Sujet du bac S 2006: Mathématique Obligatoire

Education Nationale

Description

géométrie 3D, étude de fonction, nombres complexes, probabilités
Sujet du bac 2006, Terminale S, Métropole

Sujets

• bac
• sujet bac
• bac s
• sujets bac
• sujet bac s
• sujet du bac

Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 46
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S France 15 juin 2006\

E X E R C IC E points1 4 Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→ −→ Soit O,ı,,kun repère orthonormal de l’espace. On considère les points µ ¶ 3 9 A(2 ; 4 ; 1), B(0 ; 4 ;−3), C(3 ; 1 ;−3), D(1 ; 0 ;−2), E(3; 2 ;−1), I; 4 ;− 5 5 Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse. Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon. 1.Une équation du plan (ABC) est : 2x+2y−z−11=0. 2.Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC). 3.Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales. 4.La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :  x= −1+2t  (CD) y= −1+t (t∈R).  z=1−t 5.Le point I est sur la droite (AB).

E X E R C IC E 2 5points Commun à tous les candidats 1.Soitfla fonction définie surRpar 2 1−x f(x)=xe . ³ ´ −→−→ On désigne parCsa courbe représentative dans un repère orthonormalO,ı, d’unité graphique 2 cm. a.Déterminer les limites defen−∞et en+∞; quelle conséquence gra phique pourCpeuton en tirer ? ′ b.Justifier quefest dérivable surR. Déterminer sa fonction dérivéef. c.Dresser le tableau de variations defet tracer la courbeC. 2.Soitnun entier naturel non nul. On considère l’intégraleI n définie par Z 1 n1−x I n =xe dx. 0 a.Établir une relation entreI n+1 etI n . b.Calculer I 1 , puis I 2 . c.Donner une interprétation graphique du nombre I 2 . On la fera appa raître sur le graphique de la question 1 c. 3. a.Démontrer que pour tout nombre réelxde [0 ; 1] et pour tout entier na turelnnon nul, on a l’inégalité suivante : n n1−x n x 6 xe 6 xe.

b.En déduire un encadrement deI n puis la limite deI n quandntend vers +∞.

Baccalauréat S

E X E R C IC E 3 5points Candidats n ’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ On considère le plan complexePrapporté à un repère orthononnal directO,u,v. Dans tout l’exercice,P \ {O} désigne le planPprivé du point origine O. 1. Questionde cours On prend comme prérequis les résultats suivants : ′ ′ – Sizetzsont deux nombres complexes non nuls, alors : arg(z z)=arg(z)+ ′ arg(z) à 2kπprès, avec k entier relatif ³ ´ −→−→−→ – Pourtout vecteurwnon nul d’affixezon a : arg(z)=u;wà 2kπprès, aveckentier relatif ′ a.Soitzetzdes nombres complexes non nuls, démontrer que ³ ´ z ′ arg=arg(z)−arg(z) à 2kπprès, aveckentier relatif. ′ z b.Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, ³ ´³ ´ c−a −→−→ d’affixes respectivesa,b,c, on a : arg=2AC àAB ,kπprès, b−a aveckentier relatif. 2.On considère l’applicationfdeP \ {O} dansP \ {O} qui, au pointMdu plan 1 ′ ′′ d’affixez, associe le pointMd’affixezdéfinie par :z=. On appelle U et V z les points du plan d’affixes respectives 1 et i. ¡ ¢ ′ a.Démontrer que pourz6=0, on a argz=arg(z) à 2kπprès, aveckentier relatif. ′ En déduire que, pour tout pointMdeP \ {O} les pointsMetM=f(M) appartiennent à une même demidroite d’origine O. b.Déterminer l’ensemble des pointsMdeP \ {O} tels quef(M)=M. ′ c.Mest un point du planPdistinct de O, U et V, on admet queMest aussi distinct de O, U et V. µ ¶µ ¶ ′ z−1 1z−1z−1 Établir l’égalité−= =i . ′ z−i iz+iz−i µ ¶µ ¶ ′ z−1z−1 En déduire une relation entre arget arg ′ z−iz−i 3. a.Soitzun nombre complexe tel quez6=1 etz6=i et soitMle point d’af fixez. Démontrer queM) privée de U et de V si etest sur la droite (UV z−1 seulement siest un nombre réel non nul. z−i b.Déterminer l’image parfde la droite (UV) privée de U et de V.

E X E R C IC E 3 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Question de cours 1.Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss. 2.Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

5 points

Partie B Il s’agit de résoudre dansZle système ½ n≡13 (19) (S) n≡6 (12) 1.Démontrer qu’il existe un couple (u;v) d’entiers relatifs tel que : 19u+12v=1. (On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d’un tel couple). Vérifier que, pour un tel couple, le nombreN=13×12v+6×19uest une so lution de (S).

France

2

15 juin 2006

Baccalauréat S

2. a.Soitn 0 une solution de (S), vérifier que le système (S) équivaut à ½ n≡n 0 (19) n≡n 0 (12) ½ n≡n 0 (19) b.Démontrer que le systèmeéquivaut à n≡n 0 (12) n≡n 0 (12×19). 3. a.Trouver un couple (u;v) solution de l’équation 19u+12v=1 et calculer la valeur deNcorrespondante. b.Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la ques tion 2. b.). 4.Un entier naturelnest tel que lorsqu’on le divise par 12 le reste est 6 et lors qu’on le divise par 19 le reste est 13. On divisenpar 228=12×19. Quel est le resterde cette division ?

E X E R C IC E 4 5points Commun à tous les candidats 1.Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre un ballon afin de le crever. À chacun de ces tirs, il a la probabilité 0,2 de crever le ballon. Le tireur s’arrête quand le ballon est crevé. Les tirs successifs sont supposés indépendants. a.Quelle est la probabilité qu’au bout de deux tirs le ballon soit intact ? b.Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ? c.Quelle est la probabilitép n quentirs suffisent pour crever le ballon ? d.Pour quelles valeurs denatonp n >0, 99 ? 2.Ce tireur participe au jeu suivant : Dans un premier temps il lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4 (la face obtenue avec un tel dé est la face cachée) ; soitk le numéro de la face obtenue. Le tireur se rend alors au stand de tir et il a droit àktirs pour crever le ballon. Démontrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est égale à 0,409 6 (on pourra utiliser un arbre pondéré). 3.Le tireur décide de tester le dé tétraédrique afin de savoir s’il est bien équilibré ou s’il est pipé. Pour cela il lance 200 fois ce dé et il obtient le tableau suivant :

Facek1 2 3 4 Nombre de sorties de la facek58 49 52 41

a.Calculer les fréquences de sortiesf k observées pour chacune des faces. µ ¶ 2 1 2 42 b.On posed=Σf k −. Calculerd. k=1 4 c.On effectue maintenant 1 000 simulations des 200 lancers d’un dé tétra édrique bien équilibré et on calcule pour chaque simulation le nombre 2 2 d. On obtient pour la série statistique des 1 000 valeurs dedles résul tats suivants : Minimum D 1 Q 1 Médiane Q 3 D 9 Maximum 0,001 240,001 920,002 350,002 810,003 450,004 520,010 15 Au risque de 10 %, peuton considérer que ce dé est pipé 7

France

3

15 juin 2006