Sujet du bac S 2009: Mathématique Obligatoire

Education Nationale

Description

Vrai/faux convergence de suites, équation paramétrique en 3 dimensions, géométrie complexe et analyse de fonctions.
Sujet du bac 2009, Terminale S, Antilles, seconde session

Sujets

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Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 45
• Langue: Français

Extrait

Bac S – Antilles-Guyane – Septembre 2009 EXERCICE 1 : (4 points) Commun  tous les candidats VRAI OU FAUX Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la rponse donne. PARTIE A n * Soit (u n ) la suite dfinie pour toutn∈paru n = (–1). 1.La suite (u) est borne. n 2.La suite (u) converge. n u n 3.La suite de terme gnralconverge. n 4.Toute suite (v n )  termes strictement positifs et dcroissante converge vers 0. PARTIE B 1.SiAetBsont deux vnements indpendants avecP(B)≠0 etP(B)≠1, alorsP(AB) =P B (A). 2.SiXest une variable alatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1], alorsP(X∈[0,1 ; 0,6]) = 0,6. 1 3.SiXest une variable alatoire suivant la loi binomiale de paramtres 100 et, alors 3 100  2  P(X1) = 1 –.  3  EXERCICE 2 : (5 points) Candidats nayant pas choisi lenseignement de spcialit Lespace est muni dun repre orthonormO      . On considre les points A (1 ; −1 ; 4), B (7 ; −1 ; −2) et C (1 ; 5 ; −2).  1.a. Calculer les coordonnes des vecteurs AB, AC et BC. b. Montrer que le triangle ABC est quilatral. c. Montrer que le vecteurn  (1 ; 1 ; 1) est un vecteur normal au plan (ABC). d. En dduire quex+y+z −4 = 0 est une quation cartsienne du plan (ABC).  x= –2t  2.Soit () la droite de  y= –2t– 2 ot∈. reprsentation paramtrique   z= –2t– 3 a. Montrer que la droite () est perpendiculaire au plan (ABC). b. Montrer que les coordonnes du point G, intersection de la droite () et du plan (ABC) sont  (3; 1 ; 0). c. Montrer que G est lisobarycentre des points A, B et C. 3.Soit () la sphre de centre G passant par A. a. Donner une quation cartsienne de la sphre (). b. Dterminer les coordonnes des points dintersection E et F, de la droite () et de la sphre ().

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EXERCICE 3 : (5 points) Commun  tous les candidats   Le plan complexe est rapport  un repre orthonormal directOuvdunit graphique 1 cm. Faire une figure que lon compltera au fur et  mesure des questions. 1.Placer les points A, B et C daffixes respectivesz= –11 + 4i,z= –3 – 4i etz= 5 + 4i. A BC z–z A B 2.et en dduire la nature du triangle ABC.Calculer le module et un argument du quotient z–z C B π 3.Soit E limage du point C par la rotation.de centre B et dangle 4 Montrer que laffixe de E vrifiez4)i.2 –= –3 + (8 E Placer le point E. 2 4.Soit D limage du point E par lhomothtiede centre B et de rapport. 2 Montrer que D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Placer le point D. 5.Dans cette question, toute trace de recherche, mme incomplte, ou dinitiative, mme non fructueuse, sera prise en compte dans lvaluation. Soit (Δ) la droite parallle  la droite (EC) passant par le point D. On note F le point dintersection de la droite (Δ) et de la droite (BC), I le milieu du segment [EC] et J le milieu du segment [DF]. Montrer que B, I et J sont aligns.

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EXERCICE 4 :(6 points) Commun  tous les candidats Soitla fonction dfinie pour tout nombre relxde lintervalle ]0 ; 1] par :(x) = 1 +xlnx. On notela fonction drive de la fonctionsur lintervalle ]0 ; 1]. est la courbe reprsentative de la fonctiondans un repre orthonormalO. Test la droite dquationy=x. La courbeet la droiteTsont reprsentes sur le schma ci-dessous.

1.a. Justifier que lim(x) = 1. x→0 b. En utilisant le signe dexlnxsur ]0 ; 1], montrer que, pour tout nombre relx∈]0 ; 1], on a(x)1. 2.a. Calculer(x) pour tout nombre relx∈]0 ; 1]. b. Vrifier que la droiteTest tangente  la courbeau point dabscisse 1. 3.On notegla fonction dfinie pour tout nombre relx∈]0 ; 1] parg(x) = 1 +xlnx–x. a. tudier les variations degsur lintervalle ]0 ; 1] et dresser le tableau de variation deg.  Onne cherchera pas la limite degen 0. b. En dduire les positions relatives de la courbeet de la droiteT. 1  4.Soitαun nombre rel tel que 0 <α< 1. On poseI(α[1 –) =(x)] dx.  α 2 2 α1α a.  laide dune intgration par parties, montrer que I ( α ) =lnα+ − . 2 44 b. Dterminer limI(α). α→0 c. Interprter graphiquement le rsultat prcdent. d.  laide des rsultats prcdents, dterminer, en units daire, laire du domaine compris entre la  courbe, la droiteTet laxe des ordonnes. S-Antilles-obli-sept09 3