Sujet du bac S 2007: Mathématique Spécialité

Education Nationale

Description

Nombres et géométrie complexe. Probabilité et loi de durée de vie. Etude de fonction. Arithmétique
Sujet du bac 2007, Terminale S, Nouvelle Calédonie, seconde session

Sujets

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Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2007
• Nombre de lectures: 56
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat S NouvelleCalédonie novembre 2007\

E X E R C IC E points1 4 Commun à tous les candidats Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indi quera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte0, 5point ; une réponse inexacte enlève0, 25point ; l’ab sence de réponse est comptée0point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O. 1.Une solution de l’équation 2z+z=9+i est : a.3b.ic.3+i 2.Soitzun nombre complexe ;|z+i|est égal à : a.|z| +1b.|z−1|c.| z +1| −1+i 3 3.Soitzun nombre complexe non nul d’argumentθ. Un argument de z est : π2π2π a.− +θb.+θc.−θ 3 33 ¡ ¢ n 4.Soitnun entier naturel. Le complexe3+i estun imaginaire pur si et seulement si : a.n=3b.n=6k+3, aveckrec.n=6kaveckrelatif latif 5.Soient A et B deux points d’affixe respective i et−1. l’ensemble des pointsM d’affixezvérifiant|z−i| = |z+1|est : a.la droite (AB)b.le cercle de diamètrec.la droite perpendi [AB] culaireà (AB) passant par O 6.SoitΩle point d’affixe 1−i. L’ensemble des pointsMd’affixez=x+iyvérifiant |z−1+i| = |3−4i|a pour équation : 2 2iθ a.y= −x+1b.(x−1)+y=5c.z=1−i+5e avecθ réel 7.Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3i. L’affixe du point C tel que ³ ´ −→−→ π le triangle ABC soit isocèle avecAB ,AC=est : 2 a.1−4ib.−3ic.7+4i z−2 8.L’ensemble des solutions dansCde l’équation=zest : z−1 a.{1−i}b.L’ensemble videc.{1−i ; 1+i}

E X E R C IC E 2 5points Commun à tous les candidats Un responsable de magasin achète des composants électroniques auprès de deux fournisseurs dans les proportions suivantes : 25 % au premier fournisseur et 75 % au second. La proportion de composants défectueux est de 3 % chez le premier fournisseur et de 2 % chez le second. On note :

– Dl’évènement « le composant est défectueux » ; – F 1 l’évènement « le composant provient du premier fournisseur » ;

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– F 2 l’évènement « le composant provient du second fournisseur ». 1. a.Dessiner un arbre pondéré. b.Calculerp(D∩F 1 ), puis démontrer quep(D)=0, 0225. c.Sachant qu’un composant est défectueux, quelle est la probabilité qu’il provienne du premier fournisseur ? Dans toute la suite de l’exercice, on donnera une valeur approchée des résultats −3 à10près. 2.Le responsable commande 20 composants. Quelle est la probabilité qu’au moins deux d’entre eux soient défectueux ? 3.La durée de vie de l’un de ces composants est une variable aléatoire notée Xonentielle dequi suit une loi de durée de vie sans vieillissement ou loi exp paramètreλ, avecλréel strictement positif. a.Sachant quep(X>5)=déterminer0, 325,λ. Pour les questions suivantes, on prendraλ=0, 225. b.Quelle est la probabilité qu’un composant dure moins de 8 ans ? plus de 8 ans ? c.achantQuelle est la probabilité qu’un composant dure plus de 8 ans s qu’il a déjà duré plus de 3 ans ?

