que l’évolution se poursuive selon cemodèle, en déduire
uneestimation delaconsommationmédicaleenmilliardsd’eurospour
l’année2008(donnerlavaleurdécimalearrondieaucentième).
2. Deuxièmemodèle
France 3 15juin2006BaccalauréatES
a. Calculerl’accroissementrelatifdelaconsommationmédicaledel’année
2000àl’année2001,puisdel’année2001àl’année2002(donnerlavaleur
décimalearrondieaudixième).
b. Àpartirdel’année2000,onmodéliselaconsommationmédicalepar:
ny = 51,81×1,1 pour l’année 2000+n avec n entier naturel. En utili-
sant ce deuxième modèle, en déduire une estimation de la consomma-
tion médicale en milliards d’euros pour l’année 2008 (donner la valeur
décimalearrondieaucentième).
PARTIEB:Réductiondesdépenses
Pour l’année 2005, la consommation médicale réelle s’est élevée à 83,44 milliards
d’euros.Ilaétédécidéderéduirelesdépensesetdelesrameneren2006à69,79mil-
liardsd’euros.
De quel pourcentage (arrondi à 1%) la consommation médicale doit-elle baisser
pouratteindrecetobjectif?
Rappeldedéfinitions
Ondésignepar a et a desnombresréelsstrictementpositifs a >a .1 2 2 1
L’accroissementabsolude a à a estégalà a −a .1 2 2 1
a −a2 1L’accroissementrelatifde a à a estégal .1 2
a1
EXERCICE 4 7points
Communàtouslescandidats
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle[0;+∞[par
1x−3f(x)=e −
x+4
PARTIEA
′1. La fonction f est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[, on note f sa fonction
dérivée.
′Calculer f (x)pourtoutnombreréel x appartenantàl’intervalle[0;+∞[.
2. Endéduirequelafonction f eststrictementcroissantesurl’intervalle[0;+∞[
3. Déterminer lim f(x).
x→+∞
4. a. Dresserletableaudevariationsdelafonction f surl’intervalle[0;+∞[.
b. Onadmetqu’ilexisteununiquenombreréelpositifαtelque f(α)=0.
Donnerlesignedelafonction f surl’intervalle[0;+∞[.
5. a. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant (donner les va-
leursdécimalesarrondiesaudix-millième)
x 1,32 1,325 1,33
f(x)
b. En déduire la valeur décimale, arrondie au centième, du nombre α tel
que f(α)=0.
PARTIEB
1. Soit g lafonctiondéfiniesurl’intervalle[0;+∞[par
x−3g(x)=e −ln(x+4)
France 4 15juin2006BaccalauréatES
′a. La fonction g est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[. On note g sa fonc-
′tion dérivée. Calculer g (x) pour tout nombre réel x appartenant à l’in-
tervalle[0;+∞[
b. Étudier lesensdevariationsdela fonction g surl’intervalle [0; +∞[en
utilisantlesrésultatsdelaPARTIEA.Z3
2. Calculerl’intégraleI= f(x)dx.
0
(Donnerlavaleurexacte,puislavaleurdécimalearrondieaucentième).
France 5 15juin2006BaccalauréatES
ANNEXE
EXERCICE1