Sujet du bac ES 2006: Mathématique Obligatoire

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Description

Probabilités, Courbes, Suites
Sujet du bac 2006, Terminale ES, Réunion

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 65
• Langue: Français

Extrait

BaccalauréatESLaRéunionjuin2006
EXERCICE1 4points
Commun touslescandidats
Le tableau suivant donne l’évolution de la vente de pots de plantes vertes en
milliersdepotsenFrance,de1999à2004.
Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Rang x del’année 1 2 3 4 5 6i
Nombre depotsdeplantes 5 702 5 490 5 400 5 319 5 200 5 180i
(enmilliers depots)
Ventedepotsdeplantes
5800
5700
5600
5500
5400
5300
5200
5100
01234567
année
Pour ce nuage de points, un ajustement affine ne semble pas adapté. On cherche
alorsunajustement exponentiel.
1. Onpose z =lny .i i
a. Calculerlesvaleursz ,dutableauassociéesauxrangsx ,enarrondissanti i
au centième et pour i variant de 1 à 6. On portera ces valeurs dans le
tableausituésurl’annexe 1.
b. Construire,surunefeuilledepapiermillimétré,lenuagedepointsN (x ; z ),i i i
danslerepèreorthogonaldéfinidelamanièresuivante:
– sur l’axe des abscisses, on place O à l’origine et on prend 2 cm pour
représenter1année
– surl’axedesordonnées,onplace8,50àl’origineetonprend1cmpour
représenter0,01.
2. a. Àl’aidedelacalculatrice,détermineruneéquationdeladroited d’ajus-
tement de z en x, obtenue par la méthode des moindres carrés (on ne
demande pas le détail des calculs). Les coefficients seront arrondis au
centième.
b. Tracer la droite d danslerepèreprécédemmentdéfini.
Bxc. Determiner la relation entre y et z, sous la forme y = Ae , qui traduit
l’équation deladroited’ajustement d.LenombreA estarrondiàl’unité
etlenombreB arrondiaucentième,
BaccalauréatES
3. a. On suppose que l’évolution de la vente reste conforme à l’ajustement
calculéàlaquestion2.
Donneralorsuneestimationdunombredepotsqu’onpeutespérervendre
en2006,expriméenmilliersdepots(résultatarrondiàl’unité).
b. Une étude concurrente donne une estimation pour 2006 de 5 085 mil-
liersdepotsvendus.
Calculerladifférenceentrelesdeuxestimations.Quelpourcentagecette
différence représente-t-elle par rapport à la premiere estimation? (on
donneraunevaleurapprochéearrondieaucentièmedecerésultat).
EXERCICE2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Onconsidèrelasuitenumérique(u )définiepar:n

