Sujet du bac S 2008: Mathématique Obligatoire
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Description

Etude de fonctions, arbre de probabilité, QCM géométrie dans l'espace, géométrie complexe et barycentres.
Sujet du bac 2008, Terminale S, Antilles

Sujets

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Publié le 01 janvier 2008
Nombre de lectures 112
Langue Français

Exrait

[Baccalauréat S AntillesGuyane 18 juin 2008\
EX E R C IC E1 Commun à tous les candidats Soitfla fonction définie surRpar :
9 2x3x f(x)=e3e . 2
6 points
Partie A : ′ −3x Soit l’équation différentielle (E) :y+2y=3e . ′ ′ 1.Résoudre l’équation différentielle (E ) :y+2y=0. 9 2x2.En déduire que la fonctionhdéfinie surRparh(x)=e estsolution de (E ). 2 3x 3.Vérifier que la fonctiongdéfinie surRparg(x)= −solution de l’équation3e est (E). 4.En remarquant quef=g+h, montrer quefest une solution de (E).
Partie B : ³ ´ On nommeCfla courbe représentative defdans un repère orthonormalO,ı,d’unité 1 cm. µ ¶ 3 2xx 1.Montrer que pour toutxdeRon a :f(x)=3ee . 2 2.Déterminer la limite defen+∞puis la limite defen−∞. 3.Étudier les variations de la fonctionfet dresser le tableau de variations def. 4.Calculer les coordonnées des points d’intersection de la courbeCfavec les axes du repère. 5.Calculerf(1) et tracer l’allure de la courbeCf. 6.Déterminer l’aireAde la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe Cf, l’axe des ordonnées et la droite d’équationx=1. On exprimera cette aire en 2 cm .
EX E R C IC Epoints2 5 Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité On dispose de deux urnesU1etU2contenant des boules indiscernables au toucher.
U1contientkboules blanches (kentier naturel supérieur ou égal à 1) et 3 boules noires. U2contient 2 boules blanches et une boule noire.
On tire une boule au hasard dansU1et on la place dansU2. On tire ensuite, au hasard, une boule dansU2. L’ensemble de ces opérations constitue une épreuve.
On noteB1(respectivementN1) l’évènement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urneU1». On noteB2(respectivementN2) l’évènement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urneU2». 1. a.Recopier et compléter par les probabilités manquantes l’arbre cidessous :
Baccalauréat S
. . . B2 B1 . . . . . . N2
. . . B2 . . . N1 . . . N2 3k+6 Montrer que la probabilité de l’évènementB2est égale à. 4k+12
Dans la suite on considère quek=12. Les questions 2 et 3 sont indépendantes l’une de l’autre et peuvent être traitées dans n’importe quel ordre. 2.Un joueur mise 8 euros et effectue une épreuve. Si, à la fin de l’épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit 12 euros. Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise. SoitXla variable aléatoire égale au gain du joueur, c’estàdire la différence entre la somme reçue et la mise. a.Montrer que les valeurs possibles deXsont 4 et8. b.Déterminer la loi de probabilité de la variableX. c.Calculer l’espérance mathématique deX. d.Le jeu estil favorable au joueur ? 3.Un joueur participenfois de suite à ce jeu. Au début de chaque épreuve, l’urneU1contient 12 boules blanches et 3 noires, et l’urneU2contient 2 boules blanches et 1 noire. Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes. Déterminer le plus petit entiernpour que la probabilité de réaliser au moins une fois l’évènementB2soit supérieure ou égale à 0,99.
EX E R C IC E2 Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
5 points
Partie A On considère l’équation (E) : 11x26y=1, oùxetydésignent deux nombres entiers relatifs. 1.Vérifier que le couple (7 ;3) est solution de (E). 2.Résoudre alors l’équation (E). 3.En déduire le couple d’entiers relatifs (u;v) solution de (E) tel que 06u625.
Partie B On assimile chaque lettre de l’alphabet à un nombre entier comme l’indique le tableau cidessous :
