Sujet du bac L 2009: Mathématique
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Sujet du bac L 2009: Mathématique

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Description

QCM général, division euclidienne et divisibilité, traitement algorithmique de suites récurrentes, géométrie 3D.
Sujet du bac 2009, Terminale L, Métropole

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Publié le 01 janvier 2009
Nombre de lectures 63
Langue Français

Exrait

[BaccalauréatLspécialitéFrance19juin2009\
L’usaged’unecalculatriceestautorisé 3heures
Deuxannexessontàrendreaveclacopie
EXERCICE 1 5points
Quatreaffirmationssontdonnéesci-dessous.Diresichacunedecesquatreaffir-
mationsestvraieoufausse.Justifierchaqueréponse.
¡ ¢
2 x1. Soit f lafonctiondéfiniepar f(x)= 1+x e pourtoutnombreréelx.
oAffirmationn 1:Lacourbereprésentativede f esttoujourssituéeau-dessus
del’axedesabscisses.
1
2. Soitg lafonctiondéfinieparg(x)=2x− pourtoutx de]−1;+∞[.
x+1
Onnote(C)lacourbereprésentativedeg etAlepointde(C)d’abscisse0.
oAffirmationn 2:Latangenteà(C)enAapouréquation y=2x−1.
3. Soitdeuxévènements A etB. A désignel’évènement contrairede A.Onsup-
posequelaprobabilitédeAestégaleà0,4etquelaprobabilitédel’évènement
A∩B estégaleà0,12.
oAffirmationn 3:LaprobabilitédeB sachantque A estréaliséestégaleà0,2.
4. On lance deux dés cubiques équilibrés et on lit la somme des résultats des
facessupérieures.
5
oAffirmationn 4:Laprobabilitéd’obtenirunesommeégaleà5estégaleà .
36
EXERCICE 2 4points
2n nDanscetexercice,ons’intéresse àlapropriété«lenombre3 −2 estdivisiblepar
7»,oùn estunnombreentiernaturel.
1. a. Existe-t-il un nombre entier naturel n pour lequel cette propriété est
vraie?Justifier.
2b. Quelestlerestedeladivisioneuclidiennede3 par7?
2. a. Montrerque,pourtoutnombreentiernatureln,
¡ ¢
2n n n 2(n+1) n+19 3 −2 +7×2 =3 −2 .
b. Enutilisantl’égalitéprécédentedémontrerque,sipouruncertainentier
2n n 2(n+1) n+1natureln, 3 −2 estdivisiblepar7,alors3 −2 estaussidivisible
par7.
3. Dans cette question toute tracede recherche,même incomplète, ou d’ini-
tiative,mêmenonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation.
2n nLenombre3 −2 est-iltoujoursdivisiblepar7,quelquesoitlenombreen-
tiernatureln?
EXERCICE 3 6points
Oneffectueuncoloriageenplusieursétapesd’uncarrédecôtédelongueur2cm.BaccalauréatLspécialité
Premièreétapeducoloriage:
On partage ce carré en quatre carrés de même aire et on colorie le carré situé en
bas à gauche comme indiqué sur la figure ci-dessous (la figure n’est pas en vraie
grandeur).
Deuxièmeétapeducoloriage:
On partage chaque carré non encore colorié en quatre carrés de même aire et on
colorie dans chacun, le carré situé en bas à gauche, comme indiqué sur la figure
ci-dessous.
Onpoursuitlesétapesducoloriageencontinuantlemêmeprocédé.
Pourtoutentiernatureln,supérieur ouégalà1,ondésignepar A l’aire,expriméen
2encm ,delasurfacetotalecoloriéeaprèsn coloriages.
Onaainsi A =1.1
eLasurfacecoloriéesurlafigureàla2 étapeducoloriageadoncpouraire A .2
LesdeuxpartiessuivantesAetBdecetexercicepeuventêtretraitéesdemanière
