Sujet du bac ES 2008: Mathématique Spécialité
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Description

Nuage de points, suites récurrentes, QCM sur les limites de fonctions, étude de fonction et de primitive.
Sujet du bac 2008, Terminale ES, Afrique

Sujets

Informations

Publié par
Publié le 01 janvier 2008
Nombre de lectures 33
Langue Français

Exrait

Durée:3heures
[BaccalauréatESCentresétrangers17juin2008\
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
Une association organise chaque année un séjour qui s’adresse à des adultes han-
dicapés.Àsacréationen1997,dixadulteshandicapéssontpartisdurantcinqjours.
Ainsi,ondiraqu’en1997lenombrede«journéesparticipant»estde5×10soit50.
Letableausuivantdonnelenombrede«journéesparticipant»de1997à2004.L’an-
née1997alerang0.
Années 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Rangdel’année: x 0 1 2 3 4 5 6 7i
Nombre de « journées 50 130 200 240 250 280 300 320
participant»: yi
1. Calculerlepourcentaged’augmentationdunombrede«journéesparticipant»
de1997à2000,puisceluide2000à2001
2. Cesdonnéessontreprésentéesparlenuagedepointsci-joint.
350
300
250
200
150
100
50
0
0 2 4 6 8
On considère qu’un ajustement affine n’est pas pertinent. L’allure du nuage
suggère de chercher un ajustement de y en x dela forme y=kln(ax+b) où
yi
100k, a etb sonttroisnombresréels.Pourcelaonpose:z =e .i
Danscettequestionlescalcul.seronteffectuésàlacalculatrice.Aucunejus-
tificationn’estdemandée.Lesrésultatsserontarrondisaucentième.
a. Recopieretcompléterletableausuivant:
rrrrrrrrBaccalauréatES
Rangdel’année: x 0 1 2 3 4 5 6 7i
Nombre de « journées 50 130 200 240 250 280 300 320
participant»: yi
yi
100z =e 1,65i
b. Représenterlenuagedepointsassociéàlasérie(x ; z )dansunrepèrei i
orthononnal(unités:1cm)
c. Donner les coordonnées du point moyen et placer ce point sur le gra-
phiqueprécédent.
d. Déterminer une équation de la droite (D) d’ajustement affine de z en
x par la méthode des moindres carrés. Représenter la droite (D) sur le
graphiqueprécédent
yi
100e. Sachantque z =e déterminerl’expressionde y enfonctiondex.i
3. Onsupposequel’évolutiondunombrede«journéesparticipant»sepoursuit
dansunfuturprochcselonlemodèleprécédent.
a. Estimer, à l’unité près, quel serait le nombre de «journées participant»
prévupourl’année2007.
b. En réalité, le nombre de «journées participant» en 2007 a été de 390.
Si l’écart en valeur absolue entre la valeur estimée et la valeur réelle est
inférieureà10%delavaleurréelle,onconsidèrequelemodèleestper-
tinent.Est-celecas?
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Unmagasin desportpropose àlalocation desskisdepiste, dessnowboardset des
skisderandonnée.
Son matériel est constitué de 50% deskis depiste, le reste étant également réparti
entrelessnowboardsetlesskisderandonnée.
Aprèslajournéedelocation,lematérielestcontrôléetéventuellement réparé.
Ilaétéconstatéquelamoitiédesskisdepiste,deuxtiersdessnowboardsetlequart
desskisderandonnéenécessitentuneréparation.
Chaque paire de ski et chaque snowboard est répertorié sur une fiche qui précise
sonsuivi.Ontireauhasardunefiche.Onconsidèrelesévènementssuivants:
Sp:«Laficheestcelled’unepairedeskisdepiste»;
Sn:«Laficheestcelled’unsnowboard»;
Sr:«Laficheestcelled’unepairedeskisderandonnée»;
R:«Lematérielnécessiteuneréparation»;Restsonévènementcontraire.
Touslesrésultatsdesquatrepremièresquestionsserontdonnéssousformedefractions
irréductibles.
1. Traduire toutes les données de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré (on ne
demandeaucuneexplication).
2. Calculerlaprobabilitéquelafichetiréeconcerneunepairedeskisdepistene
nécessitantpasuneréparation.
3. Calculer laprobabilité que la fichetirée concernedumatériel ne nécessitant
pasuneréparation.
4. Lafichetiréeconcernedumatérielayantnécessitéuneréparation.
Quelleestlaprobabilitéquecetteficheconcerneunsnowboard?
Centresétrangers 2 17juin2008BaccalauréatES
5. Lespairesdeskisdepiste,derandonnée,ainsiquelessnowboardssontloués
30€pourlajournée.
Quelle est l’espérance de gain sur le matériel loué sachant que chaque répa-
rationcoûte20€auloueur?
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Dansunvillage,l’association degymnastique volontairepossédait50adhérentsen