A B C D E F GH IJ K LM 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 N O P Q RS TU V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 On « code » tout nombre entierxcompris entre 0 et 25 de la façon suivante :
AntillesGuyane
2
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Baccalauréat S
– oncalcule 11x+8 – oncalcule le reste de la division euclidienne de 11x+8 par 26, que l’on appelley. xest alors « codé » pary. Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11; 11×11+8=129 or 12925(0modulo26) ;25 est le reste de la division euclidienne de 129 par 26. Au nombre 25 correspond la lettre Z. La lettre L est donc codée par la lettre Z. 1.Coder la lettreW. 2.Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage. a.Montrer que pour tous nombres entiers relatifsxetj, on a : 11xj(modulo 26) équivaut àx19j(modulo 26).
b.En déduire un procédé de décodage. c.Décoder la lettre W.
EX E R C IC E3 4points Commun à tous les candidats Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte1point ; une réponse inexacte enlève0, 25point ; l’absence de réponse est comptée0point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à0. ³ ´ L’espace est rapporté à un repère orthonormalO,ı,,k. ½ 2x6y+2z7=0 1.L’ensemble des pointsM(x;y;z) tels que :est : x+3yz+5=0 Réponse A : l’ensemble videRéponse B : une droite Réponse C : un planRéponse C : réduit à un point 2.Les droites de représentations paramétriques respectives :   x=1t x=2+t   y= −1+t(tR) ety= −2t(tR) sont :   z=23t z=4+2t
Réponse A : parallèles et distinctesRéponse B : confondues Réponse C : sécantesRéponse D : non coplanaires 3.La distance du point A(1 ;1) au plan d’équation2 ;x+3yz+5=0 est égale à : 3 3 Réponse A :Réponse B : 11 11 1 8 Réponse C :Réponse D : 2 11 4.Le projeté orthogonal du point B(1 ; 6 ; 0) sur le plan d’équationx+3yz+5=0 a pour coordonnées : Réponse A : ( 3 ; 1 ; 5 )Réponse B : ( 2 ; 3 ; 1 ) Réponse C : ( 3 ; 0 ; 2 )Réponse D : (2; 3;6)
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Baccalauréat S
EX E R C IC Epoints4 5 Commun à tous les candidats La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l’exercice. Cette feuille est à rendre avec la copie. ³ ´ Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal directO,u,v, le point A a pour affixe i. On nommefl’application qui, à tout pointMd’affixezavecz6=i associe le pointM d’affixeztelle que : 2 z z= zi Le but de l’exercice est de construire géométriquement le pointMconnaissant le point M. 1. Unexemple On considère le point K d’affixe 1+i. a.Placer le point K. b.image de K parDéterminer l’affixe du point Kf. c.Placer le point K . 2. Despoints pour lesquels le problème ne se pose pas i a.parOn considère le point L d’affixe. Déterminer son image Lf. Que remarque 2 t on ? b.Un point est dit invariant parfs’il est confondu avec son image. Démontrer qu’il existe deux points invariants parfdont on déterminera les affixes. 3. Unprocédé de construction On nommeGl’isobarycentre des points A,M, etM, etgl’affixe deG. 1 a.Vérifier l’égalitég=. 3(zi) b.En déduire que : siMest un point du cercle de centre A de rayonr, alors G est 1 un point du cercle de centre O de rayon. 3r ³ ´ c.Démontrer que argg= −u; AM. d.ntre A et deSur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de ce 1 rayon . 2 On nomme Dl’image de D parf. Déduire des questions précédentes la construc tion du point Det la réaliser surla figure annexe à rendre avec la copie.
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Baccalauréat S
Annexe à rendre avec la copie
Sur la figure cidessous le segment [OI ] tel queu=partagé en six segmentsOI est d’égale longueur.
−−−−−−→ b ea aB X
AntillesGuyane
A
O
D
5
I
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