indépendante.
PartieA
37
1. CalculerA puismontrerqueA = .2 3
16
2. Onconsidèrel’algorithmesuivant:
Entrée: Punentiernaturelnonnul.
Initialisation: N=1;U=1.
Traitement: TantqueN6P:
AfficherU
AffecteràNlavaleurN+1
5 1
AffecteràUlavaleur ×U+
4 2
France 2 19juin2009BaccalauréatLspécialité
a. FairefonctionnercetalgorithmeavecP=3.
b. Cetalgorithmepermetd’afficherlesPpremierstermesd’unesuiteUde
termegénéralU .n
Diresichacunedesdeuxpropositionssuivantesestvraieoufausse.Jus-
tifierlaréponse.
Proposition1:Ilexisteunentiernatureln strictementsupérieurà
1telqueU =A .n n
Proposition 2 : Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1,
U =A .n n
PartieB
3
Onadmetque,pourtoutentiernatureln supérieurouégalà1,A = A +1.n+1 n
4
1. Onposepourtoutentiern supérieurouégalà1,B =A −4.n n
a. CalculerB .1
3
b. Montrerquepourtoutentiern supérieurouégalà1, B = B .n+1 n
4
c. Quelleestlanaturedelasuite(B )?n
d. Exprimer, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, le terme général Bn
delasuite(B )enfonctionden.n
2. QuelestlecomportementdeA lorsquen tendvers+∞?Justifierlaréponse.n
Donner une interprétation de ce résultat en rapport avec l’aire de la surface
coloriée.
EXERCICE 4 5points
Danstoutl’exercice, A, B, C, D, E, F, Get Hsontlessommetsd’uncubeopaquedont
laface ABCDestposéesurlesol.
Trois dessins sont donnés en annexes. Ils corrcspondent aux trois questions de
l’exercicequisontindépendantes.Cesdessinssontàcompléteraufuretàmesure
de la résolutionde l’exerciceet à rendreavecla copie. On laissera apparentsles
traitsdeconstruction.
o1. Ledessinn 1donnéenannexeestlareprésentation enperspective parallèle
du cube ABCDEFGH. Ce cube est éclairé par le soleil suivant la direction in-
′diquée par l’ombre E du sommet E. Compléter ce dessin par l’ombre de ce
cube sur le sol, les rayons du soleil étant considérés parallèles. On repassera
encouleurledessinfinidel’ombreausoleilducubepourenaméliorerlalisi-
bilité.
o2. Onveutconstruiresurledessinn 2lareprésentationenperspectivecentrale
du cube ABCDEFGH, l’arête [BF] étant dans le plan frontal. Les images des
sommets A, B, C,...sontdésignéesparleslettresminusculesa,b,c,...
Onatracélaligned’horizon(Δ)etladiagonale[ac]quiestparallèleàlaligne
d’horizon.
a. Construirelespointsdedistanced etd .1 2
b. Terminerlareprésentationenperspectivecentraleducubeenrepassant
ledessinencouleurpourenaméliorerlalisibilité.
3. On entoure ce cube d’une ficelle passant par les milieux des arêtes comme
indiquésurledessinci-dessous.
France 3 19juin2009BaccalauréatLspécialité
H G
E
F
C
A B
oLedessinn 3estlareprésentationenperspectivecentraleducube ABCDEFGH,
laface ABFEétantplacéedansunplanfrontal.(Δ)estlaligned’horizon.
oCompléter ledessinn 3parunereprésentationdecetteficelle.
France 4 19juin2009b
BaccalauréatLspécialité
Annexe1(àcompléteretàrendreaveclacopie)
oDessinn 1
H G
E F
C
A B
′E
oDessinn 2
(Δ)
f
a c
b
France 5 19juin2009BaccalauréatLspécialité
Annexe2(àcompléteretàrendreaveclacopie)
oDessinn 3
(Δ)
gh
fe
c
a b
France 6 19juin2009