2000.
Depuis cette date, la trésorière a remarqué que chaque année elle reçoit 18 nou-
vellesadhésionsetque85%desanciensinscritsrenouvellentleuradhésion.
Onnote a lenombred’adhérentspourl’année2000+n;n
onadonca =50et a =0,85a +18pourtoutentiernatureln.0 n+1 n
1. Soitlasuite(u )définieparu =a −120pourtoutn>0.n n n
estunesuitegéométriquedontonpréciseralaa. Montrerquelasuite(u )n
raisonetlepremierterme.
nb. Démontrerque,pourtoutentiernatureln, a =120−70×0,85 .n
c. Déterminerlalimitedelasuite a quandn tendversl’infini.Interpré-( )n
tercerésultat.
2. Chaquesemaine,60%desadhérentss’inscriventpouruneheuredegymnas-
tiqueet40%pourdeuxheuresdegymnastique.
a. Exprimerenfonctionden lenombred’heuresdegymnastiqueàprevoir
parsemainepourl’an2000+n.
b. Uneséancedegymnastiquedureuneheureetestlimitéeà20personnes.
On veut déterminer àpartir de quelle année l’association devra prévoir
plus de 8 séances par semaine. Démontrer qu’alors n doit vérifier l’in-
néquation98×0,85 <8.
Résoudrecetteinéquationetconclure.
Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’ini-
tiativemêmenonfructueuseserapriseencomptedansl’évaluation.
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
Cet exerciceest un Q. C. M. (Questionnaireà Choix Multiples). Chaque question ad-
met une seule réponse exacte : a, b ou c. Pour chacune des questions indiquer sur la
copielenumérodelaquestionetlalettrecorrespondantàlaréponsechoisie.Aucune
justificationn’estdemandée.
Barème : une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25
point. L’absencede réponsene rapporteni n’enlève de point. Si le total des points est
négatif,lanoteglobaleattribuéeàl’exerciceestramenéeà0.
Centresétrangers 3 17juin2008BaccalauréatES
QUESTIONS RÉPONSES
D’uneannéesurl’autre,unproduitperd10%desavaleur. a. 7années
Q1 Leproduitaperduaumoins70%desavaleurinitialeau b. 11années
boutde: c. 12années
8Dansuneexpériencealéatoire,laprobabilitéd’un a. (0,4)
8Q2 évènementAestégaleà0,4.Onrépètehuitfoiscette b. (0,6)
8expériencedefaçonindépendante.Laprobabilitéque c. 1−(0,6)
l’évènementAseréaliseaumoinsunefoisestégaleà:
a. F(0)=1
F estlaprimitivequis’annuleen1delafonction f définie 4Q3 2 b. F(0)=−surRpar f(x)=x +1.Ona 3
4
c. F(0)=
3
3x a. 0f estlafonctiondéfiniesurRpar f(x)=e .Onappelle(C)
Q4 b. 1lacourbereprésentativede f dansunrepère.Latangente
c. 3(T )àlacourbe(C)aupointAd’abscisse0apourcoefficient
directeur:
Pour toutes les questions suivantes, on donne ci-dessous le tableau de variations
d’unefonction f définieetdérivablesur]−∞;−3[.Onappelle(C)sacourberepré-
sentativedansunrepère.
x −∞ −3 −2 2 3
+∞ +∞
0f(x) 0
−2
QUESTIONS RÉPONSES
a. f(0)<0
Q5 Onpeutaffirmerque: b. f(0)=0
c. f(0)>0
a. x=0
Lacourbe(C)admetpourasymptoteladroite
Q6 b. x=3
d’équation:
c. y=3
a. est−∞
g estlafonctiondéfinieparg(x)=ln[f(x)]sur
Q7 b. est+∞
l’intervalle]−∞;−3[.Lalimitedeg en−∞:
c. n’existepas
a. strictement décrois-
Q8 F désigneuneprimitivede f sur]−∞; 3[.F est: santesur]−∞; 3[
b. strictement décrois-
santesur]−3; 2[
c. strictementcroissante
sur]−2; 3[
EXERCICE 4 6points
Communàtouslescandidats
Onconsidèrelafonction f définiesur]−1;+∞[par
f(x)=−3x+4+8ln(x+1).
Onnote(C)sacourbereprésentativedansunrepèreorthonormal.
1. a. Calculer la limite de f en−1. Donner l’interprétation graphique du ré-
sultatobtenu.
Centresétrangers 4 17juin2008BaccalauréatES
ln(x+1)
b. Déterminerlalimitede f en+∞(onpourrautiliser lim =0).
x→+∞ x
5−3x
′ ′2. a. Onnote f ladérivéede f sur]−1;+∞[.Démontrerque f (x)= .
x+1
′b. Étudierlesignede f etdresserletableaudevariationsde f.Ondonnera
unevaleurarrondieaudixièmedumaximumde f sur]−1;+∞[.· ·
5
3. On se place dans l’intervalle ;+∞ . Démontrer que dans cet intervalle,
3
l’équation f(x)=0 admet une solution unique notée x . Donner une valeur0
−2approchéedex à10 près.0
4. a. VérifierquelafonctionF définiepar
3 2F(x)=− x −4x+8(x+1)ln(x+1)
2
estuneprimitivede f sur]−1;+∞[.
b. Calculer l’aire, exprimée en unités d’aire,dudomaine plan limité par la
courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 et x=5
(on donnera la valeur exacte de cette aire et une valeur approchée au
dixièmeprès).
Centresétrangers 5 17juin2008

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