Sujet du bac ES 2010: Mathématique Spécialité

Education Nationale

Description

QCM calcul de probabilités, analyse graphique de fonction et de dévrivée, étude statistique et graphe probabiliste.
Sujet du bac 2010, Terminale ES, Liban

Sujets

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Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 57
• Langue: Français

Extrait

BaccalauréatESLiban
31mai2010
Exercice1 4points
Communàtouslescandidats
Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte. Indiquer
sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choi-
sie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une
réponse inexacte enlève 0,25 point. L’absence de réponse ne rapporteaucun point et
n’enenlèveaucun.Siletotaldespointsestnégatiflanoteestramenéeà0.
1. A etB sontdeuxévènementsindépendantsetonsaitque p(A)=0,5et
p(B)=0,2.
Laprobabilitédel’évènement A∪B estégaleà:
RéponseA:0,1 RéponseB:0,7
RéponseC:0,6 RéponseD:onnepeutpassavoir
2. Dans un magasin, un bac contient des cahiers soldés. On sait que 50% des
cahiersontunereliurespiraleetque75%descahierssontàgrandscarreaux.
Parmilescahiersàgrandscarreaux,40%ontunereliurespirale.
Adèle choisit au hasard un cahier à reliure spirale. La probabilité qu’il soit à
grandscarreauxestégaleà:
RéponseA:0,3 RéponseB:0,5
RéponseC:0,6 RéponseD:0,75
Dans les questions 3. et 4., on suppose que dans ce magasin, un autre bac
contientunegrandequantitédestylos-feutresenpromotion.Onsaitque25 %
de ces stylos-feutres sont verts. Albertprélève au hasard et de manière indé-
pendante3stylos-feutres.
−33. Laprobabilité,arrondieà10 près,qu’ilprenneaumoinsunstylo-feutrevert
estégaleà:
RéponseA:0,250 RéponseB:0,422
RéponseC:0,578 RéponseD:0,984
−34. La probabilité,arrondieà 10 près, qu’il prenneexactement 2stylos-feutres
vertsestégaleà:
RéponseA:0,047 RéponseB:0,063
RéponseC:0,141 RéponseD:0,500
Exercice2 5points
Communàtouslescandidats
Onconsidèrelafonction g définiesurRpar
axg(x)=x+ke oùk et a sontdesnombresfixés.
Sur la figuredonnée en annexe, la courbeC représentant la fonction g et la droite
D d’équation y=x sonttracéesdansunrepèreorthogonal(unités:2cmpourl’axe
desabscisses,1cmpourl’axedesordonnées).
Le point E a pour coordonnées (0; 6) et le point F a pour coordonnées (3; 0). On
précisequeladroite(EF)esttangenteàlacourbeC aupointEetlacourbeC admet
aupointBunetangentehorizontale.
′Onnote g lafonctiondérivéedelafonction g.BaccalauréatES A.P.M.E.P.
1. a. Parlecturegraphique,déterminerlavaleurdeg(0).
′b. Parlecturegraphique,déterminerlavaleurdeg (0).
′c. Exprimer g (x)enfonctiondea etk.
d. Enutilisantlesrésultatsprécédents,déterminerlesvaleursdek eta.On
justifieralescalculs.
−0,5xDanslasuitedel’exercice,onprendrag(x)=x+6e .
2. DémontrerqueladroiteD estasymptoteàlacourbeC en+∞.
3. On admet que la courbeC est située au dessus de la droite D. Soit S le do-
maine délimité par la courbeC, la droite D, l’axe des ordonnées et la droite
d’équation x=4.
a. HachurerS surlegraphique.
2b. Calculer, en cm , l’aireA du domaine S. Donner la valeur exacte, puis
2unevaleurapprochéeà0,1cm près.
4. Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’initiative,
mêmenonfructueuse.serapriseencomptedansl’évaluation.
Déterminerlavaleurexactedel’abscissedupointB.
Exercice3 6points
Communàtouslescandidats
PartieA
Onconsidèrelafonction f,définiesurl’intervalle]0; 20]par
¡ ¢
2f(x)= 3e −x lnx+10.
1. a. Déterminerlalimitede f en0.
¡ ¢
2b. Calculerlavaleurexactede f e ,puisunevaleurapprochéeà0,01près.
23e
′ ′2. Montrer que, pour tout x de ]0 ; 20], f (x)=−lnx+ −1 où f désigne la
x
dérivéedelafonction f.
′3. On admet que la fonction dérivée f est strictement décroissante sur ]0 ; 20]
etquesontableaudevariationsestlesuivant:
2x 0 e 20
′f (x) 0
′f (20)
′a. Àl’aidedutableaudevariations,donnerlesignede f (x)pour x appar-
tenantàl’intervalle]0; 20].
b. Déterminerlesensdevariationdelafonction f surl’intervalle]0; 20]et
dressersontableaudevariationssurcetintervalle.
4. a. Montrer que, sur l’intervalle [0,6; 0,7], l’équation f(x)=0 possède une
