Sujet du bac ES 2010: Mathématique Spécialité

Education Nationale

Description

QCM équation, limite d'une suite géométrique, probabilité et espérance mathématique, analyse de fonctions.
Sujet du bac 2010, Terminale ES, Afrique

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 71
• Langue: Français

Extrait

Bac ES – Centres trangers – juin 2010 EXERCICE 1(5 points) Commun  tous les candidats Pour chacune des questions, une seule des trois rponsesa,boucest exacte. Indiquer sur la copie le numro de la question et la lettre correspondant  la rponse choisie. Aucune justification nest demande. Une rponse exacte rapporte 1 point. Une rponse inexacte enlve 0,25 point. Labsence de rponse ne rapporte aucun point et nen enlve aucun. Si le total des points est ngatif, la note est ramene  0. 3x −− 2 1)Le nombre rel eest gale  : 3x e 3x2x3 a)b)ee –c) e 2 e 2 2)Lquation ln(x+x+ 1) = 0 admet sur: a)Aucune solutionb)Une seule solutionc)Deux solutions x−x 3)Lquation eadmet sur= e: a)Aucune solutionb)Une seule solutionc)Deux solutions 4)On considre une fonctiondfinie sur lintervalle [1 ;+∞[ vrifiant la proprit suivante : 1 Pour toutx∈[1 ;+∞[,(x)1. x On peut alors affirmer que : (x)(x)(x) a) lim= 0b) lim= 1c)= lim+∞ xxx x→ + ∞x→ + ∞x→ + ∞ 5)On considre deux fonctionsetgdfinies sur un intervalle I, telles quegest une primitive de la fonctionsur I. On suppose que la fonctiongest croissante sur I. Alors on peut affirmer que : a)La fonctiongest positive sur I. b)La fonctionest positive sur I. c)La fonctionest croissante sur I.

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EXERCICE 2(5 points) Candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit Le tableau ci-dessous indique lvolution de la dette en milliards deuros de ltat franais entre 1990 et 2004 : Anne 19901992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 Rang de lannex i 1 2 3 4 5 6 7 0 Dettey i en milliards deuros271,7 321,4443 540,1613,1 683,5 773,4 872,6 Source : INSEE Dans tout lexercice, on donnera des valeurs approches arrondies au dixime. Partie A: Etude statistique 1)Calculer la dette moyenne de ltat entre 1990 et 2004. 2)En prenant lanne 1990 comme rfrence (Indice 100), calculer les indices correspondant  la dette de ltat de 1992  2004. Donner la rponse sous forme dun tableau. 3)Dterminer le taux global dvolution de la dette de ltat entre 1990 et 2004. 4)Dterminer le taux moyen dvolution de la dette de ltat sur une priode de 2 ans. Partie B: Interpolation et extrapolation de donnes. On donne ci-dessous le nuage de points associ  la srie statistique (x i ;y i ).

La forme du nuage permet denvisager un ajustement affine. 1)En utilisant la calculatrice, donner une quation de la droite dajustement affine deyenx obtenue par la mthode des moindres carrs. 2)Selon cet ajustement,  partir de quelle anne peut-on estimer que ltat aurait dpass les 1 000 milliards de dette ? 3)Selon cet ajustement, dterminer lanne  partir de laquelle la dette de ltat sera le double de la dette de lan 2000.

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EXERCICE 2(5 points) Candidats ayant suivi lenseignement de spcialit Le nombre darbres dune fort, en milliers dunits, est modlis par la suite (u n ) ou n dsigne le nombre darbres, en milliers, au cours de lanne (2010 +n). En 2010, la fort possde 50 000 arbres. Afin dentretenir cette fort vieillissante, un organisme dentretien des forts dcide dabattre chaque anne 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres. 1)Montrer que la situation peut tre modlise par : u 0 = 50 et pour tout entier naturelnpar la relation :u n+1 = 0,95u n + 3. 2)On considre la suite (v n ) dfinie pour tout entier naturelnparv n = 60 –u n . a)Montrer que la suite (v n ) est une suite gomtrique de raison 0,95. b)Calculerv 0 . Dterminer lexpression dev n en fonction den. n c)Dmontrer que pour tout entier natureln,u n = 60 – 10(0,95). 3)Dterminer le nombre darbres de la fort en 2015. On donnera une valeur approche arrondie  lunit. n 4)a)Vrifier que pour tout entier natureln, on a lgalitu n+1 –u n .= 0,5(0,95) b)En dduire la monotonie de la suite. 5)Dterminer lanne  partir de laquelle le nombre darbres de la fort aura dpass de 10 % le nombre darbres de la fort en 2010. 6)Dterminer la limite de la suite (u n ). Interprter.

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EXERCICE 3(5 points) Commun  tous les candidats Pour une marque de tlphone portable donne, on sintresse  deux options de dernire technologie proposes, le GPS et le Wifi. Sur lensemble des tlphones portables, 40 % possdent loption GPS. Parmi les tlphones avec loption GPS, 60 % ont loption Wifi. On choisit au hasard un tlphone portable de cette marque et on suppose que tous les tlphones ont la mme probabilit dtre choisis. On considre les vnements suivants :  G: « le tlphone possde loption GPS ».  W: « le tlphone possde loption Wifi ». Dans tout lexercice, le candidat donnera les valeurs exactes. 1)Traduire les donnes chiffres de lnonc en termes de probabilit. 2)Reprsenter la situation  laide dun arbre pondr, qui sera complt tout au long de lexercice. 7 On suppose que la probabilit de W est :p(W) =. 10 3)Dterminer la probabilit de lvnement « le tlphone possde les deux options ». 23 4)Dmontrer quep G  (W) =. Complter larbre du2). 30 5)On choisit un tlphone avec loption Wifi. Quelle est la probabilit quil ne possde pas loption GPS ? Le cot de revient par tlphone dune option, pour le fabricant de tlphones, est de 12 euros pour loption GPS et de 6 euros pour loption Wifi. 6)Dterminer la loi de probabilit du cot de revient de ces deux options. 7)Calculer lesprance mathmatique de cette loi. Interprter ce rsultat.

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EXERCICE 4 (5points) Commun  tous les candidats On considre la fonctiondfinie sur ]0 ;+∞[ par(x) = 1 + ln(x).  On note  dans un repre du plan.la courbe reprsentative de  Le point A (e ; 2) appartient   et on note T e la tangente   au point A. Le point C est le point dintersection de la tangente T e et de laxe des abscisses. Le point E a pour coordonnes (e ; 0).  On admettra que sur ]0 ;+∞[,  reste en dessous de T e .

 1)a)Le point B est le point dintersection de  et de laxe des abscisses.  Calculerles coordonnes du point B. 1 b)Dmontrer que, pourx ,(x)0. e 2)a)Dterminer une quation de T e . b)En dduire les coordonnes du point C. c)Vrifier que les points E et C sont symtriques par rapport  O, origine du repre. On considre la fonctiongdfinie sur ]0 ;+∞[ parg(x) =xlnx. 3)a)Dmontrer que la fonctiongest une primitive de la fonctionsur ]0 ;+∞[. e  b)En dduire la valeur exacte de  (1 + lnx) dx. Interprter ce nombre.  1 e 4)Dans cette question, toute trace de recherche mme non aboutie sera prise en compte.  Dterminer la valeur exacte de laire, exprime en units daire, du domaine limit par  , T e et les droites parallles  laxe des ordonnes passant par B et E. Ce domaine est gris sur le graphique. Donner une valeur approche arrondie au millime de cette aire. ES-CentresEtrangers-juin10 Page5 sur 5