u = 12et1
1
u = u +5pourtoutentiernatureln1n+1 n
3
1
1. Utiliser les droites d’équations y = x et y = x+5 pour construire les quatre
3
premierstermesdelasuite(u ).n
(Cette construction est à faire sur le graphique de l’annexe3-exercice2-Spé-
cialité)
Quepeut-onconjectureràproposdelalimitedelasuite u ?( )n
15
2. Soitlasuite(v )définie,pourtoutentiernatureln1,par: v =u − .n n n
2
1
a. Démontrerquelasuite(v )estunesuitegéométriquederaison .n
3
b. Exprimeralors v enfonctionden.n
c. Déterminer la limite de la suite (v ) puis en déduirela limite de la suiten
(u ).n
3. Est-ilpossiblededéterminern desorteque:
15
−6a. u − 10 ?n
2
15
6b. u − 10 ?n
2
EXERCICE2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Uneentreprisedetransportsroutiersdisposede16camionsdont:
• 9sontconsidéréscomme«anciens»
• 4sontconsidéréscomme«récents»
• 3sontconsidéréscomme«neufs».
PartieA
L’entreprise décide d’observer l’état des 16 camions pendant une période donnée.
Onsaitdeplusque,pendantcettepériode,laprobabilitéque:
• uncamion«ancien»aitunepanne,estégaleà0,08
• uncamion«récent»aitunepanne,estégaleà0,05
• uncamion«neuf»aitunepanne,estégaleà0,002 5.
Onchoisitauhasarduncamionparmiles16.Onnotelesévènements suivants:
A:«lecamionestancien»
R:«lecamionestrécent»
N:«lecamionestneuf»
D:«lecamionaunepanne».
LaRéunion 2 juin2006BaccalauréatES
1. Construireunarbrepondérédécrivantleséventualitésassociéesauchoixd’un
camion.
2. Calculer la probabilité que le camion choisi soit récent et ait une panne (on
donnera, pour cette question et les deux suivantes, à chaque fois une valeur
−4approchéedurésultatarrondieà10 près)
3. Calculerlaprobabilitéquelecamionchoisiaitunepanne.
4. Calculerlaprobabilitéquelecamionsoitneufsachantqu’iln’apasdepanne.
PartieB
Danscettepartie,ons’intéresseseulement auxcamions«neufs».
(ondonnera,pourchacunedesquestionssuivantes,unevaleurapprochéedurésultat
arrondieaumillième).
Un camion peut être indisponible pour des raisons de matériel ou de personnel.
Chaque camion neuf a defaçon indépendante une probabilité d’indisponibilité de
0,01.
Déterminerlaprobabilitépourqu’unjourdonné:
1. touslescamions«neufs»soientindisponibles (évènementT)
2. uncamion«neuf»aumoinssoitindle(évènementM)
3. deuxcamions«neufs»exactementsoientdisponibles(évènement S).
EXERCICE3 6points
Communàtouslescandidats
Onareprésentéci-dessous,dansunrepèreorthonormal,lacourbereprésentativeΓ
d’une fonction g définieetdérivablesurR.LacourbeΓpassepar lespoints O(0; 0)
etA(2;2).
Ladroite(AB)estlatangenteenAàlacourbeΓ.LatangenteàΓaupointCd’abscisse
1estparallèleàl’axedesabscisses.
5
4
4
3
3 C
2 A
2
1
1
B0
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
−2 −1 1234567
-1
−1
-2
−2
-3
−3
-4
−4
-5
−5
1. Déterminergraphiquement lesvaleursdeg(0), g(2), g (1), g (2).
LaRéunion 3 juin2006BaccalauréatES
2. Une des représentations graphiques présentées sur l’annexe 2, représente la
fonctiondérivée g deg etuneautrereprésenteuneprimitiveG deg surR.
Déterminerlacourbeassociéeàlafonctiong etcelleassociéeàG;vousjusti-
fierezvotrechoixàl’aided’argumentsbaséssurl’examendesreprésentations
graphiques.
bx+c3. Onsuppose quelafonction g estdelaforme: g(x)=(x+a)e où a, b etc
sontdesnombresréels.
a. Démontrerque a=0etquec=−2b.
b. Déterminer g (x)enfonctiondeb etde x.
c. Calculeralorslesvaleursdeb etdec.
2−x4. DémontrerquelafonctionG définieparG(x)=−(x+1)e estuneprimitive
deg surR.
5. Calculer l’aireK , exprimée en unités d’aire, de la partie du plan comprise
entrel’axedesabscisses,lacourbeΓetlesdroitesd’équations x=2etx =3.
EXERCICE4 5points
Communàtouslescandidats
Cetexerciceest unQ.C.M. (QuestionnaireàChoix Multiples). Chaque question ad-
met une seule réponse exacte. On portera la réponse dans le tableau prévu en an-
nexe(Annexe1).
Barème : une bonne réponse rapporte 0,5 point; une mauvaise réponse enlève 0,25
point. L’absencederéponsen’apporte,ni n’enlèvedepoint. Siletotaldepoint estné-
gatif,lanoteglobaleattribuéeàl’exerciceestramenéeà0.
−x1. L’expression f(x)=x(1+e )+1peutaussis’exprimerainsi:
−x xa. f(x)=lne+e (x+xe )
−xb. f(x)=xe
−x xc. f(x)=xe +1+e
2. Deuxfonctions u et g sontconnuesparleurstableauxdevariations.
x −∞ −13 +∞
+∞4
u(x) 2
−2
x −∞ −22 +∞
+∞
0
g(x)
−1
−∞
Onaalors:
LaRéunion 4 juin2006BaccalauréatES
a. g[u(−1)]=−1
b. g[u(−2)]=−2
c. g[u(−1)]=−2
3. Enconsidérantlesfonctions u et g précédentes,ona:
a. lim g[u(x)]=4
x→+∞
b. lim g[u(x)]=−∞
x→+∞
c. lim g[u(x)]=+∞
x→+∞
4. Enconsidérantlafonction g delaquestion2,l’équation g(x)=3admet:
a. exactementunesolutionsur[−4;2]
b. exactementunesolutionsur[−3;+[
c. exactementunesolutionsur]−∞; −2]
5. Direqueladroited’équationy =x−1estasymptoteobliqueen+∞àlacourbe
représentatived’unefonction f dansunrepèreduplan,revientàdireque:
a. lim f(x)=−1
x→+∞
b. lim[f(x)−(x−1)]=+∞
x→0
c. lim [f(x)−(x−1)]=0
x→+∞
2
−x +16. Lafonction g définiesurRpar g(x)=e est:
2
−x +1a. uneprimitivedelafonctionquià x associe:−xe
21−xb. uneprimitivedelafonctionquià x associe:−2xe
21−xc. ladérivéedelafonctionquià x associe:−2xe
7. Une fonction f estconnueparsontableaudevariations:
x −∞ 35 +∞
f (x)
+ 0 − 0 +
+∞
1+e
f(x)
−∞ 1
Soit F uneprimitivedelafonction f surR.Onpeutaffirmerque:
a. F estcroissantesur]−∞;3]
b. F estpositivesurR
c. F estcroissantesur[3;5]
2x −3x+1
8. Lafonction f définiesurR−{4}par: f(x)= apourreprésentation
x−4
graphiquelacourbeC,dansunrepèredonné.Onpeutdirealorsque:
a. ladroited’équation y =x+1estasymptoteobliqueàC en+∞.
b. ladroited’ x=−4estasymptoteverticaleàC
c. ladroited’équation x =4estasymptotehorizontaleàC en+∞.
9. Pour toute fonction f continue et positive sur [−1;1]siC est la courbe re-