Sujet du bac S 2007: Mathématique Spécialité

Education Nationale

Description

Probabilités, géométrie complexe, équations différentielles, étude de fonction
Sujet du bac 2007, Terminale S, Afrique

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2007
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• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

Baccalauréat S Centres étrangers 15 juin 2007

E X E R C IC E 14 points Commun à tous les candidats Pour chacune des questions de ce QCM une seule, des trois propositions A,B ou C est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre corres pondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte0, 5point . (Une réponse inexacte enlève0, 25point. L’ab sence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif la note de l’exercice est ramenée à0.

Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher, 5 sont rouges et 3 sont noires. 1.On tire au hasard simultanément 3 boules de l’urne. a.La probabilité de tirer 3 boules noires est : 1 11 A B C 56 1203 b.La probabilité de tirer 3 boules de la même couleur est : 11 1116 A. B. C. 56 12024 2.On tire au hasard une boule dans l’urne, on note sa couleur, on la remet dans l’urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs et deux à deuxindépendants. a.La probabilité d’obtenir 5 fois une boule noire est : µ ¶µ ¶µ ¶µ ¶ 3 35 5 3 33 1 A.×B. C. 8 88 5 b.La probabilité d’obtenir 2 boules noires et 3 boules rouges est : µ ¶µ ¶µ ¶µ ¶ 3 23 2 5 35 35 3 A.×B. 2× +3×C. 10× × 8 88 88 8 3.On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne. On note : – R 1 l’évènement : « La première boule tirée est rouge » ; – N 1 l’évènement : « La première boule tirée est noire » ; – R 2 l’évènement : « La deuxième boule tirée est rouge » ; – N 2 l’évènement : « La deuxième boule tirée est noire ». leP ( ) est : a.La probabilité conditionnel R 1 R 2 5 45 A. B. C. 8 7 14 b.La probabilité de l’évènement R 1 ∩N 2 est : 16 15 15 A. B. C. 49 64 56 c.La probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage est : 5 53 A. B. C. 8 7 28 d.La probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage sachant qu’on a obtenu une boule noire au second tirage est : 15 35 A. B. C. 56 87

E X E R C IC E points2 5 Réservé aux candidats n’ayant pas suivi !’enseignement de spécialité I. Restitution organisée de connaissances

Baccalauréat S

1.Démontrer qu’ un nombre complexezest imaginaire pur si et seulement si z= −z. 2.Démontrer qu’un nombre complexezest réel si et seulement siz=z. 2 3.Démontrer que pour tout nombre complexez, on a l’égalité :z z= |z|. ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal directO,u,v. On se pro pose de démontrer, à l’aide des nombres complexes, que tout triangle de sommets A, B, C, deux à deux distincts, d’affixes respectivea,b,c, et dont le centre du cercle circonscrit est situé à l’origine O, a pour orthocentre le point H d’affixea+b+c. Il. Étude d’un cas particulier p On pose :a=3+i,b= −1+3i,c= −5−i 5. 1.Vérifier que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. 2.Placer les points A, B, C et le point H d’aflixea+b+c, puis vérifier graphique ment que le point H est l’orthocentre du triangle ABC.

III. Étude du cas général. ABC est un triangle dont O est le centre du cercle circonscrit, eta,b,csont les affixes respectives des points A, B, C. 1.riangle ABC si etJustifier le fait que O est le centre du cercle circonscrit au t seulement si : a a=bb=cc.

1.On posew=bc−bc. a.En utilisant la caractérisation d’un nombre imaginaire pur établie dans le I., démontrer quewest imaginaire pur. ³ ´ b+c w b.Verifier l’égalité : (b+c)b−c=wet justifier que :=. 2 b−c|b−c| b+c c.En déduire que le nombre complexeest imaginaire pur. b−c 2.Soit H le point d’affixea+b+c. −→−→ a.Exprimer en fonction dea,betcles affixes des vecteurs AHet CB . ³ ´ −→−→ π b.CB ,AHProuver que= +kπ, oùkest un entier relatif quelconque. 2 ³ ´ −→−→ π (On admet de même queCA , BH= +kπ). 2 c.Que représente le point H pour le triangle ABC ?

E X E R C IC E points2 5 Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonorinal direct O,u,v. L’unité graphique est 2 cm. Le but de cet exercice est d’étudier la similitude plane indirectefd’écriture com plexe : p ′ z=i 2z+2i 2−2, et d’en donner deux décompositions. I. Restitution organisée de connaissances On rappelle que l’écriture complexe d’une similitude plane directe autre qu’une ′ translation est de la formez=a z+b, oùaetbsont des nombres complexes avec a6=1. Déterminer en fonction deaet debl’affixe du centre d’une telle similitude plane directe.

