Sujet du bac S 2006: Mathématique Spécialité

Education Nationale

Description

QCM de cours, suite complexe, géométrie 3D, équa diff, probabilités
Sujet du bac 2006, Terminale S, Pondichéry

Sujets

• bac
• sujet bac
• bac s
• sujets bac
• sujet bac s
• sujet du bac

Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 57
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Pondichéry 3 avril 2006\

E X E R C IC E points1 4 Commun à tous les candidats Dix affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1. a à 3. d sont propo sées cidessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l’affirma tion, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX. Chaque réponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il n’est pas tenu compte de l’absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à 0. x 1.Pour tout réelxdésigne l’image de, expar la fonction exponentielle. ¡ ¢ b a b a Affirmation 1. aPour tous les réelsaetb: (e ) =e . a e a−b Affirmation 1. bPour tous les réelsaetb: e=. b e Affirmation 1. cLa droite d’équationy=x+1 est la tangente à la courbe repré sentative de la fonction exponentielle en son point d’abscisse 1. 2.Soitfoitune fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et saun élément de I. Affirmation 2. aSifest dérivable ena, alorsfest continue ena. Affirmation 2. bSifest continue ena, alorsfest dérivable ena. f(a+h)−f(a) Affirmation 2. cSifest dérivable ena, alors la fonctionh7→ h admet une limite finie en 0. 3.On considère deux suites (u n ) et (v n ) définies surN. Affirmation 3. aSi limu n = +∞et si limv n = −∞alors lim (u n +v n ) =0. Affirmation 3. bSi (u n ) converge vers un réel non nul et si limv n = +∞, ¡ ¢ alors la suiteu n, ×v n ne converge pas. Affirmation 3. cSi (u n ) converge vers un réel non nul, si (v n ) est positive et µ ¶ u n si limv n =0, alors la suitene converge pas. v µ ¶ u n Affirmation 3. dSi (u n ) et (v n converge.) convergent alors la suite v

E X E R C IC E points2 5 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialitéLe plan complexe est muni ³ ´ −→−→ d’un repère orthonormal directO,u,v. On prendra pour unité graphique 5 cm. 1+i On posez 0 =2 et, pour tout entier natureln,z n+1 =z n . On noteA n le point du 2 plan d’affixez n . 1.Calculerz 1 ,z 2 ,z 3 ,z 4 et vérifier quez 4 est un nombre réel. Placer les points A 0 , A 1 , A 2 , A 3 et A 4 sur une figure. 2.Pour tout entier natureln, on poseu n = | z n | . Justifier que la suite (u n ) est une suite géométrique puis établir que, pour tout enfler natureln, µ ¶ n 1 u n =2 p . 2 3.À partir de quel rangn 0 tous les pointsA n appartiennentils au disque de centre O et de rayon 0,1 ? z n+1 −z n 4. a.Établir que, pour tout entier natureln,=i. z n+1 En déduire la nature du triangle OA n A n+1 .

Baccalauréat S

b.Pour tout entier natureln, on noteℓ n la longueur de la ligne brisée A 0 A 1 A 2 . . .A n−1 A n . On a ainsi :ℓ n =A 0 A 1 +A 1 A 2 +. . .+A n−1 A n . Exprimerℓ n , en fonction den. Quelle est la limite de la suite (ℓ n ) ?

E X E R C IC E points2 4 Candidat ayant suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO,u,v. On prendra 5 cm pour unité graphique. ′ ′ Soitfla transformation qui, à tout pointMd’affixez, associe le pointMd’affixez définie par : µ ¶ 1 1 ′ z= +iz+1. 2 2 1.Justifier quefest une similitude directe dont on précisera le centreΩ(d’affixe ω), le rapportket l’angleθ. 2.On noteA 0 le point O et, pour tout entier natureln, on poseA n+1 =f(A n ). a.Déterminer les affixes des pointsA 1 A 2 ,A 3 puis placer les pointsA 0 ,A 1 ,A 2 etA 3 . b.Pour tout entier natureln, on poseu n =ΩA n . Justifier que la suite (u n ) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier natureln, µ ¶ n 1 u n =2 . 2 c.À partir de quel rangn 0 tous les pointsA n appartiennentils au disque de centreΩet de rayon 0,1 ? 3. a.Quelle est la nature du triangleΩA 0 A 1 ? En déduire, pour tout entier natureln, la nature du triangleΩA n A n+1 . b.Pour tout entier natureln, on noteℓ n la longueur de la ligne brisée A 0 A 1 A 2 . . .A n−1 A n . On a ainsi :ℓ n =A 0 A 1 +A 1 A 2 +. . .+A n−1 A n . Exprimer ℓ n en fonction den. Quelle est la limite de la suite (ℓ n ) ?

