Sujet du bac S 2006: Mathématique Spécialité
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Sujet du bac S 2006: Mathématique Spécialité

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nombres complexes, arithmétique, probabilités, equa diff, étude de fonction
Sujet du bac 2006, Terminale S, Asie

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Publié le 01 janvier 2006
Nombre de lectures 77
Langue Français

Exrait

[Baccalauréat S Asie juin 2006\
EX E R C IC E1 4points Commun à tous les candidats ³ ´ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO,u,v(unité gra phique : 2 cm). On rappelle que pour tout vecteurwnon nul, d’affixez, on a :|z| = kwket ³ ´ arg(z)=u,wà 2πprès.
Partie A. Restitution organisée de connaissances Prérequis : On sait que sizetzsont deux nombres complexes non nuls, alors :
′ ′ arg(z z)=arg(z)+arg(z). Soientzetzdeux nombres complexes non nuls. Démontrer que : ³ ´ z arg=arg(z)arg(z) z
Partie B On note A et B les points d’affixes respectivesi et 3i. On notefl’application qui, à tout pointMdu plan, d’affixez, distinct de A, associe ′ ′ le pointMd’affixeztelle que : iz+3 z= z+i 1.Étude de quelques cas particuliers. a.Démontrer quefadmet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB]. Placer ces points sur le dessin. b.On note C le point d’affixec= −2+i. Démontrer que le point C , image de C parf, appartient à l’axe des abscisses. 2.Pour tout pointMdu plan distinct de A et B, démontrer que ³ ´ ¡ ¢−→π argz=MA ,MB+à 2πprès. 2 3.Étude de deux ensembles de points. a.Déterminer l’ensemble des pointsMd’affixeztels quezsoit un nombre complexe imaginaire pur. b.SoitMd’affixezun point du cercie de diamètre [AB] privé des points A et B. À quel ensemble appartient le pointM?
EX E R C IC Epoints2 5 Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité On considère le cube ABCDEFGH représenté sur la feuille annexe. Dans tout l’exer ³ ´ cice, l’espace est rapporté au repère orthonormalA ; AB; AD ; AE. µ ¶ 1 On note I le point de coordonnées; 1 ; 1. 3 1.Placer le point I sur la figure. 2.tes (IJ) et (AC)Le plan (ACI) coupe la droite (EH) en J. Démontrer que les droi sont parallèles. 3.On note R le projeté orthogonal de l sur la droite (AC). a.Justifier que les deux conditions suivantes sont vérifiées : i. Ilexiste un réelktel que AR=kAC .
Baccalauréat S
−→ii. IRAC=0. b.Calculer les coordonnées du point R, 11 c.En déduire que la distance IR s’exprime par IR=. 3 −→ 4.Démontrer que le vecteurnde coordonnées (3 ;3 ;2) est normal au plan (ACI). En déduire une équation cartésienne du plan (ACI). 5 5.Démontrer que la distance du point F au plan (ACI) est. 22
EX E R C IC Epoints2 5 Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Étant donné un entier natureln>2, on se propose d’étudier l’existence de trois 2 2 2n n entiers naturelsx,yetztels quex+y+z21 modulo 2.
Partie A : Étude de deux cas particuliers 1.Dans cette question on supposen=2. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente. 2.Dans cette question, on supposen=3. a.Soitmun entier naturel. Reproduire et compléter le tableau cidessous donnant le resterde la division euclidienne dempar 8 et le resteRde la 2 division euclidienne dempar 8. r0 1 2 3 4 5 6 7 R
b.Peuton trouver trois entiers naturelsx,yetztels que 2 2 2 x+y+z7 modulo 8 ?
Partie B Étude du cas général oùn>3 Supposons qu’il existe trois entiers naturelsx,yetztels que 2 2 2n n x+y+z21 modulo 2. 1.Justifier le fait que les trois entiers naturelsx,yetzsont tous impairs ou que deux d’entre eux sont pairs. 2.On suppose quexetysont pairs et quezest impair. On pose alorsx=2q, y=2r,z=2s+1 oùq,r,ssont des entiers naturels. 2 2 2 a.Montrer quex+y+z1 modulo 4. b.En déduire une contradiction. 3.On suppose quex,y,zsont impairs. 2 a.Prouver que, pour tout entier naturelknon nul,k+kest divisible par 2. 2 2 2 b.En déduire quex+y+z3 modulo 8. c.Conclure.
EX E R C IC E3 4points Commun à tous les candidats Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la suite, lorsque Pierre gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0,7. Et s’il perd une partie, la probabilité qu’il perde la suivante est 0,8. Dans tout l’exercice,nest un entier naturel non nul. On considère les évènements : Gn: « Pierre gagne lanième partie ». Pn: « Pierre perd lanième partie ». On pose :pn=p(Gn) etqn=p(Pn).
Baccalauréat S
1.Recherche d’une relation de récurrence. a.Déterminerppuis les probabilités conditionnellesp) et 1 G1(G2pP(G2). 1 b.Justifier l’égalitépn+qn=1. c.Démontrer que pour tout entier naturelnnon nul,pn+1=0, 5pn+0, 2. ¡ ¢ 2.Étude de la suitepn. 2 On pose, pour tout entier naturelnnon nul,vn=pn. 5 a.Prouver que la suite (vn) est une suite géométrique et exprimervnen fonction den. b.En déduire l’expression depnen fonction den. ¡ ¢ c.Déterminer la limite de la suitepnquandntend vers+∞.
EX E R C IC E4 Commun à tous les candidats
7 points
Partie A On considère l’équation différentielle ′ −x (E) :y+y=e . 1.Démontrer que la fonctionudéfinie sur l’ensembleRdes nombres réels par x u(x)=xe estune solution de (E). 2.Résoudre l’équation différentielle (E0) :y+y=0. 3.Démontrer qu’une fonctionv, définie et dérivable surR, est solution de (E) si et seulement sivuest solution de (E0). 4.En déduire toutes les solutions de (E). 5.Déterminer la fonctionf2, solution de (E), qui prend la valeur 2 en 0.
Partie B kétant un nombre réel donné, on notefkla fonction définie sur l’ensembleRpar :
x fk(x)=(x+k)e .
On noteCkla courbe représentative de la fonctionfkdans un repère orthonormal ³ ´ O,ı,. 1.Déterminer les limites defken−∞et+∞. 2.Calculerf(x) pour tout réelx. k 3.En déduire le tableau de variations def. k
Partie C Z 0 x 1.On considère la suite d’intégrales (In) définie par I0=e dxet pour tout 2 Z 0 nx entier natureln>1 par :In=xe dx. 2 a.Calculer la valeur exacte de l’intégrale I0. b.En utilisant une intégration par parties, démontrer l’égalité :
n+1 2 In+1=(2) e+(n+1)In.
c.En déduire les valeurs exactes des intégrales I1et I2. 2.Le graphique cidessous représente une courbeCkqui est la représentation graphique d’une fonctionfkdéfinie à la partie B.
Baccalauréat S
y 3 a.À l’aide des renseignements 2 donnés par le graphique, déter miner la valeur du nombre réelk 1 correspondant. b.SoitSl’aire de la partie hachu Ox rée (en unité d’aire) ; exprimerS 4321 12 3 4 en fonction de I1et I0et en dé1 duire sa valeur exacte. 2
Baccalauréat S
ANNEXE
Exercice 2 (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
E
A
H
D
F
B
G
C