Sujet du bac L 2003: Mathématique

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Fonctions, Suites, Probabilités
Sujet du bac 2003, Terminale L, Antilles

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2003
• Nombre de lectures: 50
• Langue: Français

Extrait

BaccalauréatLAntilles-Guyanejuin2003
EXERCICE1 7points
Lacourbe(Γ)ci-dessousreprésentedansunrepèreorthonormalunefonction f
définiesur[1; +∞[.
Onnote f lafonctiondérivéede f surcetintervalle.
Ladroite(T)esttangenteàlacourbe(Γ)aupointA(1;1).
Latangenteàlacourbe(Γ)aupointd’abscisseeestparallèleàl’axedesabscisses.
6y
5
4
3
(T)
2
B
A1
C0
xO 0 1 2 e 3 4 5 6 7 8 9
-1
-2
1. Par lecture graphique
a. Donnerlecoefficientdirecteurdeladroite(T)
b. Donner f(1)et f (e)
c. Déterminerlesréelsx del’intervalle [1; +∞[quivérifientf (x)0.
d. En traçant le plus précisément possible la tangente à la courbe (Γ)au
pointC,lirelecoefficientdirecteurdecettetangente.
2. Onadmetquelafonction f estdéfiniesur[1; +∞[par
x
f(x)= [2−ln(x)].
2
a. Calculerl’ordonnéedupointBd’abscissee
b. Déterminerl’abscissedupointC,intersectiondelacourbe(Γ)avecl’axe
desabscisses.

e
3. La dérivée f de f est définie sur [1 ; +∞[parf (x) = kln où k est un
x
nombreréeldonné.
a. Vérifierlerésultatdonnépour f (e)àlaquestion1.
1
2b. Déterminerleréelk sachantque f e =− .
2
c. Donneruneéquationdelatangenteàlacourbe(Γ)aupointC.
d. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la droite (T) et
delatangenteàlacourbe(Γ)aupointC.Bac Lfacultatif
EXERCICE2 7points
LenuméroI.N.S.E.Eestconstituéde15chiffres.Enlisantdegaucheàdroite:
-lepremierchiffreest1s’ils’agitd’unhommeet2s’ils’agitd’unefemme;
- les deux chiffres suivants désignent les deux derniers chiffres de l’année de
naissance;
-lesdeuxchiffressuivantsdésignentlemoisdenaissance;
-lesdeuxchiffresdésignentledépartementdenaissance;
-lestroischiffressuivantsdésignentlacommunedee;
-lestroischiffressuivantsdésignentlenumérod’inscriptionsurleregistred’état-
civil;
-lesdeuxchiffressuivantsdésignentlacléK,calculéedelamanièresuivante:
-soitA lenombreentierconstituéparles13chiffresdegauche;
-soitr lerestedeladivisioneuclidiennede A par97;
-alorsK =97−r.
Les 13 premiers chiffres (sans la clé)dunuméro I.N.S.E.E deSophie sont 285 07 86
183048.
Onnote A cenombreetr lerestedeladivisioneuclidiennede A par97.
1. Donnerlemoisdel’annéedenaissancedeSophie.
62. a. Déterminer les deux entiers a et b tels que A =a×10 +b avec 0b <
610 .
b. En utilisant le reste de 100 dans sa division euclidienne par 97, montrer
6que10 ≡27 (modulo 97).
c. Endéduirelerester deladivisioneuclidiennede A par97.
3. DéterminerlacléK dunuméroI.N.S.E.EdeSophie.
4. Sophie, à qui l’on demande les treize premiers de son numéro I.N.S.E.E, in-
verselesdeuxdernierschiffreetrépond2850786183084àlaplacede2850786183048.
OnnoteB laréponsedeSophie.
a. Calculer la différence B −A et en déduire que le reste de la division eu-
clidiennedeB par97estégalà21.
b. L’erreurfaiteparSophiepeut-elleêtredétectée?
EXERCICE3 6points
Ondonneralesrésultatssousformeirréductible.
On dispose d’un damier dont chacune des neuf cases est marquée d’un des trois
nombres1,2et3selonleschémaci-contre:
1 2 3
2 3 1
3 1 2
Onrépartit auhasardtroispions indiscernables surle damier (un pion parcase)et
onappelleSlasommedestroisnombresmarquéssurlestroiscasesoccupésparles
pions.
Lesrépartitionssonttouteséquiprobables.

91. ÉcrireletriangledePascaljusqu’àladixièmeligneetendéduire .3
Antilles-Guyane 2 juin2003Bac Lfacultatif
n/p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
2. Onconsidèrelesévènements E,FetGsuivants:
E:«LasommeS estégaleà3»;
F:«LasommeS estégaleà9»;
G:«LasommeS estégaleà6».
a. Déterminerlesprobabilitésp(E)etp(F)desévènements EetF.
1
b. Montrerquelaprobabilitédel’évènement Gestégaleà .
3
3. SoitAl’évènement :«LasommeS estdivisible par3»etBl’évènement :«Les
troispionssontalignésencolonne,enligneouendiagonale».
a. Déterminerlesprobabilitésp(A)etp(B)desévènements AetB.
b. Calculerlaprobabilitép (B)del’évènement BsachantqueAestréalisé.A
c. Lesévènements AetBsont-ilsindépendants?
EXERCICE4 6points
Lapopulation d’uneville augmente régulièrement de10% paran.Enl’an 2000,
elleétaitde8000 habitants.
1. Ondésigneparu lenombrethéoriqued’habitantsestimépourl’année(2000+n
n).Onadoncu =8000.0
a. Calculerlestermesu etu .1 2
b. Exprimer u en fonction deu . En déduire l’expression du terme un+1 n n
enfonctionden.
c. Calculerlenombred’habitantsprévupourl’année2006.
d. Déterminerenquelleannéelapopulationauradoublé.
2. Onnotev l’augmentationparrapportàl’annéeprécédentedunombred’ha-n
bitantsconstatéel’année(2000+n).Onadonc,pourtoutentiernaturelnnon
nul, v =u −u .n n n−1
a. Calculerlestermesv etv .1 2
b. Exprimerletermegénéralv enfonctionden.n
c. Calculerlasommev +v +···+v enfonctionden.Vérifier,pourlecas1 2 n
particuliern=6,lerésultatobtenuen1.c.
Antilles-Guyane 3 juin2003