E X E R C IC E 3 Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→ −→ L’espace est muni d’un repère orthonormalO,ı,,k.

Partie A (cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)

4 points

Soita,b,cetddes réels tels que (a,b,c)6=(0, 0, 0). SoitPle plan d’équationa x+b y+c z+d=0. ¡ ¢ −→ On considère le pointIde coordonnéesx I ,y I ,z I et le vecteurnde coordonnées (a,b,c). Le but de cette partie est de démontrer que la distance deIau planPest égale à ¯ ¯ a x I +b y I +c z I +d . 2 2 2 a+b+c 1.SoitΔla droite passant parIet orthogonale au planP. Déterminer, en fonction dea,b,c,x I ,y I etz I , un système d’équations para métriques deΔ. 2.On noteHle point d’intersection deΔetP. −→−→ a.Justifier qu’il existe un réelktel queI H=k n. b.Déterminer l’expression deken fonction dea,b,c,d,x I ,y I etz I .

Pondichéry

2

3 avril 2006

¯ ¯ a x I +b y I +c z I +d c.En déduire queI H=. 2 2 2 a+b+c

Baccalauréat S

Partie B Le planQd’équationx−y+z−11=0 est tangent à une sphèreSde centre le point Ωde coordonnées (1,−1, 3). 1.Déterminer le rayon de la sphèreS. 2.Déterminer un système d’équations paramétriques de la droiteΔpassant par Ωet orthogonale au planQ 3.En déduire les coordonnées du point d’intersection de la sphèreSet du plan Q.

E X E R C IC E 4 7points Commun à tous les candidats Les parties A et B sont indépendantes. Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une population animale qui semble en voie de disparition. Partie A En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l’effec tif initial est égal à mille. Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d’individus, est approché par une fonctionfdu tempst(exprimé en années à partir de l’origine 2000). D’après le modèle d’évolution choisi, la fonctionfest dérivable, strictement posi tive sur [0 ;+∞[, et satisfait l’équation différentielle : 1 ′ (E)y= −y(3−lny). 20 1.Démontrer l’équivalence suivante : Une fonctionf, dérivable, strictement po 1 ¡ ¢ ′ sitive sur [0 ;+∞[, vérifie, pour touttde [0 ;+∞[,f(t)= −f(t)[3−lnf(t) ] 20 si et seulement si la fonctiong=ln(f) vérifie, pour touttde [0 ;+∞[, 1 3 ′ g(t)=g(t)−. 20 20 2.Donner la solution générale de l’équation différentielle :

1 3 ′ (H)z=z−. 20 20 3.En déduire qu’il existe un réelCtel que, pour touttde [0 ;+∞[ · µ¶¸ t f(t)=exp 3+Cexp . 20 x (la notation exp désigne la fonction exponentielle naturellex7→e ). 4.La condition initiale conduit donc à considérer la fonctionfdéfinie par : · µ¶¸ t f(t)=exp 3−3exp . 20 a.Déterminer la limite de la fonctionfen+∞. b.Déterminer le sens de variation defsur [0 ;+∞[. c.Résoudre dans [0 ;+∞[ l’inéquationf(t)<0, 02. Au bout de combien d’années, selon ce modèle, la taille de l’échantillon seratelle inférieure à vingt individus ?

Pondichéry

3

3 avril 2006

Baccalauréat S

Partie B En 2005, ce laboratoire de recherche met au point un test de dépistage de la maladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements suivants : « La popu lation testée comporte 50 % d’animaux malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99 % des cas ; si un animal n’est pas malade, le test est positif dans 0,1 % des cas ».

On noteMl’évènement « l’animal est malade »,Ml’évènement contraire etTl’évè nement « le test est positif ». 1.DeterminerP(M),P M (T),P(T). M 2.En déduireP(T). 3.Le laboratoire estime qu’un test est fiable, si sa valeur prédictive, c’estàdire la probabilité qu’un animal soit malade sachant que le test est positif, est su périeure à 0,999. Ce test estil fiable ?

Pondichéry

4

3 avril 2006