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II. Première décomposition def Soitgla similitude plane directe d’écriture complexe : p ′ z=i 2z+2i 2−2.

1.Préciser les éléments caractéristiques deg(centre, rapport, angle). 2.Déterminer une réflexionstelle quef=g◦s,

Ill. Deuxième décomposition def 1.Montrer quefadmet un unique point invariant notéΩ. Déterminer l’affixeω deΩ. 2.SoitDla droite d’équation :y=x+2. Montrer que pour tout pointNappartenant àD, le pointf(N) appartient aussi àD. 3.Soitσla réflexion d’axeDetkla transformation définie par :k=f◦σ. a.Donner l’écriture complexe deσ. ′ (Indication : on pourra poserz=ai+bet utiliser deux points invariants parσpour déterminer les nombres complexesaetb.) p ′ b.En déduire que l’écriture complexe dekest :z=2z+2 2−2. c.Donner la nature de la transformationket préciser ses éléments carac téristiques. 4.ecteDéduire de ce qui précède une écriture de la similitude indirfcomme composée d’une réflexion et d’une homothétie,

E X E R C IC E 3 4points Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→ Dans un plan muni d’un repère orthononnalO,ı,, on désigne parCla courbe ′ représentative d’une fonctionfdéfinie et dérivable sur un intervalle I deR,fetf ne s’annulant pas sur l’intervalle I. On noteMun point deCd’abscissexet d’ordonnéey=f(x). On désigne parTla tangente à la courbeCau pointM. ′ On rappelle qu’une équation deTest de la forme :Y=f(x)[X−x]+f(x). I. Question préliminaire

1.Montrer queTcoupe l’axe des abscisses en un pointHdont l’abscisseX T vérifie : f(x) X T =x−. ′ f(x) 2.Montrer queTcoupe l’axe des ordonnées en un pointKdont l’ordonnéeY T vérifie : ′ Y T =f(x)−x f(x).

II.kdésigne un réel fixé non nul. On cherche à déterminer les fonctionsfpour lesquelles la différencex−X T est constante, et égale àk, pour tout nombre réelx. (Propriété 1) 1.Démontrer quefvérifie la propriété 1 si et seulement sifvérifie l’équation différentielle : 1 ′ y=y k 2.En déduire la famille des fonctions vérifiant la propriété 1 et déterminer pour 1 k=la fonctionfde cette famille qui vérifie de plus la condition :f(0)=1. 2

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III.kdésigne un réel fixé non nul. On cherche à déterminer les fonctionsfpour lesquelles la différencey−Y T est constante et égale àk, pour tout nombre réelx appartenant à l’intervalle I=]0 ;+∞[. (Propriété 2) 1.Démontrer quefvérifie la condition posée si et seulement sifvérifie l’équa tion différentielle : k ′ y=. x 2.En déduire la famille des fonctions vérifiant la propriété 2 et déterminer pour 1 k=la fonctionfde cette famille qui vérifie la condition :f(1)=0. 2

E X E R C IC E points4 7 Commun à tous les candidats 1 x Le but de l’exercice est de montrer que l’équation (E) : e=, admet une unique so x lution dans l’ensembleRdes nombres réels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution. I. Existence et unicité de la solution −x On notefla fonction définie surRpar :f(x)=x−e . 1.Démonter quexest solution de l’ équation (E) si et seulement sif(x)=0. 2.Étude du signe de la fonctionf a.Étudier le sens de variations de la fonctionfsurR. b.En déduire que l’équation (E) possède une unique solution surR, notée α. · ¸ 1 c.Démontrer queα; 1appartient à l’intervalle. 2 d.Étudier le signe defsur l’intervalle [0 ;α]. II. Deuxième approche 1+x On notegla fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :g(x)=. x 1+e 1.Démontrer que l’équationf(x)=0 est équivalente à l’équationg(x)=x. 2.En déduire queαest l’unique réel vérifiant :g(α)=α. ′ 3.Calculerg(x) et en déduire que la fonctiongest croissante sur l’intervalle [0 ;α]. III. Construction d’une suite de réels ayant pour limiteα On considéra la suite (u n ) définie par :u 0 =0 et, pour tout entier natureln, par : u n+1 =g ( u n ). 1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln: 0 6 u n 6 u n+1 6 α. 2.En déduire que la suite (u n ) est convergente. On noteℓsa limite. 3.Justifier l’égalité :g(ℓ)=ℓ. En déduire la valeur deℓ. 4.À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée deu 4 arrondie à la sixième décimale.

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