E X E R C IC E 3 6points Commun à tous les candidats Partie A : question de cours 1.Soitfune fonction réelle définie sur [a;+∞[. Compléter la phrase suivante : « On dit quefadmet une limite finieℓen+∞»si . . . 2.Démontrer le théorème «des gendarmes» : soientf,gethtrois fonctions définies sur [a;+∞[ etℓun nombre réel. Sigethont pour limite communeℓ quandxtend vers+∞, et si pour toutxassez grandg(x) 6 f(x) 6 h(x), alors la limite defquandxtend vers+∞est égale àℓ. Partie B Soitfla fonction définie surRpar x f(x)=e−x−1 et soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. La droite (D) d’équationy= −x−1 est asymptote à (C). On a représenté sur la feuille annexe la courbe (C) et la droite (D). 1.Soitaun nombre réel. Écrire, en fonction dea, une équation de la tangente (T) à (C) au pointMd’abscissea. 2.Cette tangente (T) coupe la droite (D) au pointNd’abscisseb. Vérifier que b−a= −1. 3.En déduire une construction, à effectuer sur la feuille annexe, de la tangente (T) à (C) au pointMd’abscisse 1,5. On fera apparaître le pointNcorrespon dant. Partie C 1.Déterminer graphiquement le signe def. 2.En déduire pour tout entier naturel non nulnles inégalités suivantes : 1 1 1−1 (1) e > 1+(2) e > 1− n n+1 n n+1

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3.En utilisant l’inégalité (1), démontrer que pour tout entier naturel non nuln µ ¶ n 1 1+ 6 e n 4.En utilisant l’inégalité (2), démontrer que pour tout entier naturel non nuln µ ¶ n+1 1 e 6 1+ n 5.Déduire des questions précédentes un encadrement de µ ¶ n 1 1+, n puis sa limite en+∞.

E X E R C IC E points4 5 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Soit OABC un tétraèdre trirectangle (les triangles OAB, OBC, OCA sont rectangles en O). On note H le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC). Le but de l’exercice est d’étudier quelques propriétés de ce tétraèdre. 1. a.Pourquoi la droite (OH) estelle orthogonale à la droite (BC) ? Pourquoi la droite (OA) estelle orthogonale à la droite (BC) ? b.Démontrer que les droites (AH) et (BC) sont orthogonales. On démon trera de façon anlogue que les droites (BH) et (AC) sont orthogonales. Ce résultat est ici admis. c.Que représente le point H pour le triangle ABC ? ³ ´ −→−→ −→ 2.L’espace est maintenant muni d’un repère orthonorméO,ı,,k. On considère les points A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0) et C(0 ; 0 ; 3). a.Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). b.) passantDéterminer une représentation paramétrique de la droite (D par O et orthogonale au plan (ABC). c.Démontrer que le plan (ABC) et la droite (D) se coupent en un point H µ ¶ 36 18 12 de coordonnées; ;. 49 49 49 3. a.Calculer la distance du point O au plan (ABC). b.Calculer le volume du tétraèdre OABC. En déduire l’aire du triangle ABC. c.Vérifier que le carré de l’aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des autres faces de ce tétraèdre.

E X E R C IC E 4 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

5 points

10 1. a.par 11 ? Justifier.Quel est le reste de la division euclidienne de 6 4 b.Quel est le reste de la division euclidienne de 6par 5 ? Justifier. 40 40 c.En déduire que 6≡et que 61 [11]≡1 [5]. 40 d.Démontrer que 6−1 est divisible par 55. 2.Dans cette questionxetydésignent des entiers relatifs. a.Montrer que l’équation (E) 65x−40y=1 n’a pas de solution.

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b.Montrer que l’équation ′ (E) 17x−40y=1 admet au moins une solution. c.Déterminer à l’aide de l’algorithme d’Euclide un couple d’entiers relatifs ¡ ¢ ′ solution de l’équationE. ¡ ¢ ′ d.Résoudre l’équationE. En déduire qu’il existe un unique naturelx 0 inférieur à 40 tel que 17x 0 ≡1 [40]. 17 40 3.Pour tout entier naturela, démontrer que sia≡b[55] et sia≡1 [55], 33 alorsb≡a[55].

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-4 −4

-3 −3

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ANNEXE (à rendre avec la copie) 6

-2 −2

-1 −1

5

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

0 0 O

-1 −1

-2 −2

-3 −3

-4 −4

(C)

1 1

2 2

(D)

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