uniquesolutionnotéeα.Àlacalculatrice,donnerunevaleurapprochée
deαà0,001prèsparexcès.
b. Démontrerque f(x)estnégatifpourtoutx∈]0;α[etque f(x)estpositif
pourtout x∈]α; 20].
Liban 2 mai2010BaccalauréatES A.P.M.E.P.
PartieB
Uneentrepriseproduitetvendchaquesemaine x milliersdeDVD, x appartenantà
]0; 20].
Lebénéficeréalisé estégalà f(x)milliers d’eurosoù f est la fonction étudiée dans
lapartieA.
EnutilisantlesresultatsdelapartieA:
1. déterminer le nombreminimal deDVD à fabriquer pour que le bénéfice soit
positif;
2. déterminer le nombre de DVD à produire pour que le bénéfice soit maximal
ainsiquelavaleur,à10eurosprès,decebénéficemaximal.
Exercice4 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
1. L’évolution du chiffre d’affaires du groupe de distribution Enville pour la pé-
riode2004-2008 estdonnéedansletableau1ci-dessous:
Tableau1:
Année 2004 2005 2006 2007 2008
Progression du chiffre d’af- 4,7% 10,6% 4,1% 5,8% 7,5%
faires par rapport à l’année
précédente
Par exemple, le chiffre d’affaires du groupe a augmenté de 10,6% entre le 31
décembre2004etle31décembre2005.
a. Montrerqu’unevaleurapprochéeà0,1prèsdupourcentageannuelmoyen
d’augmentation,est6,5.
b. En2008,cegroupearéaliséunchiffred’affairesde59,5milliardsd’euros.
La direction prévoit une croissance amuelle de 6,5 % pour les années
suivantes. Domer une estimation à 0,1 milliard d’euros près du chiffre
d’affairesdugroupepourl’année2010.
2. L’évolution, sur 8 ans, du chiffre d’affaires du groupe Aupré, concurrent du
groupeEnville,estdonnéeparletableau2ci-dessous:
Tableau2:
Année 2001 2003 2005 2007 2008
Rangdel’année x 1 3 5 7 8i
Chiffre d’affaires exprimé 64,8 68,7 72,7 77,1 82,1
enmilliardsd’euros yi
Pourcettequestiontouslesrésultatsserontarrondisaudixièmeprès.
a. Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points associé à la¡ ¢
série x ; y enprenantcommeoriginelepointdecoordonnées(0;60)i i
(unités graphiques : 1 cm sur l’axe des abscisses et 0,5 cm sur l’axe des
ordonnées).
b. Enutilisantlacalculatrice,déterminer,parlaméthodedesmoindrescar-
rés, l’équation de la droite d’ajustement affine de y en x. Tracer cette
droitesurlegraphique.
c. Àl’aidedel’ajustement précédent,détenniner graphiquementuneesti-
mationduchiffred’affairesdugroupeAuprépourl’année2010.Onlais-
seraapparentslestraitsdeconstruction.
Liban 3 mai2010BaccalauréatES A.P.M.E.P.
3. Dans cette question, on suppose qu’à partir de 2008 le chiffre d’affaires du
groupe Enville progressechaque année de 6,5% et celui du groupeAupré de
3%.
n na. Résoudrel’inéquation59,5×1,065 >82,1×1,03 .
b. Détermineràpartirdequelleannéelechiffred’affairesdugroupeEnville
dépasseraceluidugroupeAupré.
Annexeàremettreaveclacopie
Exercice4 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Deuxchaînesdetélévision AetBprogrammentchaquesemaine, àlamême heure,
deuxémissions concurrentes.Onsuppose quelenombreglobaldetéléspectateurs
decesémissionsresteconstant.
Lapremièresemaine,70%decestéléspectateursontregardélachaîneA.
Uneétudestatistiquemontreque:
15%destéléspectateursquiontregardélachaîneAunesemaine,regardentlachaîne
Blasemainesuivante.
10%destéléspectateursquiontregardélachaîneBunesemaine,regardentlachaîne
Alasemainesuivante.Onnoterespectivement a etb lesproportionsdetéléspec-n n
tateurs des chaînes A et B la n-ième semaine et P la matrice ligne a b . On a( )n n n
doncP =(0,7 0,3).1
1. a. Déterminerlegrapheprobabilistereprésentantlasituation.
b. Donnerlamatricedetransition M associéeàcegraphe.
32. Calculer M à l’aide de la calculatrice, donner les résultats en arrondissant à
−310 près. Quelle est la répartition destéléspectateurs entreles deux chaînes
lorsdelaquatrièmesemaine?
3. On considère la matrice ligne P = (a b), où a et b sont deux réels tels que
a+b=1.
a. Déterminer a etb pourqueP=PM.
b. Interpréterlesdeuxvaleurstrouvées.
¡ ¢
n−14. Onadmetquepourtoutentiernatureln>0,ona: a =0,4+0,3× 0,75 .n
a. Résoudrel’inéquation a <0,5.n
b. Àpartirdequellesemainel’audiencedel’émissiondelachaîneBdépassera-
t-ellecelledel’émissiondelachaîneA?
Liban 4 mai2010B